1、1/29._)( . 12 yyxfy，則若._)0(4arctan . 22 yyxy，則 2/29._)( . 12 yyxfy，則若)()(22 yxyxfy)2()(22yxxyyxf )(1)(2 222yxfxyxfxyy )(1)(2222yxfxyxfxy 3/29._)0(4arctan . 22 yyxy，則 1)0( y011222 yyyxyy代代入入上上式式1)0(, 0 yx2)0( y則則2 4/29.,)()(定定的的函函數數稱稱此此為為由由參參數數方方程程所所確確間間的的函函數數關關系系與與確確定定若若參參數數方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2x

2、t 22)2(xty 42x xy21 消去參數消去參數問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導消參困難或無法消參如何求導?t5/29),()(1xttx 具有單調連續的反函數具有單調連續的反函數設函數設函數)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都都可可導導再再設設函函數數由復合函數及反函數的求導法則得xttyxydddddd txtydd1dd )()(tt txtyxydddddd 即即,)()(中中在在方方程程 tytx 6/29,)()(二二階階可可導導若若函函數數 tytx )dd(dddd22xyxxy xttttdd)()(dd )(1)()()()()(2ttt

3、ttt .)()()()()(dd322tttttxy 即即7/29例例1010解解txtyxydddddd ttcos1sin taatacossin 2cos12sindd2 txy. 1 .2)cos1()sin(處處的的切切線線方方程程在在求求擺擺線線 ttayttax.),12(,2ayaxt 時時當當 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即8/29例例1111解解.sincos33表示的函數的二階導數表示的函數的二階導數求由方程求由方程 taytaxtxtyxydddddd )sin(cos3cossin322ttatta ttan )dd(dddd22

4、xyxxy )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 一、微分的定義一、微分的定義二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義 三、微分公式及微分法則三、微分公式及微分法則 四、微分形式不變性四、微分形式不變性 五、微分在近似計算中的應用五、微分在近似計算中的應用 10/29正方形金屬薄片受熱后面積的改變量。正方形金屬薄片受熱后面積的改變量。20 xy 0 x0 x,00 xxx 變變到到設設邊邊長長由由,20 xy 正方形面積正方形面積2020)(xxxy .)(220 xxx 的“線性主部”的主要部分，稱為是yyxx 02xxyx 02很很小小時時，當

5、當x x 2)( x xx 0 xx 01、引例的的函函數數是是可可見見xy 00022lim xxxxx 0)(lim 20 xxx的同階無窮小的同階無窮小是是 xxx 02 )0( )(0)( 2 xxx11/29., ),(,)(,)(,)0( )( )()(, )(000000000 xAdfxAdyxdfdyxxfyxAxxfyxAxxoxAyxfxxfyxxxfyxxxxxx 或或即即或或記記作作處處的的微微分分在在點點為為并并且且稱稱可可微微在在點點則則稱稱無無關關與與其其中中可可以以表表示示為為函函數數的的改改變變量量處處的的改改變變量量如如果果對對自自變變量量在在有有函函數數

6、設設.的的線線性性主主部部叫叫做做函函數數增增量量微微分分ydy ( (微分的實質微分的實質) )注注: :;)1(的的線線性性函函數數是是自自變變量量的的改改變變量量xdy ;)()2(高高階階無無窮窮小小是是比比 xxodyy ;)(,)3(0有有關關和和但但與與無無關關與與xxfxA ).(,)4(線線性性主主部部很很小小時時當當dyyx 2、微分的定義12/29., ),(,)(,)(,)0( )( )()(, )(000000000 xAdfxAdyxdfdyxxfyxAxxfyxAxxoxAyxfxxfyxxxfyxxxxxx 或或即即或或記記作作處處的的微微分分在在點點為為并并且

7、且稱稱可可微微在在點點則則稱稱無無關關與與其其中中可可以以表表示示為為函函數數的的改改變變量量處處的的改改變變量量如如果果對對自自變變量量在在有有函函數數設設.的的線線性性主主部部叫叫做做函函數數增增量量微微分分ydy ( (微分的實質微分的實質) )問題問題: :2、微分的定義什么條件下可微什么條件下可微?A=?13/29).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導處可導在點在點可微的充要條件是函數可微的充要條件是函數在點在點函數函數定理定理證證必要性必要性,)(0可可微微在在點點xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00則則. A ).(

8、,)(00 xfAxxf 且且可可導導在在點點即即函函數數3、可微的充要條件充分性充分性,)(0可可導導在在點點函函數數xxf),(lim00 xfxyx ,)(0 xxxfy 從從而而,)(0 xfxy即即),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可可微微在在點點函函數數).(.0 xfA 可可微微可可導導14/29.)(),( ,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或記記作作稱稱為為函函數數的的微微分分的的微微分分在在任任意意點點函函數數，則則若若2xy xxdy )(2.2xx .稱稱為為自自變變量量的的微微分分的的增增量量自自變變量量xx dxxfd

9、y)( )(xfdxdy .微微商商導導數數也也叫叫該該函函數數的的導導數數之之商商等等于于與與自自變變量量的的微微分分即即函函數數的的微微分分dxdyxxxd cos)(sin.21xxxd xdx 反函數和復反函數和復合函數求導合函數求導法則法則15/29)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 幾何意義幾何意義:( :(如圖如圖) ).,0線縱坐標對應的增量線縱坐標對應的增量就是切就是切坐標增量時坐標增量時是曲線的縱是曲線的縱時時量量處的改變處的改變當自變量在當自變量在dyyxx xx0 P .,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲線線段段切切線線段段的的附附近近在在點點很

10、很小小時時當當 16/29dxxfdy)( 求法：計算函數的導數，乘以自變量的微分。求法：計算函數的導數，乘以自變量的微分。微分基本公式微分基本公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 1、微分的求法2、微分法 dxxxarcddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(

11、17/29微分法則微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 例例1 1.),ln(2dyexyx求求設設 解解,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 2)1(vdvvd 18/29結論結論：微分形式的不變性微分形式的不變性則則可可導導對對設設函函數數,)(uufy )()(xxfy 由復合函數求導法：由復合函數求導法：dxxxfdy)()( duuf)( 的的微微分分形形式式總總是是函函數數是是自自變變量量還還是是中中間間變變量量無無論論)(,ufyu duufdy)( ;)()1(duufdyu 分分是是是是自自變變量量時時

12、，函函數數的的微微當當的的復復合合函函數數是是則則的的可可導導函函數數而而是是不不是是自自變變量量若若xxfyxuxu)(),(,)2( 19/29例例2 2解解xyeyxarctan )2( , ) 1 (1 方方法法一一) 1 (應用舉例：應用舉例：用兩種方法求下列函數的微分用兩種方法求下列函數的微分)1(21xeyx xex121 dxexdyx121 方方法法二二xdedy1 )1(1xdex dxexx121 20/29例例2 2解解xyeyxarctan )2( , ) 1 (1 方方法法一一) 2(應用舉例：應用舉例：用兩種方法求下列函數的微分用兩種方法求下列函數的微分)(11

13、xxy)1 (21xx dxxxdy)1 (21 方方法法二二xddyarctan )(11xdx dxxx)1(21 21/29例例3 3解解.1)(dyxeyxfyy唯一確定，求唯一確定，求由方程由方程已知已知 )(dx乘乘以以先先求求隱隱函函數數的的導導數數，再再方方法法一一)(微微分分形形式式不不變變性性方方法法二二yxeeyyy 方程關于方程關于x求導求導yyxeey 1yey 2dxyedyy 2 )(yxeddy 方程直接微分方程直接微分yyxdedxedy dyxedxeyy dxyedxxeedyyyy 21 22/29例例4 4. 已知已知 求求 dy 22yxeeyx :

14、兩兩邊邊求求微微分分得得dxexdyeyxy)2()2( dxeyexdyyx)2()2( ydyxdxdyedxeyx22 解解:23/29原理：原理：,較較小小時時當當 x .)(0 xxf 00 xxxxdyy )(xfy 0 xTdyy )( xo x xx 0 xyoAPMN1、近似公式時，時，1 xdyy (1) )()()(000 xxfxfxxf (2) )()()(000 xxfxfxxf 公式公式(1)常用于計算函數的改變量常用于計算函數的改變量;公式公式(2)常用于計算常用于計算x0周圍點的函數值周圍點的函數值.24/29例例5 5解解334rV 設設.2 . 0,5cm

15、rcmr 令令2 . 0542 52 . 0 rrdVV直徑為直徑為10cm10cm的鉛球外均勻包了一層的鉛球外均勻包了一層0.2cm0.2cm厚的鐵厚的鐵, ,求外殼求外殼( (鐵鐵) )體積的體積的近似值近似值. .rr dVV rV rr 24 20 38 .62 cm 25/29例例6 6解解5)(xxf 設設代代入入公公式式的的近近似似值值計計算算 02. 1 55451)( xxf則則xxfxfxxf )()()(000得得xxxxx 540505051代入上式代入上式令令02. 0, 10 xx02. 0151102. 15455 004. 1 26/29近似計算步驟：近似計算步驟：?)?,(0 xx設函數，并求導；設函數，并求導；套公式，使之具體化；套公式，使之具體化；賦值計算。賦值計算。2、近似公式的特解xffxf )0()0()(則則令令., 00 xxx xffxf )0()0()(較較小小時時x27/29證明：當證明：當 ， 有下列近似公式有下列近似公式較小時較小時x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;1)1()1(xxxexxxxxxmxxxm 為為弧弧度度為為弧弧度度證明證明mxxf)1()()1( 設設1)1()( mxmxf則則 mx)1( 得得mx 1例例7 7xffxf)0()0()( 由由公公