1、習題1515-1設慣性系以速率相對于慣性系O沿軸運動，且在時刻. (1) 若有一事件，在O系中發生于處，該事件在系中發生于何時刻？(2) 如有另一事件發生于O系中處，在系中測得這兩個事件的時間間隔為多少？解：(1) 由 得 ; (2) .15-2一事件從慣性系O看來，t=0時出現在處，而從系看來則出現在處. 試求系相對O系沿軸的運動速度.解：由 和 t=0 得 .因為， 得 .15-3 在慣性系O中觀察到兩個事件發生在某一地點，其時間間隔為4.0s. 從另一慣性系中觀察到這兩個事件的時間間隔為6.0s. 試問從系測量到這兩個事件的空間間隔是多少？設系以恒定速率相對于O系沿軸運動.解：由題可知，

2、 ，即 。對于這兩個事件O系是相對靜止系，故有，即 .所以 .15-4在慣性系O中有兩個事件同時發生在軸上，相距為. 從慣性系觀察到這兩個事件相距為. 試問由系測得此兩事件的時間間隔為多少？解：由題可知， ，故由系測得此兩事件的時間間隔為。將上式代入得 ， 即 .所以 15-5設有兩只宇宙飛船相對某一慣性系分別以0.70 c和0.90 c的速率沿同一方向（如軸）飛行，試求兩飛船的相對速率. 解：設題給慣性系為O系，速率為0.70 c的飛船為系，則速率為0.90 c的飛船A在系中的速率就是兩飛船的相對速率. 由題可知，A船在O系中的速率，而相對O的速率，根據相對論速度變換公式得 15-6設想有一

3、粒子以0.050 c的速率相對實驗室參照系運動. 此粒子衰變時發射一個電子，電子的速率為0.80 c，電子速度的方向與粒子運動方向相同. 試求電子相對實驗室參照系的速度.解：設粒子相對實驗室參照系的速度為，電子相對粒子的速度為，根據相對論速度變換公式得電子相對實驗室參照系的速度.15-7設想地球上有一觀察者測到一宇宙飛船以0.60 c的速率向東飛行，5 s后該飛船將與一個以0.80 c的速率向西飛行的彗星相碰撞. 試問：(1) 飛船中的人測到彗星將以多大的速率向它運動？(2) 從飛船中的鐘來看，還有多少時間容許它離開航線，避免與彗星碰撞？ 解：(1) 設飛船相對地球的速度為，彗星相對地球的速度

4、為，根據相對論速度變換公式得彗星相對飛船的速度 (2) 由題可知, 地球上預測將碰撞的時間是相對時間, 飛船上預測將碰撞的時間是固有時間, 按照時間延緩公式,得.15-8一靜止長度為4.0 m的物體，若以速率0.6 c沿軸對某慣性系運動，試問從該慣性系測量此物體的長度為多少？解：按照長度縮短公式,得 .15-9半人馬星座星是離太陽系最近的恒星. 它距地球為. 設有一宇宙飛船自地球往返于半人馬星座之間. 若宇宙飛船的速率為0.999 c， 按地球上時鐘計算，飛船往返一次需多少時間？如以飛船上時鐘計算，往返一次的時間又為多少？解：按地球上時鐘計算，飛船往返一次的時間是 ,其中的.飛船上的時間是是固

5、有時間, 按照時間延緩公式,得 ,其中的.15-10 在O系中有一長為的棒沿軸放置，并以速率沿軸運動。若系以速率相對O系沿軸運動，試問從系測得此棒的長度為多少？解：設棒的相對靜止系為A系, 根據相對論速度變換公式, 系相對A系的速度是 按照長度縮短公式, 從系測得此棒的長度 .15-11一被加速器加速的電子，其能量為. 試問：(1) 這個電子的質量是其靜質量的多少倍？(2) 這個電子的速率為多少？解：(1) 設電子的質量是其靜質量的N倍,則有. (2) 根據公式,可得這個電子的速率為 .15-12如果將電子由靜止加速到速率為0.1 c，需對它作多少功？如將電子由速率為0.80 c加速到0.90

6、 c，需對它作多少功？解：(1) ,(2) . 習題1616-1 溫度為300 K時，黑體輻射光譜中的峰值所對應的波長是多少？解：根據維恩位移定律, 得 .16-2已知地球跟金星的大小差不多，金星的平均溫度約為773 K，地球的平均溫度約為293 K. 若把它們看作理想黑體，這兩個星體向空間輻射的能量之比為多少？解：根據斯特潘玻爾茲曼定律,兩個星體向空間輻射的能量之比是 16-3天狼星的溫度約為. 試由維恩位移定律估計該星體的顏色. 解：根據維恩位移定律, 得 .此為遠紫外線，故天狼星的顏色不可見.16-4太陽可看作是半徑為的球形黑體，試計算太陽的溫度. 設太陽射到地球表面上每平方米的輻射能量

7、為，地球與太陽間的距離為.解：由題可知，單位時間太陽輻射射到地球表面上每平方米的能量，因此，單位時間太陽表面上每平方米輻射出的的能量是，其中，. 根據斯特潘玻爾茲曼定律, ，太陽的溫度是 .16-5已知金屬鎢的逸出功是，分別用頻率為的紫光和頻率為的紫外光照射金屬鎢的表面，能不能產生光電效應？解：由題可知，金屬鎢的截止頻率是 Hz,所以, 用頻率為的紫光照射不能產生光電效應, 用頻率為的紫外光照射能產生光電效應. 16-6鉀的截止頻率為，今以波長為435.8 nm的光照射，求鉀放出的光電子的初速度.解：由和得 .16-7在康普頓效應中，入射光子的波長為0.003 nm，反沖電子的速度為光速的60

8、%，求散射光子的波長及散射角.解：(1) 由題可知，反沖電子的的動能是 .由能量守恒關系式得，,即 .所以, 散射光子的波長.(2) 由公式得光子的散射角.16-8一能量的光子與一靜止自由電子相碰撞，碰撞后，光子的散射角為. 試問: (1) 光子的波長、頻率和能量各改變了多少？(2) 碰撞后，電子的動能、動量和運動方向又如何？解：(1) 光子波長的改變量頻率的改變量Hz,能量的改變量.(2) 碰撞后，電子的動能 ,動量 .由于在垂直于光子入射方向上動量守恒,有,電子的散射角 .其中, 散射光子的波長 ,所以, 電子的散射角 .16-9在康普頓效應中，如電子的散射方向與入射光子方向之間的夾角為，

9、試證電子的動能為 ，其中 證：設光子的散射方向與入射光子方向之間的夾角為，由題可知： ， （1）, （2） . （3）由（2）和（3）兩式得 所以， . （4）另一方面， ，且，所以， （5）令，由（4）和（5）兩式得.將上式代入（5）式，即得.16-10求動能為1 eV的電子的德布羅意波的波長.解： 電子能量，其動量,電子的德布羅意波長 . 16-11一質量為40g的子彈以的速率飛行，求：(1)德布羅意波波長；(2) 若測量子彈位置的不確定為0.1 mm，求速率的不確定量.解： (1) 子彈的德布羅意波長. (2) 由不確定關系可得子彈速率的不確定量 .16-12試證：如果粒子位置的不確定等

10、于其德布羅意波長，則此粒子速度的不確定量大于或等于其速度的倍.證：由和不確定關系可得 .16-13試證明自由粒子的不確定關系式可寫成：，為自由粒子的德布羅意波的波長. 證：由得 ，略去式中負號并代入公式得 ，即 .16-14如用能量為12.6eV的電子轟擊氫原子將產生哪些譜線？解：在式子 中，令，得，取，這是氫原子被轟擊后的最高能級. 根據公式，令，得 ，令，得 ，令，得 .16-15氫原子中把狀態下的電子移離原子，需要多少能量？解：需要得能量是 .16-16原子中一電子的主量子數，它可能具有的狀態數為多少？解：考慮到電子自旋, 它可能具有的狀態數為.16-17一原子由一質子和一繞質子旋轉的介

11、子組成，求介子處于第一軌道時離質子的距離. 介子的電量和電子電量相等，介子的質量為電子質量的210倍.解：將氫原子玻爾第一軌道半徑中的質量換成,得介子處于第一軌道時離質子的距離 .16-18在氫原子中，如量子數n = 4，可取哪些數值？對于，可取哪些數值？答: 主量子數n = 4，;軌道量子數，.16-19設有一電子在寬為0.2 nm的一維無限深的勢阱中. 計算電子在最低能級的能量.解：一維無限深勢阱中電子的能級公式是,取, 得電子最低能量.16-20 利用玻爾索末菲的量子化條件，求在均勻磁場中作圓周運動的電子的可能軌道半徑.解：在均勻磁場中作圓周運動的電子的向心力是洛侖茲力:,電子的動量是

12、.根據玻爾索末菲的量子化條件, () 得 ,即 ,電子可能的軌道半徑是 .16-21證明在定態中，幾率流密度與時間無關.證: 幾率流密度的定義是 .在定態中，波函數一般可寫成 .故 , ,所以, 幾率流密度與時間無關.16-22由下列兩定態波函數計算幾率流密度：(1) ; (2) .從所得結果說明表示向外傳播的球面波，表示向內（即向原點）傳播的球面波.解：在球坐標中 . 將 和分別代入上式,再代入幾率流密度的定義,得,這說明表示向外傳播的球面波.,這說明表示向內（即向原點）傳播的球面波.16-23求一維諧振子處在第一激發態時幾率最大的位置.解：一維諧振子處在第一激發態時的定態波函數是 ,幾率密

13、度是 .令 ,得幾率最大的位置 .16-24 求一維勢阱中粒子束縛態()的能級.解：一維Schrödinger方程是.在阱內(), 有 , (1)在阱外(), 有 , (2)在條件下,令,得 , () (1a) , () (2a)以上兩式的通解是 , () (3) (). (4)考慮到時波函數有限,應令 (), (5) (). (6)由(3)式得 . (7)由(5),(6)兩式得 , (), (8) (). (9)由于在處連續,應有 , ,即 .所以有和. 當時, 有 , (10)當時, 有 , (11)由以上兩式得 .令,得 ,所以 ,即有 ,最后得 .16-25一維諧振子處在基態 ，求：(1)勢能的平均值；(2) 動能的平均值；(3) 動量的幾率分布函數.解: (1)利用積分公式,得 ,所以, .(2) 所以, .(3) 令 ,得 .利用積分公式得 ,所以, 動量的幾率分布函數 .16-26求粒子狀態為 時的平均動量和平均動能.解: (1) ,注意到是偶函數,而是奇函數,得