1、效益的合理分配效益的合理分配12311xxx457323121xxxxxx例例甲乙丙三人合作經商，若甲乙合作獲利甲乙丙三人合作經商，若甲乙合作獲利7元，元，甲丙合作獲利甲丙合作獲利5元，乙丙合作獲利元，乙丙合作獲利4元，元，三人合作獲利三人合作獲利11元。又知每人單干獲利元。又知每人單干獲利1元。元。問三人合作時如何分配獲利？問三人合作時如何分配獲利？記甲乙丙三人分配為記甲乙丙三人分配為),(321xxxx 解不唯一解不唯一(5，3，3)(4，4，3)(5，4，2)1,321xxx)(1Ivxniiniivxi, 2 , 1),(212121),()()(0)(sssvsvssvv,2, 1n

2、I集合 (1) Shapley合作對策合作對策滿足實函數，子集)(svIs I,v n人合作對策，人合作對策，v特征函數特征函數),(21nxxxxn人從人從v(I)得到的分配，滿足得到的分配，滿足v(s) 子集子集s的獲利的獲利!)!1()!()(nssnswniisvsvswxiSsi, 2 , 1),()()(公理化方法公理化方法 s 子集子集 s中的元素數目，中的元素數目， Si 包含包含i的所有子集的所有子集)( sw由由 s 決定的決定的“貢獻貢獻”的權重的權重 Shapley值值)()(isvsv i 對合作對合作s 的的“貢獻貢獻”)(siShapley合作對策合作對策三人三人

3、(I=1,2,3)經商中甲的分配經商中甲的分配x1的計算的計算 1/3 1/6 1/6 1/3)1()()(svsvsw)( sws)1()(svsv)1(sv)(sv1S1 1 2 1 3 I1 7 5 11 0 1 1 4 1 6 4 7 1/3 1 2/3 7/3x1=13/3)1()()(11svsvswxSs1 2 2 3三人三人(I=1,2,3)經商中甲的分配經商中甲的分配x2的計算的計算 1/3 1/6 1/6 1/3)1()()(svsvsw)( sws)1()(svsv)1(sv)(sv2S2 1 2 2 3 I1 7 4 11 0 1 1 5 1 6 3 6 1/3 1 1

4、/2 2類似可得類似可得 x2=23/6, 22() ( )( 1)sSxw sv sv s1 2 2 3三人三人(I=1,2,3)經商中甲的分配經商中甲的分配x3的計算的計算 1/3 1/6 1/6 1/3)1()()(svsvsw)( sws)1()(svsv)1(sv)(sv3S3 1 3 2 3 I1 5 4 11 0 1 1 7 1 4 3 4 1/3 2/3 1/2 4/3類似可得類似可得 x3=17/633() ( )( 1)s Sxw sv sv s1 2 2 3合作對策的應用合作對策的應用 例例 污水處理費用的合理分擔污水處理費用的合理分擔20km38km河流河流三城鎮地理位

5、置示意圖三城鎮地理位置示意圖123 污水處理，排入河流污水處理，排入河流三城鎮可單獨建處理廠，三城鎮可單獨建處理廠，或聯合建廠或聯合建廠(用管道將污水用管道將污水由上游城鎮送往下游城鎮由上游城鎮送往下游城鎮)Q1=5Q3=5Q2=3Q污水量，污水量，L管道長度管道長度建廠費用建廠費用P1=73Q0.712管道費用管道費用P2=0.66Q0.51L230)3(,160)2(,230573) 1 (712. 0CCC35020566. 0)35(73)2 , 1 (51. 0712. 0C36538366. 0)53(73)3 , 2(51. 0712. 0C污水處理的污水處理的5 種方案種方案1

6、）單獨建廠）單獨建廠620)3()2() 1 (1CCCD總投資總投資2）1, 2合作合作3）2, 3合作合作580)3()2 , 1 (2CCD總總投資投資595) 3 , 2() 1 (3CCD總投資總投資P1=73Q0.712,P2=0.66Q0.51L46358566. 0)55(73) 3 , 1 (51. 0712. 0C460)3() 1 (CC污水處理的污水處理的5 種方案種方案4）1, 3合作合作合作不會實現合作不會實現P1=73Q0.712,P2=0.66Q0.51L4(2)(1,3) 623DCC總投資總投資5）三城合作總投資）三城合作總投資55638) 35(66. 0

7、20566. 0)535(73) 3 , 2 , 1 (51. 051. 0712. 05CDD5最小最小, 應聯合建廠應聯合建廠 建廠費：建廠費：d1=73 (5+3+5)0.712=453 12管道費：管道費：d2=0.66 50.51 20=30 23管道費：管道費：d3=0.66 (5+3)0.51 38=73D5城城3建議：建議：d1 按按 5:3:5分擔分擔, d2,d3由城由城1,2擔負擔負城城2建議：建議：d3由城由城1,2按按 5:3分擔分擔, d2由城由城1擔負擔負城城1計算：城計算：城3分擔分擔d1 5/13=174C(3), 城城2分擔分擔d1 3/13+d3 3/8

8、=132C(1)不不同同意意總投資費用總投資費用D5如何如何分擔？分擔？230) 3 (160) 2 (230) 1 (CCC0)3()2()1 (,0)(vvvv3 ,2, 1I集合特征函數特征函數v(s)聯合聯合(集集s)建廠比單獨建廠節約的投資建廠比單獨建廠節約的投資),(321xxxx 三城從節約投資三城從節約投資v(I)中得到的分配中得到的分配40350160230)2 , 1 ()2() 1 ()21 (CCCv 64556230160230) 3 , 2 , 1 () 3 () 2() 1 ()(0) 31 (25365230160) 3 , 2() 3 () 2() 32(CC

9、CCIvvCCCv Shapley合作對策合作對策計算城計算城1從節約投資中得到的分配從節約投資中得到的分配x1)1()()(svsvsw)(sws) 1()(svsv) 1(sv)(svs1 1 2 1 3 I 0 40 0 640 0 0 250 40 0 39 1 2 2 31/3 1/6 1/6 1/3 0 6.7 0 13 x1 =19.7,城城1 C(1)-x1=210.3, 城城2 C(2)-x2=127.9, 城城3 C(3)-x3=217.8三城在總投資三城在總投資556中的分擔中的分擔x2 =32.1, x3=12.2x2最大，如何解釋？最大，如何解釋？()0, (1)23

10、0, (2)160, (3)230vvvv3 ,2, 1I集合思考：選擇特征函數思考：選擇特征函數v(s)如下如下),(321xxxx 三城從節約投資三城從節約投資v(I)中得到的分配中得到的分配(12)(1,2)350vC，(23)(2,3)365(13)(1,3)463( )(1,2,3)556vCvCv IC， 另法另法合作對策的應用合作對策的應用 例：例： 派別在團體中的權重派別在團體中的權重 90人的團體由人的團體由3個派別組成，人數分別為個派別組成，人數分別為40, 30, 20人。人。團體表決時需過半數的贊成票方可通過。團體表決時需過半數的贊成票方可通過。1)()32()31 (

11、)21 (, 0)3()2() 1 (, 0)(Ivvvvvvvv雖然雖然3派人數相差很大派人數相差很大若每個派別的成員同時投贊成票或反對票，用若每個派別的成員同時投贊成票或反對票，用Shapley合作對策計算合作對策計算各派別在團體中的權重。各派別在團體中的權重。3/1321xxx權重團體團體 I=1,2,3，依次代表，依次代表3個派別個派別否則否則，的成員超過的成員超過定義定義特征函數特征函數045, 1)(ssv優點：優點：公正、合理，有公理化基礎。公正、合理，有公理化基礎。如如n個單位治理污染個單位治理污染, 通常知道第通常知道第i方單獨治理的投資方單獨治理的投資yi 和和n方共方共同

12、治理的投資同治理的投資Y, 及第及第i方不參加時其余方不參加時其余n-1方的投資方的投資zi (i=1,2, n). 確定共同治理時各方分擔的費用。確定共同治理時各方分擔的費用。iijjzyiIv)(其它其它v(s)均不知道均不知道, 無法用無法用Shapley合作對策求解合作對策求解Shapley合作對策小結合作對策小結若定義特征函數為合作的獲利若定義特征函數為合作的獲利(節約的投資節約的投資)，則有，則有,)(), 2 , 1(0)(1YyIvniivnii缺點：缺點：需要知道所有合作的獲利，即要定義需要知道所有合作的獲利，即要定義I=1,2,n的所有的所有子集子集(共共2n-1個個)的特

13、征函數，實際上常做不到。的特征函數，實際上常做不到。),(1nbbb記設只知道設只知道)(iIvbi無無 i 參加時參加時n-1方合作的獲利方合作的獲利)(IvB及全體合作的獲利全體合作的獲利0),(21inxxxxxB的分配求各方對獲利),(),7 , 5 , 4(11321xxxxbB求，即已知求解合作對策的其他方法求解合作對策的其他方法例例. 甲乙丙三人合作經商，若甲乙合作獲利甲乙丙三人合作經商，若甲乙合作獲利7元，元，甲丙合作獲利甲丙合作獲利5元，乙丙合作獲利元，乙丙合作獲利4元，三人元，三人合作獲利合作獲利11元。問三人合作時如何分配獲利？元。問三人合作時如何分配獲利？（2）協商解）

14、協商解T0,0TTAxbA11nniiibxxbxxBx11將剩余獲利將剩余獲利 平均分配平均分配 ixBnBbbnxBnxxiiiii1)(111),7 , 5 , 4(.Bb例模模型型以以n-1方合作的獲利為下限方合作的獲利為下限TTbxA求解求解iiibbnx11 xi 的下限的下限, 3),1 , 3 , 4(ixBx) 2 , 4 , 5() 1 , 1 , 1 ( xx（3）Nash解解 ),(1nddd記為現狀點（談判時的威懾點）為現狀點（談判時的威懾點）iiiiiidxBxtsdxxma. .)(iixd 在此基礎上在此基礎上“均勻地均勻地”分配全體合作的獲利分配全體合作的獲利

15、B模模型型0id)(1iiidBndx平均分配獲利平均分配獲利B3）Nash解解 2）協商解）協商解（4）最小距離解）最小距離解的上限為記xxxxn),(1iiiiiixxBxtsxxnmi. .)(2模模型型 第第i 方的邊際效益方的邊際效益iibBx若令若令nBbbnxiii111),7 , 5 , 4(.Bb例)(1Bxnxxiii4）最小距離解）最小距離解 2）協商解）協商解, 6),4 , 6 , 7(Bxxi) 2 , 4 , 5 () 2 , 2 , 2 (xx（5）滿意解）滿意解iiiiidedxu滿意度Bxtsunmixmaiii. .)(di現狀點現狀點(最低點最低點)ei

16、理想點理想點(最高點最高點)模模型型iiiixexd,5）基于滿意度的解）基于滿意度的解 2）協商解）協商解iiixed , 0)(iiiiiiiiideudxdedBu的比例分配中在按iiiiixxBxxx（6）Raiffi 解解jjxbBnjj獲利為方合作時的原來無參與當,1)(jininxxxxxjiijj, 1,) 1(2,2:)1的分配基礎上進行方合作獲利的分配（在Bnx方再等分方平分，和先由11nnjxj得到再平均取,2, 1njijjiiixnxnxnnx) 1(21211) 4 , 6 , 7 (),1 , 3 , 4(xx與協商解與協商解x=(5,4,2)比較比較11),7

17、, 5 , 4(.Bb例)1252,12113,324（x求解合作對策的求解合作對策的6種方法（可分為三類）種方法（可分為三類）Shapley合作對策合作對策A類類B類類!)!1()!()(nssnswniisvsvswxiSsi, 2 , 1),()()()(),(IvBiIvbi只需Issv),(需要所有協商解協商解)(1iiixBnxx下限ixNash解解 )(1iiidBndx現狀id最小距離解最小距離解)(1Bxnxxiii上限ix滿意解滿意解)(iiiiiiiiideudxdedBudi現狀現狀, ei理想理想iiiixexd,iibBx,1bAxB類類4種方法相同種方法相同例：有一資方例：有一資方(甲甲)和二勞方和二勞方(乙乙,丙丙), 僅當資方與至少僅當資方與至少一勞方合作時才獲利一勞方合作時才獲利10元，應如何分配該獲利？元，應如何分配該獲利？Raiffi解解C類類)(),(IvBiIvbi只需方再等分方平分，和先由上限對每個11,nnjxjj10)(),10,10, 0(),(.IvBbiIvbBi)67. 1 ,67. 1 ,67. 6().(xShapleyA)0 , 0 ,10(,xbBxii)0 , 0 ,10(1