1、備課資料一、天體密度的計算要想計算天體的密度，設天體半徑已知，即可得到天體的體積，再求得天體的質量、天體的密度就可求得.求天體質量時，首先應以此天體作為中心天體，具體求解時可有兩條思路：a.F引=F向， b.F引.mga. F=F，即 GMm424 2r 3引向2m2 r ，得： M=2rTGT( 其中： M 為中心天體質量，m為環繞天體質量， T 為環繞天體的繞行周期，r 為環繞天體的軌道半徑)設中心天體的半徑為R，則其體積為V= 4 R3.3所以 = m3 r 3VGT 2R3如果環繞體在中心體表面運行，則r =R,所以 = 3GT 2b. FMmgR2)引mg, 即 G R 2 =mg,

2、 得 M=G( 其中： g 為中心體表面或附近的重力加速度設中心體半徑為，則體積=43RV3 R所以 = M3gV4GR二、科學家發現太陽系第十大行星英國天文學家約翰·默里博士可能發現了太陽系第十大行星.這顆奇異的行星極為遙遠，與目前已知太陽系最遠的行星冥王星相比, 它的公轉軌道大約比冥王星遠 1000倍 . 這顆行星與太陽的距離是地球到達太陽距離的3 萬倍 . 默里博士的這個發現源自彗星理論，每一顆彗星都是受外力驅動才進入太陽系，以致被我們觀察到. 默里博士研究了13 顆彗星的運行軌道后，他認為存在著一個巨大物體的作用，將那些彗星送入了現在的運行軌道 .這顆行星可能是在別處誕生的一

3、顆新星，在銀河系漫游時被太陽系的行星系統捕捉到了.這顆肉眼觀測不到的行星體積是已知太陽系最大行星木星的幾倍以上.這顆行星環繞太陽運行一周需要600 萬年的時間 . 這一速度可以解釋人們以前為什么沒有發現它的原因：它的移動速度極為緩慢.三、對天體運動問題的分析( 一 ) 萬有引力定律與天體圓運動問題的分析方法1. 萬有引力定律若兩個質量分別為 m和 M的質點相距 r ，則其間相互作用的萬有引力的大小為F=GmM/r2應該明確的是： (1) 式中的被稱為引力常量，其值為11N· m· kg 2式=6.67 × 10.(2)GG適用于兩個質點間萬有引力大小的計算，而對于

4、兩個質量分布均勻的球體間的萬有引力大小的計算，也可用式，只是式中的r應理解為兩球心間的距離 .2. 天體圓運動問題的分析方法對于那些在萬有引力作用下， 圍繞某中心天體 ( M) 做圓運動的天體 ( m) 來說，其圓運動問題的分析應緊緊把握住 “引力充當向心力” 這一要點來進行， 即 GmM/r 2=ma. 式中的向心加速n2222n應取何種表達形式，應依具體問題來確定.度 a=v / r =r 4 r / T . 至于 a1例 1已知月球繞地球轉動周期為，軌道近似為圓，月、地間距離為r. 則地球的質T量 M為多大？分析與解對于這種典型的 “天體圓運動問題” 的分析，我們把握住 “引力充當向心力

5、”的分析要點，同時考慮到題設條件中給出了周期T，因此可以用T 來表示向心加速度. 于是222232有 GmM/r =4rm/ T . 可解得地球質量為M=4 r/ GT.( 二 ) 開普勒行星運動定律與天體橢圓運動問題的分析方法1. 開普勒行星運動定律第一定律：行星沿橢圓軌道繞太陽運動，太陽在橢圓軌道的一個焦點上.第二定律：行星與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積. 即 vr sin =常量 . 式中 v 為行星的運動速度， r 為從太陽引向行星的矢徑， 則為速度與矢徑之間的夾角 .第三定律：行星繞太陽做橢圓運動的公轉周期的平方與軌道半長軸的立方成正比. 即T2/ a3 =4 2/ GM

6、. 式中 G為引力常量， M則為太陽的質量 .2. 天體橢圓運動問題的分析方法若把適用于行星繞太陽做橢圓運動的開普勒定律推廣到一般的繞中心天體( M) 做橢圓運動的天體 ( m) 上，開普勒定律的形式不變. 只是此時式中的“常量” 成了一個與新的中心天體相關的常量；式中的M也成了新的中心天體的質量而不再是太陽的質量了. 于是，對于一般的天體的橢圓運動問題的分析，則可以依靠推廣了的開普勒定律. 當然，在一些較為特殊的天體橢圓運動問題中，有時也可以利用“位置的特殊性”和“軌道的對稱性”而借助于萬有引力定律來分析 .例 2如圖所示，衛星繞質量為M的地球做橢圓運動，在近地點和遠地點處與地心分別相距 a

7、 和 b，則衛星在通過近地點和遠地點時其運動速度大小之比為v1v2=_. 衛星從近地點運動到遠地點所經歷的最短時間為t =_.解析：對于這種一般的天體橢圓運動問題，通常是利用開普勒定律來分析求解的. 由開普勒第二和第三定律分別有：v1a=v2b=k( 常量 ). T2/( a b )3=4 2/ GM.由此便可分別解得：衛2星在近地點和遠地點處運動速度大小之比為v1v2= ；衛星從近地點到達遠地點所b a經歷的最短時間為 t = 1 T=(a b) 2GM (ab) .24GM當然，此例中式給出的結論亦可由萬有引力定律求得. 由萬有引力定律可得，衛星在近地點和遠地點處分別有式中的 R為橢圓軌道

8、在近地點和遠地點這兩個對稱的特殊位置處的曲率半徑. 由上式便可求得 v1 與 v2 之比如式所給出.四、萬有引力定律應用時應分清的幾個概念1. 天體半徑和衛星軌道半徑在中學物理中通常把天體看成一個球體，天體半徑就是球的半徑，反映了天體的大小.2衛星的軌道半徑是天體的衛星繞天體做圓周運動的圓的半徑. 一般情況下，天體衛星的軌道半徑總大于該天體的半徑. 當衛星貼近天體表面運行時，可近似認為軌道半徑等于天體半徑.例 3一宇宙飛船到某星球上探測，宇航員想知道該星球的密度，而身邊只有一塊手表，他該怎么辦呢？解析：當宇宙飛船繞著星球運行時，可將其視為該星球的一顆衛星，根據關系式GMm/r 2=mr42/

9、T2( 這里 r 是宇宙飛船的軌道半徑) ，而 =M( R為星球半徑 ). 因此要想求4R332得星球的密度必須使飛船的軌道半徑r =R，才能得出 =3 / GT. 所以宇航員只要讓飛船貼近該天體的表面繞行一周，用手表測出周期，即可求得星球的密度.2. 自轉周期和公轉周期自轉周期是天體繞自身某軸線轉動一周的時間，公轉周期是衛星繞中心天體做圓周運動一周的時間 . 一般情況下天體的自轉周期和公轉周期是不等的，如地球自轉周期為24 小時，公轉周期為 365天 . 在應用中要注意區別 .例 4已知太陽光射到地球需時t =500 s ，地球同步衛星的高度h=3.6 × 104km. 試估算太陽

10、和地球的質量 .解析：設太陽質量為M，地球質量為M，地球同步衛星質量為m. 由地球繞太陽做圓周12運動知：1 2/2= 2r4 2/2, 求得1=4 2 r3. 式中r=,v為光速 .GMM rMTMGT 2vt再根據地球同步衛星繞地球做圓周運動得：GM 2 m=m( R 地 +h)4 22, 得( R地 h)T 22= 4 2(R地h)3. M2GT代入數據可求得 M1、 M2=. 注意 T、 T分別是地球的公轉周期和自轉周期.當然，也有的天體自轉周期和公轉周期相同，如月球的自轉周期等于它繞地球的公轉周期，故月球總是以同一面朝向地球.3. 同步衛星和一般衛星地球同步衛星和其他地球衛星雖然都繞

11、地球運行，但它們之間卻有著明顯的區別.地球同步衛星是相對于地球靜止，和地球自轉具有相同周期的衛星，它的周期T=24 h.由于衛星受到的地球引力指向地心，在地球引力的作用下同步衛星不可能停留在與赤道平面平行的其他平面，它一定位于赤道的正上方. 如我國發射的電視轉播衛星，不是定點在北京上空或其他什么地點的上空，而是停在位于赤道的印度尼西亞上空. 根據牛頓第二定律2232/= r, 得r=. 可見同步衛星離地心的距離是一定的，代入數據得r =4.24 ×GM/ 0GMmrm0104 km，且線速度 v=r 0=3.08 × 103m/s也是一定的，其繞行方向與地球自轉同向.而一般

12、衛星的周期、線速度等可比同步衛星大，也可比同步衛星小， 但線速度等可比同步衛星大，也可比同步衛星小，但線速度最大值為v=7.9 km/s ，最小周期大約85 min ，軌道也可是任意的，軌道平面一定通過地球球心.例 5同步衛星離地距離r ，運行速率 v1，加速度 a1，地球赤道上的物體隨地球自轉的向心加速度為a ，第一宇宙速度為v ，地球半徑為 R，則 ()22A. a1/ a2=r / RB. a1/ a2=R2/ r 21/ v22212R/ rC. v=R/ rD. v/ v =3解析：同步衛星和赤道上的物體的角速度相等，據 =2 知a1/ 2=/ . 第一宇宙速度是a ra rR衛星貼

13、近地面繞行的速度， 同步衛星也屬于一種衛星，故速率 v=GM / r, 所以 v / v=R/ r,12本題應選AD.4. 赤道上的物體和近地衛星放在赤道上的物體隨地球自轉時受兩個力的作用，一個是地球對它的萬有引力，另一個是地面對物體的支持力. 這兩個力的合力提供了物體做圓周運動的向心力，即 G= Mm N=mR0RO 22 , 這里 N=mg.020.034 m/s2, 遠小于地面上物體的重力加速度2物體的向心加速度 a=Rg=9.8 m/s ，故在近似計算中可忽略自轉影響，而認為地面上物體的重力和該物體受到的萬有引力大小相等 .繞天體運行的衛星， 只受一個力即萬有引力， 衛星上物體處于完全失重狀態， 故 F=mg=ma.2例 6地球赤道上的