1、考點測試25解三角形的應用一、基礎小題1從a處望b處的仰角為，從b處望a處的俯角為，則，之間的關系是()a>bc90°d180°答案b解析根據仰角與俯角的含義，畫圖即可得知2在abc中，若sin(ab)12cos(bc)sin(ac)，則abc的形狀一定是()a等邊三角形b不含60°的等腰三角形c鈍角三角形d直角三角形答案d解析sin(ab)12cos(bc)sin(ac)12cosasinb，sinacosbcosasinb12cosasinb，sinacosbcosasinb1，即sin(ab)1，則有ab，故三角形為直角三角形3一船自西向東勻速航行，上

2、午10時到達一座燈塔p的南偏西75°距塔68海里的m處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的n處，則這只船的航行速度為()a 海里/小時b34 海里/小時c 海里/小時d34 海里/小時答案a解析如圖所示，在pmn中，mn34.v(海里/小時)故選a.4線段ab外有一點c，abc60°，ab200 km，汽車以80 km/h的速度由a向b行駛，同時摩托車以50 km/h的速度由b向c行駛，則幾小時后，兩車的距離最小()ab1cd2答案c解析如圖所示，設過x h后兩車距離為y，則bd20080x，be50x.y2(20080x)2(50x)22×(20080x)

3、3;50x·cos60°，整理得y212900x242000x40000(0x2.5)當x時，y2最小，即y最小5要測量底部不能到達的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測點，在甲、乙兩點測得塔頂的仰角分別為45°、30°，在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°，甲、乙兩地相距500 m，則電視塔的高度是()a100 mb400 mc200 md500 m答案d解析由題意畫出示意圖，設塔高abh m，在rtabc中，由已知bch m，在rtabd中，由已知bdh m，在bcd中，由余弦定理bd2bc2cd2

4、2bc·cdcosbcd，得3h2h25002h·500，解得h500(m)6.如圖所示，為了測量某湖泊兩側a，b間的距離，李寧同學首先選定了與a，b不共線的一點c(abc的角a，b，c所對的邊分別記為a，b，c)，然后給出了三種測量方法：測量a，c，b；測量a，b，c；測量a，b，a，則一定能確定a，b間的距離的所有方案的序號為()abcd答案d解析由題意可知，在三個條件下三角形均可唯一確定，通過解三角形的知識可求出ab.故選d.7.如圖，航空測量組的飛機航線和山頂在同一鉛直平面內，已知飛機的飛行高度為10000 m，速度為50 m/s.某一時刻飛機看山頂的俯角為15&#

5、176;，經過420 s后看山頂的俯角為45°，則山頂的海拔高度為_ m(取1.4，1.7)答案2650解析如圖，作cd垂直于ab的延長線于點d，由題意知a15°，dbc45°，acb30°，ab50×42021000(m)又在abc中，bc×sin15°10500()cdad，cdbc·sindbc10500()×10500(1)7350.故山頂的海拔高度h1000073502650(m)8在海島a上有一座海拔1千米的山，山頂上有一個觀察站p.上午11時，測得一輪船在島的北偏東30°、俯角30

6、°的b處，到11時10分又測得該船在島的北偏西60°、俯角60°的c處，則輪船航行速度是_千米/時答案2解析pa平面abc，bac90°，apb60°，apc30°，pa1千米，從而bc千米，于是速度vbc÷2(千米/時)二、高考小題9在abc中，b，bc邊上的高等于bc，則cosa()abcd答案c解析解法一：過a作adbc，垂足為d，由題意知adbdbc，則cdbc，abbc，acbc，在abc中，由余弦定理的推論可知，cosbac，故選c.解法二：過a作adbc，垂足為d，由題意知adbdbc，則cdbc，在rtadc

7、中，acbc，sindac，cosdac，又因為b，所以cosbaccoscosdac·cossindac·sin××，故選c.10在abc中，b120°，ab，a的角平分線ad，則ac_.答案解析依題意知bdacbac，由正弦定理得，sin，cbac180°b60°，cbac45°，bac30°，c30°.從而ac2·abcos30°.11.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到a處時測得公路北側一山頂d在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達b處，測

8、得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度cd_ m.答案100解析依題意有ab600，cab30°，cba180°75°105°，dbc30°，dccb.acb45°，在abc中，由，得，有cb300，在rtbcd中，cdcb·tan30°100，則此山的高度cd100 m.12.如圖，從氣球a上測得正前方的河流的兩岸b，c的俯角分別為67°，30°，此時氣球的高是46 m，則河流的寬度bc約等于_m(用四舍五入法將結果精確到個位參考數據：sin67

9、6;0.92，cos67°0.39，sin37°0.60，cos37°0.80，1.73)答案60解析如圖所示，過a作adcb且交cb的延長線于d.在rtadc中，由ad46 m，acb30°得ac92 m.在abc中，bac67°30°37°，abc180°67°113°，ac92 m，由正弦定理，得，即，解得bc60 m.13在平面四邊形abcd中，abc75°，bc2，則ab的取值范圍是_答案(，)解析如圖，作pbc，使bc75°，bc2，作直線ad分別交線段pb、pc

10、于a、d兩點(不與端點重合)，且使bad75°，則四邊形abcd就是符合題意的四邊形過c作ad的平行線交pb于點q，在pbc中，過p作bc的垂線交bc于點e，則pb；在qbc中，由余弦定理qb2bc2qc22qc·bc·cos30°84()2，故qb，所以ab的取值范圍是(，)三、模擬小題14若兩座燈塔a和b與海洋觀察站c的距離都等于a km，燈塔a在觀察站c的北偏東20°方向上，燈塔b在觀察站c的南偏東40°方向上，則燈塔a與燈塔b的距離為()aa kmba kmc2a kmda km答案d解析依題意知acb180°20&

11、#176;40°120°，在abc中，由余弦定理知aba(km)，即燈塔a與燈塔b的距離為a km.15.如圖，在平面四邊形abcd中，ab1，bc1，ad，abc120°，dab75°，則cd()ab2c2d1答案a解析如圖，過點d作deab于e，過c作cfab交ab的延長線于f，則decf，cbf60°，deadsindab×sin(45°30°)×，cfbcsincbf(1)×，所以四邊形defc是矩形，cdefabaebf，因為aeadcosdab×cos(45°30

12、°)×，bfbccoscbf(1)×，所以cd1.16在abc中，a，b，c分別為內角a，b，c所對的邊，bc且，若點o是abc外一點，aob(0<<)，oa2，ob1，則平面四邊形oacb面積的最大值是()abc3d答案a解析由bc得bc，由得sinbcosasinasinacosb，所以sinasinbcosasinacosbsin(ab)sinc，所以ac，所以abc是等邊三角形在oab中，由余弦定理得c222122×2×1×cos54cos，所以s四邊形oacbsoabsabcoa·obsinc2sin(

13、54cos)sincos2sin，所以(s四邊形oacb)max2.故選a.17如圖所示，某炮兵陣地位于地面a處，兩觀察所分別位于地面c處和d處，已知cd6000 m，acd45°，adc75°，目標出現于地面b處時測得bcd30°，bdc15°，則炮兵陣地到目標的距離是_ m(結果保留根號)答案1000解析acd45°，adc75°，cad60°.在acd中，由正弦定理可得，ad6000×2000(m)在bcd中，由正弦定理得，bd3000(m)，在rtabd中，由勾股定理可得ab2bd2ad2，ab 1000(

14、m)18在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，若a5，b7，b，則abc的面積為_答案10解析由余弦定理b2a2c22accosb得7252c22×5c×cos，即c25c240，解得c8或c3，又c>0，故c8，從而abc的面積為×5×8sin10.一、高考大題1在abc中，內角a，b，c所對的邊分別為a，b，c.已知bc2acosb.(1)證明：a2b；(2)若abc的面積s，求角a的大小解(1)證明：由正弦定理得sinbsinc2sinacosb，故2sinacosbsinbsin(ab)sinbsinacosbcosasinb，

15、于是sinbsin(ab)又a，b(0，)，故0<ab<，所以，b(ab)或bab，因此a(舍去)或a2b，所以a2b.(2)由s得absinc，故有sinbsincsin2bsinbcosb，因sinb0，得sinccosb.又b，c(0，)，所以c±b.當bc時，a；當cb時，a.綜上，a或a.2在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c.已知2(tanatanb).(1)證明：ab2c；(2)求cosc的最小值解(1)證明：由題意知2，化簡得2(sinacosbsinbcosa)sinasinb，即2sin(ab)sinasinb.因為abc，所以sin(ab)

16、sin(c)sinc.從而sinasinb2sinc.由正弦定理得ab2c.(2)由(1)知c，所以cosc，當且僅當ab時，等號成立故cosc的最小值為.二、模擬大題3在abc中，角a，b，c所對的邊分別是a，b，c，且cosa.(1)求cos2cos2a的值；(2)若a，求abc面積的最大值解(1)cos2cos2a2cos2a12cos2a1×2×21.(2)由余弦定理，得()2a2b2c22bccosab2c2bc2bcbcbc.bc，當且僅當bc時等號成立bc的最大值為.cosa，a(0，)，sina.sabcbcsina××.abc面積的最大

17、值為.4如圖，在abc中，點d在邊ab上，cdbc，ac5，cd5，bd2ad.(1)求ad的長；(2)求abc的面積解(1)在abc中，因為bd2ad，所以可設adx(x>0)，則bd2x.在bcd中，因為cdbc，cd5，bd2x，所以bc.所以coscbd.在abc中，ab3x，bc，ac5，由余弦定理，得coscba.所以，解得x5.所以ad的長為5.(2)由(1)得ab3x15，bc5，所以coscbd，從而sincbd.所以sabc·ab·bc·sincba×15×5×.5如圖，在一條海防警戒線上的點a，b，c處各有一個水聲檢測點，b，c到a的距離分別為20千米和50千米，某時刻b收到來自靜止目標p的一個聲波信號，8秒后a，c同時接收到該聲波信號，已知聲波在水中的傳播速度是1.5千米/秒(1)設a到p的距離為x千米，用x表示b，c到p的距離，并求出x的值；(2)求p到海防警戒線ac的距離解(1)依題意，有papcx，pbx1.5×8x12.在pab中，ab20，cospab，同理，在pac中，ac50，cospac.cospabcospac，解得x31.(2)作pdac于d，在adp中，由cospad，得sinpad，pdpasinpad31×4.故靜