1、自動控制理論教材：教材：自動控制理論自動控制理論王孝武，方敏，葛鎖良編王孝武，方敏，葛鎖良編. . 機械工業出版社機械工業出版社 2010.62010.6參考書：參考書： 自動控制理論自動控制理論（第五版）（第五版），胡壽松主編胡壽松主編. .科學出版社科學出版社 現代控制工程現代控制工程 緒方勝彥著緒方勝彥著, ,科學出版社科學出版社 自動控制原理自動控制原理 孫虎章主編，中央廣播電視大學孫虎章主編，中央廣播電視大學參考葛鎖良老師課件參考葛鎖良老師課件主講教師主講教師: : 平兆武平兆武合肥工業大學電氣與自動化工程學院自動化系合肥工業大學電氣與自動化工程學院自動化系自動控制理論研究對象:單輸

2、入、單輸出線性定常連續系統()cGs( )c t( )r t0()Gs主要內容:1、建模2、分析3、校正第第7 7章章 線性離散控制系統線性離散控制系統7.1引言連續時間系統連續時間系統：簡稱連續系統。是指控制系統中所有的信號都是時間變量t 的連續函數。離散時間系統離散時間系統: 簡稱離散系統。是指系統中有一處或幾處信號是脈沖序列形式或數字序列形式，這些信號只在離散的時刻上有值。( )e tt0一、一、 離散控制系統的結構離散控制系統的結構 計算機控制系統 數字計算機及接口數字計算機及接口A/DD/A數字控制器數字控制器被控對象被控對象測量元件測量元件)(tr)(* te)(te)(* tu)

3、(tuh)(tcA/D數字控制器數字控制器D/A)(sGc)(sGh)(sGp)(sH)(tr( )c t( )e t)(* te)(* tu( )u t)(tuh將A/D看作理想開關， D/A等效為保持器，離散控制系統的一般結構：A/D轉換器和D/A轉換器的介紹見課本292頁。離散系統的分類：離散系統的分類：r 采樣器輸出信號的幅值與輸入信號的幅值之間滿足線性關系，并且系統中的連續部分為線性的，稱為線性離散系統；r 采樣器在系統的閉合回路之外，或者系統中不存在閉合回路，稱這樣的離散系統為開環離散系統；r 采樣器在系統的閉合回路之內，稱為閉環離散系統。二、二、 離散控制系統的研究方法離散控制系

4、統的研究方法采樣器的工作方式：采樣器的工作方式：q 周期采樣（等速采樣）：指一個采樣器的采樣時刻是等間隔的。q 同步采樣：指系統中兩個或以上的采樣器的采樣周期相同，并且相位上同步。q 多速采樣：指系統中兩個或以上的采樣器分別按不同的采樣周期工作。本章僅討論線性定常離散系統線性定常離散系統。且所有采樣器均以同步采樣、周期采樣同步采樣、周期采樣的方式工作。離散系統的研究方法：離散系統的研究方法：模型方法：模型方法：校正方法：校正方法：分析方法：分析方法：差分方程脈沖傳遞函數z變換時域法穩定性分析瞬態性能分析穩態誤差計算用連續系統的校正方法設計數字控制器直接數字控制器的設計方法結構圖7.2 7.2

5、信號的采樣與恢復信號的采樣與恢復能否保證信號不失真地傳遞？ 也就是在什么樣的條件下可以使得 在離散控制系統中，由于采樣器和保持器的存在，信號傳遞過程需要不斷將連續信號變成離散信號，同時也要將離散信號變成連續信號。 ( )he tS)(sGh*( )e t( )e t)()(teteh這就是信號的采樣與恢復問題。 問題問題：一、采樣過程及采樣信號的表示一、采樣過程及采樣信號的表示 ( )e tt00 T 2T 3T .*( )e tt*( )e t( )e tTT：采樣周期：采樣持續時間即脈沖寬度：采樣頻率 1/sfTsf：采樣角頻率 sTfss220 T 2T 3T .*( )e tt()e

6、kT*( )(0) ( )( ) ()(2 ) (2 )etete TtTeTtT *( )(0)1( ) 1()etett1( )1()1()1() (0)( )tttTtTee T (0) ( )( ) ()ete TtT數學描述為數學描述為0() ()ke kTtkT( )1() 1()e TtTtT( )e tt0*( )e t( )e tT0 T 2T 3T .*( )e tt()e kT*( )(0) ( )( ) ()(2 ) (2 )etete TtTeTtT數學描述為數學描述為0() ()ke kTtkT輸出采樣信號可看成是一串理想脈沖序列，其強度等于相應瞬間輸出采樣信號可看

7、成是一串理想脈沖序列，其強度等于相應瞬間e(t)的數值的數值(0 )(0 ),(0)(0 )eeee若取定義理想脈沖序列 kTkTtt)()(0 T 2T 3T .t考慮到當t0時，e(t)=0，所以 ( )()( )( )Tke ttkTe tt00*( )() ()( ) ()kkete kTtkTe ttkT理想采樣器相當于一個脈沖調制器理想采樣器相當于一個脈沖調制器 *( )(0) ( )( ) ()(2 ) (2 )etete TtTeTtT數學描述為數學描述為0() ()ke kTtkT考慮到當t0時，e(t)=0，所以 ( )()( )( )Tke ttkTe tt00*( )(

8、) ()( ) ()kkete kTtkTe ttkT例7-2例7-1設( )1( )e tt求*( )et0*( )() ()kete kTtkT0()( )()(2 )ktkTttTtT設( )e tt求*( )et0*( )() ()kete kTtkT0()kkTtkT二、二、 采樣信號的拉氏變換采樣信號的拉氏變換 對采樣信號 進行拉氏變換，變換后的象函數記為 ，即)(* te)(* sE *( )*( )etEsL0*( )() ()kete kTtkT（1 1）00*( )() ()()kTskkEse kT LtkTe kT e(2) *( )( )( )Tete ttksjks

9、ETsE)(1)(*表示了表示了 與與 之間之間的關系的關系*( )Es()e kT表示了表示了 與與 之間之間的關系的關系*( )Es( )E s1*( )( )( )( )sjktTkete tte t eTTdtetTcTTtjkTks1)(122tjkkkTsect)(傅里葉級數展開三、三、 采樣信號的頻譜采樣信號的頻譜連續信號 的傅氏變換為 ，稱 為 的幅值譜，它表示構成 的所有不同角頻率正弦分量的幅值與角頻率的函數關系。)(te)(jE)(te)(te)(jE)(te設 是具有有限帶寬的非周期連續信號，其幅值譜為：max()E jmax01是該連續頻譜的最大角頻率 max在信號分析

10、理論中知道，當 為周期信號時， 是 的離散函數，所以 是一個離散頻譜；當 為非周期信號時， 是 的連續函數，則 是一個連續頻譜。 )(te)(jE)(jE)(jE)(te)(jEjs 令1*() ()skEjE jkT求采樣信號 的頻譜 ：)(* te*()Ej1*( )()skEsE sjkT由)(*jEs)(jE 是以采樣角頻率 為周期的無窮多個頻譜之和，它的主分量與連續信號頻譜 形狀一致，僅在幅值上變化了1/T倍。若采用理想的低通濾波器，可以恢復原來的連續信號的頻譜。 max(1)2s的情況T10maxmax*()Ejss2s2s2s2s主分量主分量給出了離散信號的頻給出了離散信號的頻譜

11、和連續信號頻譜之譜和連續信號頻譜之間的關系間的關系 11() ()sE jE jTTTmax(2)2s的情況由于采樣信號頻譜中的各分量之間存在混疊，各分量疊加后的頻譜由圖中的紅色線表示。在這種情況下，即使用理想的低通濾波器，也無法恢復原來連續信號的頻譜。 /2s*()Ej1 Tmaxmaxss0連續信號經采樣后能夠不失真地恢復，需要兩個條件。香農香農(Shannon)采樣定理采樣定理 smax如果如果 ，則經采樣得到的脈沖序列能夠無失真地恢復到原連，則經采樣得到的脈沖序列能夠無失真地恢復到原連續信號。續信號。 是采樣角頻率，是采樣角頻率， 為連續信號頻譜的最高角頻率。為連續信號頻譜的最高角頻率

12、。 max2s采樣定理的條件也可表示為：max2 ffs四、四、 采樣定理采樣定理五、五、 采樣周期的選取采樣周期的選取 采樣周期 T 是計算機控制系統設計中的一個關鍵參數，需要根據實際情況合理選擇。 必須滿足采樣定理（最基本的要求）。 太大（T太小），實現困難（硬件上的困難、軟件實現的困難），會增加不必要的開支。 s在一般的過程控制系統中在一般的過程控制系統中： 過程控制參數采樣周期（s）流流 量量壓壓 力力液液 位位溫溫 度度成成 分分1 15 55 52020202010sc5cT即在隨動系統中：在隨動系統中： rtT101stT401六、六、 信號的恢復信號的恢復2()02ssTF j

13、理想低通濾波器F(s)的幅頻特性:經過理想濾波器，脈沖信號能恢復成原來的連續信號。但是，在現實中理想濾波器是無法實現的。工程上通常采用接近理想濾波器性能的保持器保持器來代替。2s0T()F j信號保持過程信號保持過程是將采樣脈沖序列轉換成連續信號的過程。實現信號保持過程的元件稱為保持器保持器。v從頻域上看，從頻域上看，保持器的任務是把采樣信號頻譜中的高頻分量全部濾掉，只保留頻譜的主分量，也就是恢復連續信號的頻譜。不同的插值算法或者不同的濾波性能就形成了不同的保持器。不同的插值算法或者不同的濾波性能就形成了不同的保持器。v從時域上看，從時域上看，保持器的任務是在采樣信號各采樣時刻之間進行插值，恢

14、復連續信號；具體地講,就是根據 計算出 在 之間的值 。 ()e kT(1) , (2) e kTe kT，( )e t(1)kTkT1. 保持器的數學描述保持器的數學描述()e kT(1) , (2) e kTe kT，()0)e kTttT （保持器是具有外推功能的元件，它利用 以及 k 以前各時刻的采樣值 外推求得 。使用多項式外推公式：2012()()()mme kTtaatatat 取取 m=0, , 稱為零階保持器稱為零階保持器- - 稱為稱為m m階保持器階保持器 取取 m=1, , 稱為一階保持器稱為一階保持器0()e kTta01()e kTtaat()()e kTte kT

15、Tt 000()te kTa 當，00()tae kT 當，11 ()(1) tTae kTe kTT 當，()(1) ()()e kTe kTe kTte kTtT Tt 02. 零階保持器零階保持器（1）零階保持器的傳遞函數）零階保持器的傳遞函數0( )()1() 1()hke te kTtkTtkTT( )hG s( )he t*( )e tt( )hetkT (1)kT()e kT0(1)00111( )()()TskTskTskTshkkeEse kTeee kT esss0*( )()kTskEse kT esesEsEsGTshh1)(*)()(0*( )() ()kete kT

16、tkT1()j TheGjj（2）零階保持器的頻率特性）零階保持器的頻率特性不是理想不是理想濾波器濾波器（3）零階保持器的實現）零階保持器的實現步進電機、寄存器、D/A轉換器、sesEsEsGTshh1)(*)()(/2/2/2()/ 2/ 2j Tj Tj Teeejjj/2/2sin(/ 2)sin(/ 2)/ 2/ 2j Tj TeTTTeT( )he tS)(sGh*( )e t( )e t具有容易實現及延遲時間小等優點，在離散控制系統中是應用最廣泛的一種保持器。7.3 Z7.3 Z變換與變換與Z Z反變換反變換一、一、 Z Z變換的定義變換的定義0)()()(*kkTtkTete進行

17、拉氏變換： kTskekTeteLsE0)()(*)(*在E*(s)中含有因子eTS，是s的超越函數，而不是有理函數，因此引入新的變量z,令 Tsez zTsln1*1ln( )( )szTE zEs稱E(z)E(z)為e e* *(t)(t)的Z變換，記作 *( )( )Z etE z)()(zEteZ10()(0)( )()kkke kT zee T ze kT z ()( )Z e kTE z ( )( )Z E sE z計算采樣信號e*(t)的Z變換主要有三種方法：r 級數求和法級數求和法r 部分分式部分分式法法r 留數法留數法 1 1級數求和法級數求和法就是直接利用Z變換定義的計算方

18、法。 二、二、 Z Z變換的計算變換的計算( )e t*( )()ete kT或0( )()kkE ze kT z不同的e(t)，采樣后e*(t)有可能是相同的，可以得到相同的E(z)。所以，Z變換只是對采樣點上的信息有效，只要e*(t)相同，E(z)就相同，但采樣前的e(t)可以是不同的。 這是一個公比為z z-1-1的等比級數，當zz-1-1 1 1z 1時，級數收斂，可寫成閉合形式： 11( )111zE zzzz求單位階躍信號的Z變換設e(t)=1(t)，其采樣信號為由Z變換定義120( )()1kkE ze kT zzz 解：解：()10,1,2,)e kTk（0*( )()kett

19、kT在所有采樣時刻有： 例7- 單位脈沖函數 的Z變換？（課本例7-4）)(t單位理想脈沖序列 的Z變換？（課本例7-6）)0()(ttT思考：為什么與單位階躍信號的Z變換相同？1220( )1akTkaTaTkE zezezez 111( )(1)1aTaTaTzE zezezze求指數函數信號的Z變換解：解： 設 , 求Z變換E(z)，其中 為常數。 ( )ate tea()akTe kTe這是一個公比為 的等比級數，當 時，級數收斂，可寫成閉合形式 1aTez11aTez例7-2 2部分分式法部分分式法)(te)(sE)(sE)(* te在控制系統中，連續函數 常常是以拉氏變換形式 給出

20、的，已知 求 的Z變換，采用部分分式法較為方便。計算步驟計算步驟：( )E s( )e tL化成部分分式1( )niiE s1( )niiE z1( )niiE tL-1查表(P308)例7-5) 1(1)(sssE設 ,求E(s)的Z變換。 111) 1(1)(sssssE111( )11te tess L)(1()1 (1)(TTTezzezezzzzzE能否將能否將 代入代入E(s)E(s)求求E(z)?E(z)?1lnszT1ln( )( )szTE zE s ( )Z E s是表示與是表示與E(s)E(s)對應的對應的e(t)e(t)的采樣函數的采樣函數e e* *(t)(t)的的Z

21、 Z變換。變換。3 3留數法留數法已知連續函數e(t)的拉氏變換E(s)及其全部極點 ，則e(t)對應的Z變換可通過下面的留數計算公式求得，即(1,2, )is il1111( )lim()( )(1)!iiiirlrirsTssiidzE zssE srdsze 式中， 為彼此不相等的極點個數。且 為 階重極點。 lisir1.1.線性定理線性定理 證明：證明： 1 1221 1220( )( )()()kkZ a e ta e ta e kTa e kTz1122112200()()( )( )kkkkae kT zae kT za E za E z)()()()(22112211zEaz

22、EateateaZ若已知 的Z變換分別為 ，且 為常數，則有： 12( )( )e te t，12( )( )E zEz，12,a a三、三、 Z Z變換的基本定理變換的基本定理設正弦信號 e(t)= sint (t0),求z變換E(z)。 )(21sin)(tjtjeejtte12j Tj Tzzjzeze2sin2cos1zTzzT解：解：1( )2j tj tE zZ eZ ej21()2()1j Tj Tj Tj Tz eejzz ee例7-若e(t)的Z變換為E(z), 則有 )()(zEznTteZn10)()()(nkknzkTezEznTteZ2. 2. 實數位移定理實數位移定

23、理證明證明： 0 ()()kkZ e tnTe kTnTznjjnzjTez)(j=k-n) ()0() nk nkze kn Tz由于j0時，e(jT)=0,所以有 )()()(0zEzzjTeznTteZnjjn0()kknne kTnTzzz0 ()()kkZ e tnTe kTnT z()() k nnk n ne kn T zz ()nkk nze kT z100()()nnkkkkze kT ze kT z10 ( )()nnkkzE ze kT z已知e(t)=1(t-T),求它的Z變換函數E(z)。 解解: 111)( 1 )( 1 11zzzztZzTtZ例7-7若已知e(t

24、)的Z變換為E(z),則有 )()(aTatezEeteZ式中 為常數a3.3.復數位移定理復數位移定理證明：證明： 根據Z變換定義 0)()(kkakTatzekTeeteZ0() ()aTkke kTze()aTE z e2) 1(zTztZ2()(1)ataTaTeeT zZ t ez已知e(t)=te-at,求Z變換E(z)。 例7-84. z4. z域微分定理：域微分定理： 若e(t)的Z變換為E(z),則 )()(zEdzdTztetZ證明：證明：0)()(kkzkTezE兩邊對z求導數 0)()(kkzkTedzdzEdzd10()kkzkT e kTzT10() ()kke k

25、Tkz 1( )zZ t e tT )()(zEdzdTztetZ同理可推出：2( ) ( )( )dddZ t e tTzZ te tTzTzE zdzdzdz )()(3zEdzdTzdzdTzdzdTztetZ若已知e(t) 的Z變換為E(z),則 azEteaZk)(其中 為常數) a5. z5. z域尺度定理域尺度定理證明證明： 0( )()kkkkZ ae tae kTz0()kkze kTazEa若e(t)的Z變換為E(z)，且E(z)在z平面的單位圓上沒有二重以上極點，在單位圓外解析.則 1( )lim *( )lim(1) ( )tzeetzE z 6.6.終值定理終值定理證

26、明證明: : )0()() 1()()0()()()(zezEzzEzezzEteTteZ)()()0()() 1(teTteZzezEz)()2()3()()2()0()()0()() 1()0(lim)() 1(lim011eTeTeTeTeeTeezkTeTkezezEzkkzz)() 1(lim)(*lim1zEztezt終值定理可以用來計算離終值定理可以用來計算離散系統的穩態誤差。散系統的穩態誤差。證明：證明： 210)2()()0()()(zTezTeezkTezEkk)(*lim)0()(lim0teezEtz若e(t)的Z變換為E(z)，并有極限 存在，則 )(limzEz0(

27、0)lim *( )lim( )tzeetE z7. 7. 初值定理初值定理 2( )(0.5)(1)zE zzz求 的初值和終值。()e kT解：解：20(0)lim ()lim( )lim1(0.5)(1)kzzzee kTE zzz211( )lim ()lim(1) ( )lim20.5kzzzee kTzE zz 例7-9從z域函數E(z),求時域函數e*(t), 叫做Z反變換。記作 1 ( )*( )ZE zet()e kT*( )et( )e tZ反變換只能給出采樣序列 或采樣函數 , 而不能提供連續函數 。也就是說，通過Z反變換得到的僅是連續函數在各采樣時刻上的值。 注意：注意

28、：或1 ( )()ZE ze kT同樣，可使用三種方法求E(z)的Z反變換： r 冪級數法（長除法）冪級數法（長除法）r 部分分式部分分式法法r 留數法留數法 四、四、 Z Z反變換的計算反變換的計算通常E(z)是z的有理函數，可表示為兩個z的多項式之比 101101( )mmmnnnb zb zbE znma za za用分母去除分子，并將商按z-1的升冪排列 022110)(kkkkkzczczczcczE比較Z變換的定義此法在實際中應用較為方便，缺點是要得到e(kT)的一般表達式較為困難。 00*( )() ()()kkkcete kTtkTtkT0( )()kkE ze kTz()(0

29、,1,2,)ke kTck1.1.冪級數法（長除法）冪級數法（長除法） )2)(1(10)(zzzzE試求其z 反變換。 解：解： 21010( )(1)(2)32zzE zzzzz1234( )103070150E zzzzz*( )10 ()30 (2 )70 (3 )150 (4 )ettTtTtTtT232 10zzz110z1103020zz13020z12309060zz127060zz230z370z12370210140zzz23150140zz4150z例7-102.2.部分分式法部分分式法部分分式展開法是將E(z)展成若干個分式和的形式，而每一個分式可通過查表得出所對應的時

30、間函數e(t)，并將其轉變為采樣信號e*(t)。 在在Z Z變換表中，許多變換表中，許多Z Z變換函數分子上都有因子變換函數分子上都有因子z, z, 所以需要先把所以需要先把E(z)/zE(z)/z展開成部分分式，然后將展開的每一項都乘以展開成部分分式，然后將展開的每一項都乘以z, z, 即得即得E(z)E(z)的展的展開式。開式。 注意：注意：111*( ) ( )niiiAzetZE zZzz1( )niiiAE zzzz1( )niiiAzE zzziiAzzz查表( )ie t離散化()ie kT0*( )() ()kete kTtkT10() ()iikiAzZe kTtkTzz1(

31、)()niie kTe kT100*( )() ()() ()nkkete kTtkTe kTtkT 已知Z變換函數 )2)(1(10)(zzzzE，試求其Z反變換。 解：解： 首先將E(z)/zE(z)/z展開成部分分式 ( )101010(1)(2)12E zzzzzz( )101012E zzzzz 查表有 111zzZkzzZ2211()( )10210(21) 10kke kTZE z *( )(0) ( )( ) ()(2 ) (2 )etete TtTeTtT00 ( ) 10 ()30 (2 )70 (3 ) 150 (4 )(21) 10 ()kkttTtTtTtTtkTe(

32、kT)e(kT)的一的一般表般表達式達式例7-11 已知Z變換函數 )(1()1 ()(aTaTezzzezE，試求其Z反變換。 解：解： aTaTaTezzezzezzE111)(1(1)(aTezzzzzE1)(查表得 atete1)(akTekTe1)(*( )(0) ( )( ) ()(2 ) (2 )etete TtTe TtT23(1) ()(1) (2 )(1) (3 )aTaTaTetTetTetT離散化得例7-121()Re ( )ikz ze kTs E zz根據復變函數中的留數定理 11111Re ( )lim()( )(1)!iiiiirrkkz zirzzids E

33、z zzzE z zrdz其中，極點 處的留數計算公式為：iz ir-為重極點 的階數iz )2)(1(10)(zzzzE試用留數法求e*(t)。 解：解： )2)(1(10)2)(1(10)(11zzzzzzzzzEkkk211010()10 210( 12 ) 1012kkkkzzzze kTzz *( )10 ()30 (2 )70 (3 ) 150 (4 )ettTtTtTtT3. 3. 留數法留數法例7-13 若 均為單極點,則iz11Re ( )lim() ( )iikkz zizzs E z zzz E z z7.4 7.4 離散系統的數學模型離散系統的數學模型 為了便于對離散系

34、統進行分析和校正，首先需要建立離散系統的數學模型。描述連續系統的動態過程微分方程傳遞函數結構圖描述離散系統的動態過程差分方程脈沖傳遞函數結構圖一、一、 線性常系數差分方程及其求解線性常系數差分方程及其求解1.1.差分的定義差分的定義 設連續函數為e(t),采樣后為e(kT),通常為方便起見，記為 ()( )ke kTe ke差分可分為前向差分前向差分和后向差分后向差分兩種。 )() 1()(kekeke2( )( ) (1)( )e ke ke ke k )() 1()(11kekekennn定義：定義：(2)2 (1)( )e ke ke k一階前向差分二階前向差分n階前向差分(1)( )e

35、 ke k) 1()()(kekeke2( )( )(1)e ke ke k) 1()()(11kekekennn一階后向差分二階后向差分n階后向差分( )2 (1)(2)e ke ke k2.2.線性常系數差分方程的一般形式線性常系數差分方程的一般形式 對于輸入、輸出均為采樣信號的線性定常離散系統，動態方程除了含有輸入輸出變量外，還有它們的各階差分，則此方程為差分方程。差分方程分為前向差分方程前向差分方程和后向差分方程后向差分方程。前向差分方程前向差分方程：11()(1)(1)( )nnc kna c knac ka c k011()(1)(1)( )mmb r kmbr kmbr kb r

36、 k010,nmaabb為常系數, ( )r k( )c knm為輸入信號，為輸出信號，且有式中：110110( )(1)(1)()( )(1)(1)()nmmc kac ka c kna c knb r kbr kbr kmb r km后向差分方程后向差分方程：3.3.建立差分方程的方法建立差分方程的方法 實際的離散控制系統中，被控對象是連續的物理系統，由連續系統的微分方程求差分方程時，若采樣周期足夠小，就可以用差分近似表示微分用差分近似表示微分來實現離散化來實現離散化。用前向差分近似表示微分( )( )(1)( )de te ke ke kdtTT用后向差分近似表示微分 ( )( )( )

37、(1)de te ke ke kdtTT已知系統的微分方程為22( )( )2( )0d c tdc tc tdtdt求離散后的前向差分方程。 解：解：22222( )( )( )( )( )(2)2 (1)( )()c kd c tddc tdc kc kc kc kc kTdtdtdtdtTTTT( )( )(1)( )dc tc kc kc kdtTT代入微分方程，有2(2)2 (1)( )(1)( )2( )0c kc kc kc kc kc kTT整理后得2(2)(12(1)()( )21)0c kc kcTTTk例7-144. 差分方程的求解方法差分方程的求解方法q 迭代法迭代法(

38、 )5 (1)6 (2)( )c kc kc kr k( )1r k ，(0)0, (1)1cc 。初始條件( ),0,1,2,c kk 試用迭代法求輸出序列 已知離散系統的差分方程為 ，且輸入序列解：解：差分方程的遞推關系為( )( )5 (1)6 (2)c kr kc kc k由初始條件 (0)0c(1)1c遞推得到 (2)(2)5 (1)6 (0)1506crcc (3)(3)5 (2)6 (1)1 30625crcc (4)(4)5 (3)6 (2)1 1253690crcc 例7-15q Z Z變換法變換法：通過Z變換將時域中的差分方程轉化為z域中的代數方程，求出代數方程的解，再經Z

39、反變換獲得方程的時域解。用Z變換法解差分方程： c(k+2)+3c(k+1)+2c(k)=0初始條件c(0)=0,c(1)=1,求c(k)。 解：解： 對方程兩邊進行Z變換 223( )(0)( )3(12 ( )00)( )zCz C zz cCczzczz代入初始條件并化簡zzCzz)()23(2( )12zzC zzz, 2 , 1 , 0)2() 1()(kkckk將C(z)/z展開部分分式：2( )1113212C zzzzzz2( )32zC zzz例7-162( )(1)12zzzC zzzz( )12(0,1,2,)kc kkk 0*( )(21) ()kkctktkT( )2

40、kr k (2)2 (1)( )( )c kc kc kr k離散系統的差分方程為 已知輸入序列 ,初始條件c(0)=c(1)=0,求輸出響應c(k)。解：解：對前向差分方程兩邊進行Z變換，得到 21 ( )(0)(1)2 ( )(0)( )( )z C zcz cz C zcC zR z( )2( )2kzr kR zz，且初始條件為零 ，得到2( )2( )( )2zz C zzC zC zz221( )212(1) (2)zzC zzzzzz求得例7-17二、二、 脈沖傳遞函數脈沖傳遞函數 ( )G s( )r t( )c t*( )r t*( )c t( )G z( )R z( )C

41、z線性定常離散系統，零初始條件下系統輸出采線性定常離散系統，零初始條件下系統輸出采 樣信號的樣信號的Z變換與輸入采樣變換與輸入采樣信號的信號的Z變換之比。變換之比。 *( )( )( ) *( )( )Z ctC zG zZ rtR z脈沖傳遞函數為已知系統的脈沖傳遞函數G(z)和輸入采樣信號的Z變換 R(z)，在初始條件為零時的輸出采樣信號為)()()()(*11zRzGZzCZtc1. 1. 脈沖傳遞函數定義脈沖傳遞函數定義對于大多數實際系統來說，其輸出往往是連續信號c(t)而不是采樣信號C*(t)。這時，無法求脈沖傳遞函數。( )G z( )R z( )C z( )G s( )r t(

42、)c t*( )r t*( )ct在這種情況下，我們可以在輸出端虛設一個采樣開關，它與輸入端采樣開關一樣，以周期T同步工作。如果系統的實際輸出比較平滑，在采樣點處無跳變，且采樣周期很小，那么我們就可以用c*(t)來近似描述系統的實際輸出c(t)。可見，用脈可見，用脈沖傳遞函數分析系統，只能給出實際輸出沖傳遞函數分析系統，只能給出實際輸出c(t)在采樣時刻的值在采樣時刻的值。說明：說明：2. 2. 采樣函數拉氏變換的兩個重要性質采樣函數拉氏變換的兩個重要性質性質性質1 1 采樣函數的拉氏變換具有周期性，即*( )*()sGsGsjn其中， 為采樣角頻率。s1*( )()skGsG sjkT1*(

43、)()*( )sslGsjnG sjlGsT1*()()ssskGsjnG sjkjnT有 lkn令由采樣函數的拉氏變換證明：證明：*( )Es( )G s性質性質2 2 采樣函數的拉氏變換 與連續函數的拉氏變換 相乘后再離散化，有下式成立 ( )*( )*( )*( )G s EsGs Es1 ( )*( )* ()*()sskG s EsG sjkEsjkT1 ( )*( )* ()*( )skG s EsG sjkEsT*( )*( )Gs Es1 ()*( )skG sjkEsT由性質1證明：證明：由采樣函數的拉氏變換( )G s( )e t( )c t*( )e t*( )c t(

44、)E s*( )E s( )C s*( )C s3. 關于脈沖傳遞函數的幾點討論關于脈沖傳遞函數的幾點討論 ( )G z( )G sq 和 之間的關系 ( )k t( )G zq 和單位脈沖響應 之間的關系 ( ) *( )G zZ kt1ln( )*( )szTG zGs1*( ) ( )ktZG zq 與離散系統的差分方程之間的關系 ( )G z101( )(1)()( )(1)()nmc ka c ka c knb r kbr kb r km10111( )( )( )1mmnnbb zb zC zG zR za za z( )( ) *( )C sG s Rs( )G s( )e t(

45、 )c t*( )e t*( )c t)()()()(sGsRsGsK*( ) *( )GsktL離散化*( ) ( ) *( )*( ) *( )CsG s RsGs Rs（性質（性質2 2）)()()()()(ln1ln1zRzCsRsCsGzTszTs4. 4. 求脈沖傳遞函數的方法求脈沖傳遞函數的方法0( )()kkG zk kT z( )G z( )k t（1）已知連續系統的單位脈沖響應 ，利用 ，求出 。( )G s( ) ( )G zZ G s。（2）已知連續系統的傳遞函數 ，化成部分分式并查表求出（3）已知系統的差分方程，在初始條件為零的情況下進行Z變換求( )G z)10(1

46、0)(sssG)(zG系統結構如圖，其中連續部分傳遞函數 ， 試求該開環系統的脈沖傳遞函數 。( )G z( )R z( )C z( )G s( )r t( )c t*( )rt*( )ct例7-18解：解：1011( )(10)10G ss sss10( )10tk tet 00101)(kkkkTkzezzG)(1()1 (1101010TTTezzezezzzz10()10kTk kTet 離散序列三、三、 離散系統的結構圖化簡離散系統的結構圖化簡與連續系統結構圖相比較，離散系統的結構圖需要考慮采樣開關的位置。由于采樣開關所處的位置不同，連續系統的結構圖等效變換規則不能直接使用。 1.

47、1. 開環離散系統的脈沖傳遞函數開環離散系統的脈沖傳遞函數(1) 串聯串聯環節之間有采樣器的情況環節之間有采樣器的情況1212( )( )( )( )( )G zZ G sZ G sG z G z結論可以推廣到n個環節串聯，且環節間均有同步采樣器分隔的情況。 (2)(2)串聯環節之間無采樣器的情況串聯環節之間無采樣器的情況1212( )( )( )( )( )( )C zG zZ G s G sGG zR z1212( )( )( )GG zG z G z)(21zGG式中， 表示G1(s)和G2(s) 相乘后進行Z變換。顯然 結論可以推廣到n個環節串聯，且環節間沒有采樣器分隔的情況。 (3)

48、(3) 有零階保持器時的情況有零階保持器時的情況 ( )1( )( )( )TspC zeG zZGsR zs1( )(1)pGszZs)(sGp系統連續部分的傳遞函數為零階保持器 sesGTsh1)(可以采用部分分式法求出。 ( )pGsZs(4) 連續信號直接進入連續環節時的情況連續信號直接進入連續環節時的情況 )()()(2zDzGzC)()()()(11zRGsRsGZzD21( )( )( )C zGz G R z)(zC( )/( )C zR z 故只能求得輸出采樣信號的Z變換表達式 而得不到 ，因而無法求得脈沖傳遞函數 。( )G z具有零階保持器的開環采樣系統中 )10(10)

49、(sssGp試求開環系統的脈沖傳遞函數G(z)。 22( )1010.10.1(10)10pGsssssss解解: : 210( )0.10.1(1)1pTGsTzzzZszzze121010101010( )10.10.1( )(1)(1)1(0.1 0.1)(0.10.1)(1)()pTTTTTGszTzzzG zzZszzzzeTezTeezze1010(1)( )(1)()TTzeG zzze不加零階保持器時例7-192. 2. 閉環離散系統的脈沖傳遞函數閉環離散系統的脈沖傳遞函數 在連續系統中，閉環傳遞函數與相應的開環傳遞函數之間有著確定的關系，所以可用一種典型的結構圖來描述一個閉環

50、系統。而在采樣系統中，由于采樣開關在系統中所設置的位置不同，可以有多種結構形式。下面是一種比較常見的離散系統結構圖： 1( )G s2( )G s( )H s( )r t( )c t( )e t*( )e t( )d t( )b t*()c tr 閉環系統的開環脈沖傳遞函數閉環系統的開環脈沖傳遞函數G(z)斷開主反饋通路，*( )et*( )bt 從 到 之間的脈沖傳遞函數稱為閉環離散系統的開環脈沖傳遞函數。 12( )( )( )( )B zG zGG H zE z1( )G s2( )G s( )H s( )r t( )c t( )e t*( )e t( )d t( )b t*()c t1

51、2( )( ) ( )C zG Gz E z( )( )( )E zR zB z12( )( ) ( )B zGG H z E z消去B(z)、E(z)，可以得到：令d(t) = 0,列寫變量之間關系方程：1212( )( )( )( )1( )GG zC zzR zGG H z*( )rt*( )ct( ) zr 到到 之間的閉環脈沖傳遞函數之間的閉環脈沖傳遞函數 r 離散系統的閉環特征方程離散系統的閉環特征方程 121( )0G G H z*( )rt*( )et( )erzr 到到 之間的誤差脈沖傳遞函數之間的誤差脈沖傳遞函數12( )1( )( )1( )erE zzR zGG H z

52、1( )G s2( )G s( )H s( )r t( )c t( )e t*( )e t( )d t( )b t*()c tr 擾動擾動d(t)d(t)作用下的輸出作用下的輸出 ( )dCz令 r(t) = 0，列寫變量之間關系方程：*21( )( )( )( )( )dCsG s D sG s E s*21( )( )( )( )( )( )E sH s G s D sG s Es *212( )( )( )( )dCsG D sGGs Es離散化：1( )G s2( )G s( )H s( )r t( )c t( )e t*( )e t( )d t( )b t*()c t*212( )(

53、 )( )( )E sHG D sGG Hs E s *1222*12( )( )( )( )1( )dGG s HG D sCsG D sGG Hs221212( )( )( )( )1( )dGGzzCzzGGHG DGzDHr 系統的全響應系統的全響應 ( )( ) ( )( )dC zz R zC z在計算閉環離散系統的脈沖傳遞函數時，需要注意以下兩點：在計算閉環離散系統的脈沖傳遞函數時，需要注意以下兩點：p 離散系統連續部分的結構相同，采樣開關位置不同，閉環脈沖傳遞函數也就不同。因此，不能用連續系統閉環傳遞函數的Z變換來求閉環脈沖傳遞函數。即( )( )zZsp 對于輸入信號r(t)

54、不經過采樣開關，直接輸入連續環節的情況，由于系統中不存在r*(t)，無法計算脈沖傳遞函數(z)，只能得到C(z)。 考慮下圖給出的一種閉環采樣系統，求C(z)。)(*)()()()()()(211sDsHsGsGsRsGsD)(*)()(2sDsGsC2112( )( )( )1( )RG zGzC zGG H z2*( )*( )*( )CsGsDs離散化：112*( )( ) ( )* ( )( )( )*( )DsG s R sG s G s H sDs離散化：解解1( )G s2( )G s( )H s( )r t( )c t( )d t*( )d t( )b t*()c t2( )(

55、 )( )C zG zD z112( )( )( ) ( )D zG R zGG H z D z112( )( )1( )G R zD zGG H z例7-202211( )( ) ( )( )1( )( )G z G zGR zC zGzHz113232( )( )( )( )1( )( )G z G zzC zGG RGGzH z2211( )( )( )1( )( )G zzG RGC zG zH z)()(1)()()(zHzGzRzGzC( )( )1( )zGRGC zH z例7-21單回路離散系統單回路離散系統（可直接寫出（可直接寫出C(z)C(z)表達式，見課本表達式，見課本3

56、28328頁）頁）3. 多回路離散系統結構圖計算多回路離散系統結構圖計算 對于比較復雜的多回路離散系統，通常需要根據結構圖列寫方程來求解系統總的脈沖傳遞函數。可以利用系統中離散變量的可以利用系統中離散變量的Z Z變換函數列寫方程；變換函數列寫方程；也可以根據系統中各變量的拉氏變換之間的關系列寫方程，再進行離散化也可以根據系統中各變量的拉氏變換之間的關系列寫方程，再進行離散化。對所列方程組消去中間變量，即可求出閉環脈沖傳遞函數或輸出C(z)。 閉環離散系統的結構圖如圖所示，圖中所有采樣開關同步工作。試計算輸出采樣信號與輸入采樣信號之間的脈沖傳遞函數( ) z。2( )Hs( )c t1( )H

57、s*( )c t( )e t( )r t*( )c t*( )e t1*( )e t1( )e t1( )G s例7-22解：解：方法方法1 1 將圖中的所有信號用其拉氏變換函數表示，再根據變量之間的傳遞關系列寫方程：*1( )E s*( )C s( )E s*( )C s*( )E s( )C s1( )E s( )R s*11( )( )( )( )C sG sE sE s*2( )( )( )( )E sR sHs Cs*1111( )( )( )( )( )E sH s G sEsEs*11( )( )( )( )CsGsEsEs*2( )( )( )( )EsR sHs Cs*111

58、1( )( )( )( )EsH GsEsEs 離散化離散化：2( )Hs( )c t1( )H s*( )c t( )e t( )r t*( )c t*( )e t1*( )e t1( )e t1( )G s解：解：方法方法1 1 將圖中的所有信號用其拉氏變換函數表示，再根據變量之間的傳遞關系列寫方程：*11( )( )( )( )C sG sE sE s*2( )( )( )( )E sR sHs Cs*1111( )( )( )( )( )E sH s G sEsEs*11( )( )( )( )CsG sE sE s*2( )( )( )( )EsR sHs Cs*1111( )( )

59、( )( )EsH GsEsEs 離散化離散化：11( )( )( )( )C zG zE zE z2( )( )( ) ( )E zR zHz C z1111( )( )( )( )E zH G zE zE z11112( )( )( )( )1( )( )( )G zC zzR zH G zG z Hz方法方法2 2 將圖中每個采樣開關后面的采樣信號用其Z變換函數表示，直接列寫各采樣信號的Z變換函數之間的關系方程。要注意正確正確列寫兩個采樣開關之間的脈沖傳遞函數。 2( )Hs( )c t1( )H s*( )c t( )e t( )r t*( )c t*( )e t1*( )e t1(

60、)e t1( )G s1( )E z( )C z( )E z( )C z11( )( )( )( )C zG zE zE z2( )( )( ) ( )E zR zHz C z1111( )( )( )( )E zG H zE zE z11112( )( )( )( )1( )( )( )G zC zzR zH G zG z Hz經整理，求得脈沖傳遞函數消去中間變量 ，( )E z 、1( )Ez 閉環離散系統的結構圖如圖。試計算輸出采樣信號的Z變換 。( )C z解：解：根據圖中采樣開關之后的采樣信號Z變換函數直接列寫方程。 4342( )( ) ( )( )hG G GG GC zzzzR