1、物理學(xué)中關(guān)于自由度的討論 摘要：首先以兩個(gè)簡(jiǎn)單形象的舉例解釋了自由度的概念，然后進(jìn)一步解釋分析了“力學(xué)”中自由度的幾個(gè)特點(diǎn)，引入了剛體運(yùn)動(dòng)的自由度。又用舉例分析來(lái)解釋了“熱學(xué)”和“原子物理學(xué)”中的一些微觀客體的自由度，包括單原子分子的自由度、雙原子分子的自由度、剛性三原子分子的自由度、多原子分子的自由度、多原子分子內(nèi)部的振動(dòng)自由度以及由單、雙、多原子分子形成的物質(zhì)整體的自由度。最后總結(jié)說(shuō)明了研究學(xué)習(xí)“力學(xué)”、“熱學(xué)”和“原子物理學(xué)”中自由度的重要意義。關(guān)鍵詞：自由度； 剛體； 振動(dòng)自由度； 能量按自由度均分定理 a discussion of degree of freedom in phys

2、ics abstract：this paper firstly is started with two simple but vivid examples, which explained the concept of degree of freedom. then it further analyzed a few characteristics of the degree of freedom in dynamics. meanwhile, it introduced the degree of freedom of rigid body movement. next, there are

3、 still enough examples stated to explain some microcosmic objects degree of freedom in thermodynamics and atomic physics, including the degree of freedom of monoatomic molecule, biatom molecule, rigid body triatomic molecule, multiatomic molecule, the inner vibration in multiatomic and the whole mix

4、ed object of monoatomic, biatomic, multiatomic molecule. lastly, it came to the comclusion that studying the degree of freedom in dynamics, thermodynamics and atomic physics is significant. 自由度的概念有廣延而深邃的內(nèi)涵。在力學(xué)、熱學(xué)以及原子物理學(xué)中，自由度都是一個(gè)重要的概念。自由度是決定一個(gè)物體在空間的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。怎樣理解這個(gè)概念呢？先舉幾個(gè)例子進(jìn)行理解。例如：用粉筆在黑板上畫一段曲線的過(guò)

5、程中，粉筆的運(yùn)動(dòng)情況可以用x、y兩個(gè)坐標(biāo)來(lái)描述；而對(duì)于飛行中的飛機(jī)，只考慮飛機(jī)的質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)時(shí)，則必須用x、y、z三個(gè)坐標(biāo)來(lái)描述。所以說(shuō)，正在畫線的粉筆有2個(gè)自由度，正在飛行的飛機(jī)有3個(gè)自由度。一、 “力學(xué)”中的自由度特點(diǎn)力學(xué)中，自由度是指確定一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)的空間幾何位形所需的獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)。其特點(diǎn)如下：（一）、被研究物體的自由度不會(huì)因坐標(biāo)的選取不同而發(fā)生改變，如一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的三維空間運(yùn)動(dòng)，在任何坐標(biāo)系中，自由度數(shù)均為3，即必須用x、y、z三個(gè)坐標(biāo)來(lái)描述。（二）、被研究物體的自由度在同類參考系中不因參考系的動(dòng)靜而有區(qū)別，質(zhì)點(diǎn)在靜、動(dòng)兩個(gè)慣性參考系中，質(zhì)點(diǎn)自由度的種類、名稱及數(shù)目都是一樣的。（三）、同一

6、研究對(duì)象，其自由度隨其所在的“空間”不同而異。如：質(zhì)點(diǎn)在設(shè)定不變的一條直線或曲線上的自由度為1；在設(shè)定不變的一個(gè)平面上的自由度為2；而在設(shè)定不變的空間中自由度為3。（四）、宏觀上觀察物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體自由度越多，則受約束越少，從而物體越自由。（五）、自由度具有疊加性。物體的總自由度等于物體本身運(yùn)動(dòng)具有的自由度和其所處 “空間”（形狀改變或運(yùn)動(dòng)時(shí)）具有的自由度的疊加。如小球沿定長(zhǎng)的直桿，桿又在平面內(nèi)做定軸定速轉(zhuǎn)動(dòng)，若小球看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，桿的“半徑”很小可以忽略，則小球的總自由度等于小球在直桿上運(yùn)動(dòng)的1個(gè)自由度加上直桿在平面內(nèi)做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的1個(gè)自由度，總自由度為2。 （六）、“力學(xué)”中主要的自由度分類。

7、質(zhì)點(diǎn)自由度為3；剛體自由度為平動(dòng)自由度3加轉(zhuǎn)動(dòng)自由度3等于6；非剛體，除反映物質(zhì)整體運(yùn)動(dòng)的6個(gè)自由度外，還有3n6個(gè)反映物質(zhì)內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)“振動(dòng)”的自由度（暫且認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)間的相互聯(lián)系導(dǎo)致質(zhì)點(diǎn)“振動(dòng)”）理解自由度的概念后，現(xiàn)在引入剛體運(yùn)動(dòng)自由度。由于剛體的運(yùn)動(dòng)可分解為質(zhì)心的平動(dòng)和繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣剛體的位置可決定如下: 三個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)x、y、z決定質(zhì)心的位置；兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)、決定轉(zhuǎn)軸的方位(因?yàn)?+ + =1,所以三個(gè)方位角中只有兩個(gè)是獨(dú)立的)；一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)決定剛體相對(duì)于某一起始位置轉(zhuǎn)過(guò)的角度(圖1)。因此，剛體共有六個(gè)自由度:三個(gè)平動(dòng)，三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)。二、“熱學(xué)”和“原子物理學(xué)”中一些微觀客體的自由度（一）單

8、原子分子的自由度單原子分子(如氦、氖等)可被看作力學(xué)中自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，所以有3個(gè)自由度。那單原子分子為什么不考慮其轉(zhuǎn)動(dòng)自由度呢？因?yàn)閱卧臃肿拥馁|(zhì)量幾乎都集中在原子核上，電子質(zhì)量?jī)H是質(zhì)子質(zhì)量的，而質(zhì)子半徑數(shù)量級(jí)為10-15m，單原子分子半徑的數(shù)量級(jí)為10-10m，由于相同質(zhì)量的均勻球體繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是與半徑的平方成正比的（）,所以單原子分子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量幾乎是非單原子分子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成正比，因而單原子分子的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能是非單原子分子轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的，通常完全可以忽略不計(jì)，所以單原子分子不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。（二）雙原子分子的自由度雙原子分子(如氫、氧、氮、一氧化碳)中的兩個(gè)原子是由一個(gè)化學(xué)

9、鍵聯(lián)結(jié)起來(lái)的。雙原子分子根據(jù)分子內(nèi)原子之間有無(wú)振動(dòng)可分為剛性分子和非剛性分子（即彈性分子）1、 若忽略分子內(nèi)原子之間的振動(dòng)，則可視為剛性分子，剛性雙原子分子可視為一直線。描述其質(zhì)心的位置需要3個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，另外用2個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)決定其連線的方位，即有2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，因?yàn)殡p原子分子的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度中有1個(gè)自由度是通過(guò)兩個(gè)原子中心的連線轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度，而其回轉(zhuǎn)半徑是原子核的半徑（原子核半徑為m），所以這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能可以忽略，因而這一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度被忽略，又由于剛性分子的原子之間距離不變，無(wú)振動(dòng)自由度，所以剛性雙原子分子共有5個(gè)自由度。2、 若考慮分子內(nèi)原子之間的振動(dòng)，則為彈性分子，雙原子彈性分子中包括3個(gè)質(zhì)心平動(dòng)

10、自由度,2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和1個(gè)反映分子內(nèi)部原子間相對(duì)振動(dòng)的自由度，共有6個(gè)自由度。（三）剛性三原子分子的自由度剛性三原子氣體分子(如水、二氧化碳)需要3個(gè)平動(dòng)自由度和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，共有6個(gè)自由度;（四）多原子分子的自由度多原子分子(由三個(gè)或三個(gè)以上原子組成的分子)的自由度數(shù)需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)情況進(jìn)行具體分析才能確定。1、一般地，剛性多原子分子，有其質(zhì)心的3個(gè)平動(dòng)自由度，3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度（兩個(gè)角度定出轉(zhuǎn)動(dòng)軸的方向，還有繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角度，方能定出分子在空間的方向）。2、非剛性多原子分子的自由度，如同前面的非剛體的情形，需要考慮分子內(nèi)部各原子之間的振動(dòng)。若一個(gè)分子由n個(gè)原子組成，則這個(gè)分子最多有3n個(gè)自由度

11、；其中3個(gè)是平動(dòng)的，3個(gè)是轉(zhuǎn)動(dòng)的，其余3n6個(gè)是振動(dòng)的。 （五）、關(guān)于多原子分子內(nèi)部的振動(dòng)自由度 1、綜述 設(shè)多原子分子是由n個(gè)有著相互聯(lián)系（原子間有相互作用力）的原子構(gòu)成，每個(gè)原子若看作質(zhì)點(diǎn)，即每個(gè)原子的自由度均與質(zhì)點(diǎn)一樣為3，則這個(gè)分子本應(yīng)該有3n個(gè)自由度，但是這些原子已經(jīng)結(jié)成分子整體，每個(gè)原子就不再有3個(gè)獨(dú)立的自由度了，自由度必須從分子整體進(jìn)行考慮，分子總自由度中已經(jīng)占了6個(gè)（3個(gè)平動(dòng)自由度，3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度），剩下3n6個(gè)反映分子內(nèi)部振動(dòng)的自由度。如果分子內(nèi)部的原子是排成直線的，那么總自由度中中占了5個(gè)（3個(gè)平動(dòng)自由度，2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，因?yàn)榕懦芍本€的n個(gè)原子其中一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)是以它們的連線中心

12、軸為轉(zhuǎn)動(dòng)軸，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑很小，通常完全可以忽略不計(jì)），分子有3n5個(gè)振動(dòng)自由度。2、振動(dòng)自由度的計(jì)算（1）、組成分子的原子不在一條直線上時(shí)，原子的兩兩聯(lián)系組合數(shù)如下表表1 組成分子的原子（不在一條直線上）兩兩聯(lián)系組合數(shù)原子數(shù)n12345678n1n兩兩組合數(shù)=0=1=3=6=10=15=21=28多原子分子的振動(dòng)自由度數(shù)取決于排列組合數(shù)=【例1】 如圖2，原子數(shù)n=5時(shí)，原子兩兩組合數(shù)為10()，其中包括重復(fù)組合部分，原子間發(fā)生聯(lián)系時(shí)，分子1與分子2、3、4、5分別組合后，接著分子2分別與分子3、4、5組合，最后分子3分別與分子4、5組合，而不記分子4與5組合，因?yàn)槭侵貜?fù)性組合，也就是-排列組合數(shù)

13、= 這與前面的理論中振動(dòng)自由度為3n6=9相吻合。2、組成分子的原子在一條直線上時(shí)，原子的兩兩聯(lián)系組合數(shù)及滿足的遞推關(guān)系同表1，但是分子的振動(dòng)自由度取決于排列組合數(shù)=【例2】 如圖3，原子數(shù)n=5時(shí)，原子兩兩組合數(shù)等于10，其中包括重復(fù)組合部分，因原子在一條直線上，所以還需要記分子4與5的組合，也就是-排列組合數(shù)=這與前面的理論中振動(dòng)自由度為3n5=10相吻合。（六）由單、雙、多原子分子形成的物質(zhì)整體的自由度 由單原子分子、雙原子分子和多原子分子形成的物質(zhì)整體，若視為剛體其自由度為6；若視為非剛體，仍有反映分子整體運(yùn)動(dòng)的6個(gè)自由度和3n6個(gè)反映物質(zhì)內(nèi)部分子振動(dòng)的自由度。三、研究學(xué)習(xí)力學(xué)、熱學(xué)和

14、原子物理學(xué)中自由度的重要意義。首先，研究學(xué)習(xí)自由度有助于提高我們正確分析物理問(wèn)題的能力。如：力學(xué)中研究物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們?cè)谡_分析物體自由度的前提下，能更清晰地分析物體的位置、位移、受力投影,以及進(jìn)一步引出有關(guān)功和能等問(wèn)題，從而能更好、更準(zhǔn)確的定量、定性分析討論物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；其次，對(duì)自由度的概念的深刻理解，為充分掌握能量按自由度均分定理打下伏筆。能量按自由度均分定理是熱力學(xué)系統(tǒng)熱運(yùn)動(dòng)的一個(gè)統(tǒng)計(jì)規(guī)律,是對(duì)大量分子無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)能量的統(tǒng)計(jì)結(jié)果,用它可以簡(jiǎn)便計(jì)算理想氣體的內(nèi)能和熱容量。然而這里的“能量”實(shí)質(zhì)上是“平均動(dòng)能”按自由度均分,而對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和振動(dòng)自由度,該定理僅是近似成立；第三，自由度的概念解釋了經(jīng)典熱容量理論的缺陷。以雙原子分子氣體h2為例，由“能量按自由度均分定理”給出其定容摩爾熱容量cv為；而實(shí)驗(yàn)表明h2的cv在低溫度時(shí)為，常溫時(shí)為，只有在極高的溫度時(shí)才接近。理論與實(shí)驗(yàn)之所以不盡相符，是因?yàn)楦鶕?jù)量子理論，振動(dòng)能級(jí)和轉(zhuǎn)動(dòng)能級(jí)的間隔較大，因而在低溫時(shí)分子之間相碰不可能使分子的振動(dòng)能級(jí)和轉(zhuǎn)動(dòng)能級(jí)發(fā)生躍變，也就是在低溫時(shí)分子的振動(dòng)自由度和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度都被“凍結(jié)”了，也就是說(shuō)分子失去了振動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度；當(dāng)溫度升到常溫時(shí)，分子的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度開始“解凍”，因而轉(zhuǎn)動(dòng)自