1、利用均值不等式求最值的方法記住：一、配湊1. 湊系數例1. 當時，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個系數即可。當且僅當，即x2時取等號。所以當x2時，的最大值為8。評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。2. 湊項例2. 已知，求函數的最大值。解析：由題意知，首先要調整符號，又不是定值，故需對進行湊項才能得到定值。當且僅當，即時等號成立。評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值。3. 分離例3. 求的值域。解析：本題看

2、似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x1）的項，再將其分離。當，即時（當且僅當x1時取“”號）。當，即時（當且僅當x3時取“”號）。的值域為。評注：分式函數求最值，通常化成，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用均值不等式來求最值。二、整體代換例4. 已知，求的最小值。解法1：不妨將乘以1，而1用a2b代換。當且僅當時取等號，由即時，的最小值為。解法2：將分子中的1用代換。評注：本題巧妙運用“1”的代換，得到，而與的積為定值，即可用均值不等式求得的最小值。三、換元例5. 求函數的最大值。解析：變量代換，令，則當t0時，y0當時，當且僅當，即時取等號。故。評注：本題通過換元法使問題得到了簡

3、化，而且將問題轉化為熟悉的分式型函數的求最值問題，從而為構造積為定值創造有利條件。四、取平方例6. 求函數的最大值。解析：注意到的和為定值。又，所以當且僅當，即時取等號。故。評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用均值不等式創造了條件。總之，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創造條件利用均值不等式。均值不等式求最值“失效”時的對策 利用均值不等式求最值是高中數學中常用方法之一，應注意“一正二定三相等”在解題的過程中，有時往往出現“湊出了常數卻取不到等號”的失效現象，下面淺析此時的應付對策，供同學們參考 一、平衡系數 實施均拆 這

4、是最常用的一種技巧，常有均拆整式、均拆分式、均拆冪指數等例1 求函數的最小值 錯解： 剖析：此類錯誤出現較多，而且錯誤是不知不覺的，實際是忽視了等號成立的條件，即必須成立，而實際上是不可能的，解決方法可實施均拆法正解：(均拆整式) 上式當且僅當，即時取等號 例2 求函數yx2(x0)的最小值解：(均拆分式) x0，yx2312當且僅當x2，即x2時，等號成立故y的最小值為12例3 若0x，求函數yx2(13x)的最大值解：(均拆冪指數)0x， 13x0yx2(13x)xx(13x) 當且僅當，即x時，等號成立，即y的最小值為二、引入參數 巧渡難關 例4用總長14.8m的鋼條制作一個長方體容器的

5、框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m，那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積 錯解：設容器底面短邊長，則另一邊長為m，并設容積為，則高為 從而 當且僅當，即時，高為1.4 所以，容器的高為1.4m時容積最大，最大容積為 剖析：上式中等號成立的前提是，此時的顯然不存在，即此時等號取不到而用均拆法，也似乎無能為力，此時可引入參數，借助待定系數法，從而使問題得以解決當然學了高三導數后，還可利用導數法求最值 正解：（建模過程同前） ，其中是待定的正常數，滿足 解得 此時 上式中，當時等號成立，因此當時，取到最大值為1.8，這時高為所以，容器的高為1.2m時容積最大，最大容積為1

6、.8 三、單調處理 簡捷迅速 例5 求函數 的最小值 錯解： 剖析：本題似乎無懈可擊，其實令，則有，即無實數解，也就是等號取不到，因而找不到最小值 正解1：由，令 易證為增函數 所以當，即時，正解2：設，則設g(t)，易得g(t)在t2，)是單調遞增且大于0，故f(t)在t2，)也是單調遞增 ymax，在t2，即x0時取等號 四、分項拆項 觀察等號 對于函數的最值，當直接使用均值不等式失效時，除用單調性外，還可用“分項拆項法”，再用均值不等式，同時要注意等號 例6 已知，求函數的最小值解：由，得，則 例7設a0，b0，且ab1，求證(a)(b)的最小值錯解1：(a)(b)4，故最小值為4錯解2

7、：(a)(b)ab224，故最小值為4剖析：上述錯解因為等號成立的條件與ab1不能同時成立，故取不到最小值4本題可利用等號成立的條件來配湊，觀察最小值恰好在ab時取到，故可以合理配湊出等號恰好在“ab”取得正解1：(a)(b)ab ab2 22 當且僅當ab時取等號所以 (a)(b)的最小值正解2：(a)(b) (由0ab) 25當且僅當ab時取等號所以 (a)(b)的最小值五、三角代換 有界求解例8 實數m，n，x，y滿足m2n2a，x2y2b，且ab，求mxny的最大值錯解： mx(m2x2)， ny(n2y2) mxny(m2x2n2y2)(ab)故mxny的最大值為(ab)剖析：在上面的求解過程中，等號成立的條件是ab，而已知ab，故取不到最大值為(ab)但考慮到已知條件的結構可借助三角代換，運用有界性來解決正解：設msin，ncos，xsin，ycos則mxny(sinsincoscos)cos() cos()1，1， mxny的最大值為六、整體代換 減少放縮環節多次運用均值不等式，往往導致等號取不到而用整體代換，可避免多次放縮，從而使問題獲解例9 若x，y這正整數，滿足1，求 xy的最小值錯解：1 16又 xy232故xy的最小值為 32剖析：在求解過程中，利用兩次放縮，在1