1、微積分入門精華 定積分第一節 定積分的概念與性質微積分入門精華abxyo? a曲邊梯形由連續曲線曲邊梯形由連續曲線實例實例1 1 （求曲邊梯形的面積）（求曲邊梯形的面積）)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成.一、問題的提出)(xfy 微積分入門精華abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積（四個小矩形）（四個小矩形）（九個小矩形）（九個小矩形）微積分入門精華曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形如圖所示，,1210bxxxxxaban

2、n 個個分分點點，內內插插入入若若干干在在區區間間abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba長度為長度為，個小區間個小區間分成分成把區間把區間，上任取一點上任取一點在每個小區間在每個小區間iiixx ,1 iiixfa )( 為為高高的的小小矩矩形形面面積積為為為為底底，以以)(,1iiifxx 微積分入門精華iniixfa )(1 曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積的近似值為iniixfa )(lim10 12,()max,(00)nxxxxxx當分割無限加細 記小區間的最大長度或者趨近于零或者時，曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為微積分入門精華實例實例2 2 （求

3、變速直線運動的路程）（求變速直線運動的路程）思路思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值分過程求得路程的精確值微積分入門精華（1）分割）分割212101tttttttnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某時刻的速度某時刻的速度（2）求和）求和iinitvs )(1 （3）取極限）取極限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精確值路程

4、的精確值微積分入門精華設設函函數數)(xf在在,ba上上有有界界，如如果果不不論論對對,ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干個個分分點點bxxxxxann 1210把把區區間間,ba分分成成n個個小小區區間間，各各小小區區間間的的長長度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區區間間上上任任取取一一點點i （iix ），作乘積作乘積iixf )( ), 2 , 1( i并并作作和和iinixfs )(1 ，二、定積分的定義定義定義微積分入門精華怎怎樣樣的的分分法法， baidxxf)(iinixf )(lim10 被積函數被積函數被積表達式被積表達式積分變量積

5、分變量積積分分區區間間,ba也也不不論論在在小小區區間間,1iixx 上上點點i 怎怎樣樣的的取取法法，和和s總趨于總趨于確確定定的的極極限限i，在在區區間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和微積分入門精華注意：注意：（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積函函數數及及積積分分區區間間有有關關， badxxf)( badttf)( baduuf)(（3 3）當當函函數數)(xf在在區區間間,ba上上的的定定積積分分存存在在時時，而而與與積積分分變變量量的的字字母母無無關關.稱稱)(xf在在區區間間,ba上上可可積積.微積分入門精華 當當函函數數)(xf

6、在在區區間間,ba上上連連續續時時，定理定理1 1定理定理2 2 設設函函數數)(xf在在區區間間,ba上上有有界界，稱稱)(xf在在區區間間,ba上上可可積積. .且且 只只 有有 有有 限限 個個 第第 一一 類類 的的間間 斷斷 點點 ， 則則)(xf在在三、存在定理區間區間,ba上可積上可積. .微積分入門精華, 0)( xf baadxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baadxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值的負值1a2a3a4a4321)(aaaadxxfba 四、定積分的幾何意義微積分入門精華幾何意義：幾何意義：積取負號積取負號軸下方的面軸下方的面

7、在在軸上方的面積取正號；軸上方的面積取正號；在在數和數和之間的各部分面積的代之間的各部分面積的代直線直線的圖形及兩條的圖形及兩條軸、函數軸、函數它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)( 微積分入門精華例例1 1 利用定義計算定積分利用定義計算定積分.102dxx 解解將將1 , 0n等分，分點為等分，分點為nixi ，(ni, 2 , 1 )小小區區間間,1iixx 的的長長度度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx 微積分入門精華五、定積分 的性質微積分入門精華證證 badxxgxf)()(iii

8、nixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性質可以推廣到有限多個函數作和的情況）（此性質可以推廣到有限多個函數作和的情況）性質性質1 1微積分入門精華 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數數).證證 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性質性質2 2微積分入門精華 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.補充補充：不

9、論：不論 的相對位置如何的相對位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定積分對于積分區間具有可加性）（定積分對于積分區間具有可加性）則則假假設設bca 性質性質3 3微積分入門精華dxba 1dxba ab .則則0)( dxxfba. . )(ba 證證, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性質性質4

10、 4性質性質5 5如果在區間如果在區間,ba上上0)( xf，微積分入門精華例例 1 1 比比較較積積分分值值dxex 20和和dxx 20的的大大小小.解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 可以直接作出答案可以直接作出答案微積分入門精華性質性質5 5的推論：的推論：證證),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于于是是 dxxfba )( dxxgba )(.則則dxxfba )( dxxgba )(. . )(b

11、a 如如果果在在區區間間,ba上上)()(xgxf ，（1）微積分入門精華dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 證證, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.說明：說明： 可積性是顯然的可積性是顯然的.|)(xf|在在區區間間,ba上上的的性質性質5 5的推論：的推論：（2）微積分入門精華設設m及及m分分別別是是函函數數證證,)(mxfm ,)( bababamdxdxxfdxm).()()(abmdxxfabmba （此性質可用于估計積分值的大致范圍）（此性質可用于估計積分值的大致范圍）則則 )()(

12、)(abmdxxfabmba . .)(xf在在區區間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性質性質6 6曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 夾在兩個矩形之間夾在兩個矩形之間微積分入門精華解解,sin)(xxxf 22cossincos (tan )( )0 xxxx xxfxxx2,4x)(xf在在2,4 上上單單調調下下降降,例例2 不計算定積分不計算定積分 估計估計 的大小的大小dxxx 24sin2424222(),(),42,2442sin22,441sin2.22mfmfbaxdxxxdxx微積分入門精華如如果果函函數數)(xf在在閉閉區區間間,ba上上連連續續，證證mdxxfa

13、bmba )(1)()()(abmdxxfabmba 由閉區間上連續函數的介值定理知由閉區間上連續函數的介值定理知則則在在積積分分區區間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性質性質7 7（th5.1 th5.1 定積分第一中值定理）定積分第一中值定理）積分中值公式積分中值公式微積分入門精華使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在在區區間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ，即即積分中值公式的幾何解釋：積分中值公式的幾何解釋：xyoab )( f使使得得以以區區間間,ba為為以以曲曲線線)(

14、xfy 底底邊邊，為曲邊的曲邊梯形的面積為曲邊的曲邊梯形的面積等等于于同同一一底底邊邊而而高高為為)( f的的一一個個矩矩形形的的面面積積。微積分入門精華th5.2(th5.2(推廣的積分第一中值定理）推廣的積分第一中值定理）微積分入門精華 設設函函數數)(xf在在區區間間,ba上上連連續續，并并且且設設x為為,ba上上的的一一點點， xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)(記記.)()( xadttfx積分上限函數積分上限函數 如如果果上上限限x在在區區間間,ba上上任任意意變變動動，則則對對于于每每一一個個取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個個對對應應值值，所所以以它它

15、在在,ba上上定定義義了了一一個個函函數數，六、積分上限函數及其導數微積分入門精華abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上連連續續，則則積積分分上上限限的的函函數數dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有導導數數，且且它它的的導導數數是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa xx 證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x.)()( xadttfx微積分入門精華 dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由積分中值定理得由積分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx

16、)(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x微積分入門精華計算下列導數計算下列導數xtxtxtdtetdxddtedxddtedxdcos1211222)3()2() 1 (微積分入門精華 如如果果)(tf連連續續，)(xa、)(xb可可導導，則則dttfxfxbxa )()()()(的的導導數數)(xf 為為補充補充 )()()()(xaxafxbxbf 證證 dttfxfxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxf )()()()(xbxadttfdxdxf微積分入門精華例例1

17、 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：這是這是 型不定式，應用洛必達法則型不定式，應用洛必達法則.微積分入門精華定理定理2 2（原函數存在定理）（原函數存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上連連續續，則則積積分分上上限限的的函函數數dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一個個原原函函數數. .定理的重要意義：定理的重要意義：（1）肯定了連續函數的原函

18、數是存在的）肯定了連續函數的原函數是存在的.（2）初步揭示了積分學中的定積分與原函數之）初步揭示了積分學中的定積分與原函數之間的聯系間的聯系.微積分入門精華定理定理 3 3（微積分基本公式）（微積分基本公式）如如果果)(xf是是連連續續函函數數)(xf在在區區間間,ba上上的的一一個個原原函函數數，則則)()()(afbfdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個個原原函函數數, 已已知知)(xf是是)(xf的的一一個個原原函函數數，cxxf )()(,bax 證證七 牛頓萊布尼茨公式微積分入門精華令令ax ,)()(caaf 0)()( dttfaaa,)(

19、caf ),()()(afxfdttfxa ,)()(cdttfxfxa 令令 bx).()()(afbfdxxfba 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式微積分入門精華)()()(afbfdxxfba 微積分基本公式表明：微積分基本公式表明： baxf)( 一個連續函數在區間一個連續函數在區間,ba上的定積分等于上的定積分等于它的任意一個原函數在區間它的任意一個原函數在區間,ba上的增量上的增量.注意注意當當ba 時，時，)()()(afbfdxxfba 仍成立仍成立.求定積分問題轉化為求原函數的問題求定積分問題轉化為求原函數的問題.微積分入門精華例例4 4 求求 .)1sincos2(20 d

20、xxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 設設 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上規規定定當當1 x時時，5)( xf, 102152dxxdx原原式式. 6 xyo12微積分入門精華例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 微積分入門精華, )()(, ,)(xfxfbacxf且設則有1. 微積分基本公式xxf

21、bad)(積分中值定理)(abf)()(afbf微分中值定理)(abf牛頓 萊布尼茨公式微積分入門精華定理定理 假假設設（1 1）)(xf在在,ba上上連連續續；（3 3）當）當t在區間在區間, 上變化時，上變化時，)(tx 的值的值在在,ba上變化，且上變化，且a )( 、b )( ， 則則 有有dtttfdxxfba )()()(. .八、換元公式微積分入門精華證證設設)(xf是是)(xf的的一一個個原原函函數數，),()()(afbfdxxfba ),()(tft dtdxdxdft )()()(txf ),()(ttf ),()()()( dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一

22、個個原原函函數數.微積分入門精華應用換元公式時應注意應用換元公式時應注意:（1）（2）微積分入門精華250cossin.xxdx例例1 1 計算計算.ln43eexxdx例例2 2 計算計算微積分入門精華例例1 1 計算計算.sincos205 xdxx222550060cossincos( cos )cos11(0).666xxdxxdxx 解湊微分是第一類換元積分法，特點是不要明顯地換元，也就不要更換積分的上下限。微積分入門精華例例2 2 計算計算解解原式原式)2143(2ln2lnlnln434343eeeeeexxxdxxdx.ln43eexxdx微積分入門精華例例3 3 計算計算解解

23、23xdx微積分入門精華三角代換和根式代換微積分入門精華例例4 4 計算計算解解12122.11dxxx令令,sintx 1x,2 t21x6 t,costdtdx 原式原式22222666coscotsincossin(cotcot)(03)326tdtdttttt 明顯換元微積分入門精華證證,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx ,微積分入門精華奇函數奇函數例例6 6 計算計算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數偶函數 1022114dxxx 10222)1(1)11(4d

24、xxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積微積分入門精華總結：總結： 1、定積分公式、定積分公式2、定積分計算方法（直接代入，湊微分，、定積分計算方法（直接代入，湊微分，根式代換，三角代換）根式代換，三角代換）3、根式和三角代換為明顯的代換，所以換、根式和三角代換為明顯的代換，所以換元要換上下限元要換上下限4、 介紹了積分上限函數介紹了積分上限函數5、積分上限函數是原函數、積分上限函數是原函數6、計算上限函數的導數、計算上限函數的導數微積分入門精華例例 7 7 若若)(xf在在1 , 0上上連連續續，證證明明 （1） 2200)(cos)(sindxxf

25、dxxf; （2） 00)(sin2)(sindxxfdxxxf. 由由此此計計算算 02cos1sindxxxx. 證證（1）設）設tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t微積分入門精華（2）tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft 由此計算由此計算 00)(sin2)(sindxxfdxxxf 02cos1sindxxxx設設微積分入門精華 設函數設函數)(xu、)(xv在區間在區間 ba,上具有連續上具有連續導數，則有導數，則有 bababavduuvudv. .定積分的分部積分公式定積分的分

26、部積分公式推導推導 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv九、分部積分公式微積分入門精華例例 計算計算解解.ln1exdx微積分入門精華例例2 2 計算計算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 則則微積分入門精華例例3 3 計算計算解解dxxex10例例4 4 計算計算dxxx10cos微積分入門精華例例5 5 計算

27、計算解解edxxx12ln微積分入門精華定義定義 1 1 設函數設函數)(xf在區間在區間), a上連續，取上連續，取ab ，如果極限，如果極限 babdxxf)(lim存在，則稱此極存在，則稱此極限為函數限為函數)(xf在無窮區間在無窮區間), a上的廣義積上的廣義積分，記作分，記作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當當極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發發散散. .第四節 廣義積分一、無窮限的廣義積分微積分入門精華例例1 1 計算廣義積分計算廣義積分解解.1sin122 dxxx 21sin1

28、2dxxx211sinxdx21cosx100cos2cos1coslimxx)()(lim)()()()(afxfaffxfdxxfxaa簡記為微積分入門精華例例1 1 計算廣義積分計算廣義積分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 微積分入門精華證證, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因此當因此當1 p時廣義積分收斂，其值為

29、時廣義積分收斂，其值為11 p；當當1 p時廣義積分發散時廣義積分發散.微積分入門精華微積分入門精華微積分入門精華微積分入門精華微積分入門精華微積分入門精華微積分入門精華回顧回顧 曲邊梯形求面積的問題曲邊梯形求面積的問題 badxxfa)(第五節、定積分應用曲曲 邊邊 梯梯 形形 由由 連連 續續 曲曲 線線)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成。ab xyo)(xfy 微積分入門精華1、幾何上的應用微積分入門精華面積微積分入門精華ab xyo)(xfy iinixfa )(lim10 badxxf)(.)( badxxfxdxx da面積元素面積元素

30、微積分入門精華一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1. 直角坐標情形直角坐標情形設曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲則xxfad)(dxxfabad)(邊梯形面積為 a ,oxbay)(xfy xxdxyb xa)(2xfy )(1xfy oxxxdxxfxfabad)()(21xxfxfad)()(d21右圖所示圖形，面積元素為微積分入門精華xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfa)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfxfa)()(12xxxx x 微積分入門精華xxfxfabad)()(21y

31、bxa)(2xfy )(1xfy ocxxfxfcad )()(21xxxdxxfxfbcd )()(12yyyadcd)()(oxy)(yx)(yxdcyyydxxfxfad| )()(|d21有時也會選 y 為積分變量yyyad| )()(|d微積分入門精華例例 1 1 計算由兩條拋物線計算由兩條拋物線xy 2和和2xy 所圍成的所圍成的圖形的面積圖形的面積.解解（1）作圖）作圖（2）求出兩曲線的交點）求出兩曲線的交點)1 , 1()0 , 0(（3） 選選 為積分變量為積分變量x1 , 0 xdxxxa)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx （4）代公式）代公式 bad

32、xxfxfa)()(12微積分入門精華解解兩曲線的交點兩曲線的交點).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 ydyyyda 242.1842 daaxy22 4 xy微積分入門精華解題步驟：解題步驟：(2) 求出交點；(3) 選擇合適的積分變量，確定積分區間，計算。(1) 畫出草圖；微積分入門精華ab例例3. 3. 求橢圓12222byax解解: 利用對稱性 , xyadd所圍圖形的面積 . 有axya0d4利用橢圓的參數方程)20(sincosttbytax應用定積分換元法得024atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當 a = b 時得圓面積公式xxxdxyo aaxxb02d14微積分入門精華二、立體體積二、立體體積設所給立體垂直于x 軸的截面面積為a(x), ,)(baxa在則對應于小區間d,xxx的體積元素為xxavd)(d因此所求立體體積為xxavbad)(xabxxxd)(xa上連續,1. 已知平行截面面積函數的立