1、萬有引力練習題 1. 如圖（1）所示，質量為、半徑為的勻質薄球殼內任意一點處有一點質量.以為頂點作兩對頂的很小的小圓錐，它們在球殼面上分別截得很小的面積元、. 試證：（1）兩小面積元、的質量元對點處點質量所施引力之和為零。 （2）整個球殼對殼內任意一點處的質點的合引力為零（牛頓方法）。 （3）求勻質球體（質量為、半徑為）對球內離球心（）處的點質量的引力大小。 圖（1） 2. 粗細忽略、質量分布均勻、半徑分別為與的兩圓環相切，若在切點處放一質點，恰使其兩邊圓環對的萬有引力的合力為零，問大小圓環的線密度須滿足什么條件。3. 學者研究新發現的行星，它是半徑=6400km的球體，整個表面都被海洋覆蓋，

2、海水（普通的水）深=10km，測定出，在海洋中不同深度的地方，自由落體加速度在很大程度上仍然不變。試根據這些數據確定行星上自由落體加速度（萬有引力恒量N·m2/km2）4. 在宇宙中某處，設有一個質量為的小物體沿著一個很大的光滑金屬實心球表面作勻速圓周運動（圓半徑跟金屬球半徑相等），金屬密度kg·m -3，星體對它的引力作用可以不計時，求這小物體在金屬球的大圓上繞行一周所需的最短時間（最小周期）。5某行星圍繞太陽沿橢圓軌道運行，它的近日點離開太陽的距離為，行星經過近日點時的速度為；行星的遠日點離開太陽的距離為，求它經過遠日點時速度的大小。6. 設地球質量分布均勻，問一個物體

3、下降到距離地球表面深度為多少時，其重力加速度為地面上重力加速度的25.7. 某行星一晝夜時間=6h，若彈簧秤在其“赤道”上比在“兩極處”測同一物體的重量時讀數小10，設想該行星自轉角速度加快到某一值時，在赤道上的物體會自動飄起來，這時的自轉周期多大？8. 在地面上重量為16N的物體，在以（為地面處的重力加速度）的加速度上升的飛船內視重為9N. 已知地球半徑為，問這時飛船離地面多高？9. 采用不同方法來估計銀河系質量得出不同結果。例如，按照目測估計，在到銀河系中心距離推薦精選（是地球軌道半徑）范圍內聚集質量（是太陽質量）。同時離銀河系中心距離處有一顆星體運轉周期為年。試求銀河系“暗含著的質量”，

4、即半徑為的球體內部未被發現的天體的質量。在計算星體運動時可以認為銀河系質量聚集在其中心。10. 已知火星上大氣壓是地球的1/200. 火星直徑約為地球的一半，地球平均密度km/ m3，火星平均密度km/ m3. 試求火星上大氣質量與地球大氣質量之比。11. 衛星沿圓形軌道運行探測某行星，對它拍照，衛星運轉周期為，行星的密度為.試問行星的表面還有多大部分尚未拍攝到？12. 宇航員在某一行星的極地上著陸時，發現當地重力是地球上重力的0.01倍，而一晝夜的時間與地球上相同。研究此行星中還發覺，物體在它的赤道上失去重量。求這顆行星的半徑.13. 大家知道，由于行星的自轉，在赤道處重力比兩極小。試問在行

5、星極地表面上空多高處其重力同赤道面上重力相等？可以認為行星是半徑為的球體。行星繞軸旋轉的周期為，行星的平均密度為.14. 已知太陽光從太陽射到地球需8分20秒，地球公轉軌道可近似看成圓軌道，地球半徑約為m. 試估算太陽質量與地球質量之比/為多少？圖（2）15. 如圖（2）所示，半徑為，質量密度為的球形體內有一半徑為（）的球形空腔。腔心與球心的距離為，求：（1）在延長線上距球表面為的點的引力加速度（對單位質量的引力，或稱引力強度）。（2）在球形空腔內任一點的引力場強度。16. 經長期觀測，人們在宇宙中已經發現了很多雙星系統。雙星系統由兩顆星體構成，其中每個星體的線度遠小于星體之間的距離，而且雙星

6、系統一般遠離其它星體，可以近似當做孤立系統。根據觀測，已知該雙星系統中每個星體的質量都是推薦精選，兩者相距，共同繞著兩者連線的中點作圓周運動。 （1）試計算該雙星系統的運動周期；（2）若實驗上觀測到的運動周期為，且=1，其中1. 為了解釋與的不同，目前有一種理論認為，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的暗物質。作為簡化模型，假定在這兩顆星體連線為直徑的球體內均勻分布著這種暗物質，而不考慮其他暗物質的影響。試根據這一模型和上述觀測結果確定這種暗物質的密度。 17. 衛星與地球附近的赤道平面內作半徑相同的圓周運動，運動方向或者順地球自轉方向，或者與之相反。在地球參照系中，求衛星在第二種情況下的動能

7、與第一種情況下的動能的比值。18. 試求出行星繞太陽運行的橢圓軌道的周期平方與半長軸立方間的比例常數。圖（3）19. 如圖（3）所示，從地球表面與豎直方向成角的方向，發射一質量為的導彈，初速，為地球質量，為地球半徑，忽略空氣阻力和地球自轉的影響，求導彈上升的最大高度。20. 設地球半徑為，一物體從距地面的距離為處無初速釋放，求落在地面所需要的時間（不計其他星球對物體的作用）。21. 火箭從地面上以第一宇宙速度豎直向上發射，返回時落在離發射場不遠處。試估計火箭飛行的時間。地球半徑km.22. 兩個質量均為的物體，由輕質硬桿相連，形如一個“啞鈴”，圍繞一個質量為的天體旋轉，如圖（4）所示，兩物體和

8、天體質心在一條直線上，兩物體分別以和為半徑繞作圓周運動，兩物體成為了的衛星，求此衛星的運轉周期.圖（4）圖（5）推薦精選23. 飛船沿半徑為的圓周繞地球運動，其周期為.如果飛船要返回地面，可在軌道上某一點處將速率降低到適當數值，從而使飛船沿著以地心為焦點的橢圓軌道運動，橢圓與地球表面在點相切，如圖（5）所示.求飛船由點到點所需的時間.（已知地球半徑為）24. 如圖（6）所示，質量kg的飛船在離月球表面高為=100km處繞月作圓周運動。飛船采用兩種方式登月：（1）在點向前短時間噴氣，使飛船與月球相切地到達點（通過月心）。（2）在點外側沿月球半徑短時間噴氣，使飛船與月球相切地到達點點（）. 設噴氣

9、相對飛船的速度m/s，已知月球半徑km.，月球重力加速度（可作為常量）為=1.700 m/s2. 試求兩種登月方式所需的燃料質量。圖（6）日圖（7）25. 太陽系中小星體作半徑為的圓運動，小星體作拋物線運動，在近日點處與太陽相距=2，且兩軌道在同一平面上，運動方向相同。設運動至近日點時，恰好運動至圖（7）所示位置，、隨即發生某種強烈的相互作用而迅速合為一個星體，其間質量損失可忽略，試判斷新星體繞太陽運動軌道為何種曲線。26. 衛星沿圓周軌道繞地球運行，軌道半徑=3，=6400km. 由于制動裝置短時間作用，衛星的速度減慢，使它開始沿著與地球表面相切的橢圓軌道運動，如圖（8）所示。問制動后經過多

10、少時間衛星落回到地球上？圖（8）推薦精選27. 根據“火星-2”自動站運行軌道的參數：離火星表面最遠處（遠點）=25000km，最近距離（近點）=1380km，轉動周期=18小時，火星半徑=3400km千米；地球半徑=6400km，地球表面處自由落體加速度=10m/s2. 求火星質量與地球質量之比。28. 邊長為的等邊三角形三頂角處有三個星體，質量分別為、. 它們之間以萬有引力相互作用而運動，設運動中始終保持原等邊三角形大小不變。就以下兩種情況，求出為保持三顆星相對位形不變的轉動運動的周期。用引力常數、距離和質量表示。（1）=；（2）、互不相等。29. 一顆隕石在飛向質量為的行星的途中（沿著通

11、過行星中心的直線），碰到繞此行星沿半徑為的圓周軌道運轉的自動宇宙站。站的質量為隕石質量的10倍。碰撞的結果隕石陷入站內，宇宙站過渡到與行星最近距離為/2的新軌道上。求碰撞前隕石的速度.30. 一雙星系統，兩顆星的質量分別為和（設），距離為，在引力作用下繞不動質點作圓周運動。設這兩顆星近似為質點。在超新星爆炸中，質量為的星體損失質量. 假設爆炸是瞬時的、球對稱的，并且對殘余體不施加任何作用力（或作用力抵消），對另一顆星也無直接作用。試求，在什么條件下，余下的新的雙星系統仍被約束而不相互遠離。地球火星探測器太陽圖（10）31. 從地球表面向火星發射火星探測器。設地球和火星都在同一平面上繞太陽作圓周

12、運動。火星軌道半徑為地球軌道半徑的1.500倍。簡單而又比較節省能量的發射過程可分為兩步進行：第一步，在地球表面用火箭對探測器進行加速，使之獲得足夠的動能，從而脫離地球引力作用成為一個沿地球軌道運行的人造衛星。第二步是在適當時刻點燃與探測器連在一起的火箭發動機，在短時間內對探測器沿原方向加速，使其速度數值增加到適當值，從而使得探測器沿著一個與地球軌道及火星軌道分別在長軸兩端相切的半個橢圓軌道射到火星上，如圖（9）所示。問：（1）為使探測器成為沿地球軌道運行的人造衛星，必須加速探測器，使之在地面附近獲得多大的速度（相對于地球）？（2）當探測器脫離地球并沿著地球公轉軌道穩定運行后，在某年3月1日零

13、時測得探測器與火星之間的角距離為，如圖（10）所示。問應在何年何月何日點燃探測器上的火箭發動機方能使探測器恰好落在火星表面？（時間計算僅需精確到日）已知地球半徑m，重力加速度可取9.8m/s2.。火星探測器太陽圖（9）推薦精選32. 假設宇宙空間中遠離其它星體有兩質點和，它們的質量分別為和。開始時，和相距為，相對于某慣性系，靜止，以初速沿連線方向運動。為維持的速度不變，應對施加一個沿著其運動方向的外力，如圖（11）所示，（1）試求當、間距最大時，外力的值。（2）計算從開始起到距離最大時，變力做的功。圖（11）33. 用恰好足以擺脫太陽引力場的速度，在離開太陽的徑向軌道上，從地球發射一航天器，由時間控制以使航天器在木星后面一距離穿越木星軌道。因航天器跟木星引力場有作用而偏轉，即作用后的速度切于木星軌道（圓軌道）。在這作用中航天器單位