1、1再如,03時時處處的的改改變變量量為為在在點點設設函函數(shù)數(shù)xxxy 3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很小時很小時當當 x .320 xxy ),()2(xox 的高階無窮小的高階無窮小是是既容易計算又是較好的近似值問題:這個線性函數(shù)(改變量的主要部分)是否所有函數(shù)的改變量都有? 它是什么? 如何求?.y 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量第1頁/共24頁2,)(00在這區(qū)間內(nèi)在這區(qū)間內(nèi)及及在某區(qū)間內(nèi)有定義在某區(qū)間內(nèi)有定義設函數(shù)設函數(shù)xxxxfy 定義)()(00 xfxxfy 如果如果,0無關的常數(shù)無關的常數(shù)而與而與是僅依賴于是僅依賴于其中其中xxA )(

2、 xoxAy 時時可可表表示示為為當當0 x是是)( xo ，高高階階的的無無窮窮小小量量比比 x 即即或或記作記作,dd00 xxxfy 則則稱稱函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點點0 x可可微微， 并并稱稱xA 為為)(xf在在點點0 x相相應應于于自自變變量量x 的的微微分分, xAyxx 0d第2頁/共24頁3由定義知:;d)1(的的線線性性函函數(shù)數(shù)是是自自變變量量的的改改變變量量xy ;)(d)2(高高階階無無窮窮小小是是比比 xxoyy ;d,0)3(是是等等價價無無窮窮小小與與時時當當yyA yyd ).0(1 x;)(,)4(0有關有關和和但與但與無關的常數(shù)無關的常數(shù)是與是與xxfxA

3、 ).(d,)5(線線性性主主部部很很小小時時當當yyx )()()(00 xoxAxfxxfy 第3頁/共24頁4).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導處可導在點在點可微的充分必要條件是可微的充分必要條件是在點在點函數(shù)函數(shù)定理證(1) 必要性,)(0可微可微在點在點設設xxf),( xoxAy 即即,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00則則.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可導可導在點在點即函數(shù)即函數(shù) 0)(lim00 xxxfyx. . 于于是是 )()(xoxxfy , , 即即 )( xoxAy , , (2) 充分性,)(0可可導導在在點點

4、函函數(shù)數(shù)設設xxf)(lim00 xfxyx .)( 0可可微微在在點點函函數(shù)數(shù)xxf第4頁/共24頁5可可導導可可微微 .)(d)(xxfyxfy 的的微微分分為為函函數(shù)數(shù)Axf )(0 xxfyd)(d 時時，當當xxf )( ).(ddxfxy 所以導數(shù)也稱為“微商”.)( xoxAy .1dd xxxy 所所以以，1)( xf第5頁/共24頁6二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義)(xfy 0 xMNTydy)( xo ）yxo x 幾何意義:(如圖).d,對應的增量對應的增量就是切線縱坐標就是切線縱坐標坐標增量時坐標增量時是曲線的縱是曲線的縱當當yy xx0 P .,MNMPMx可近

5、似代替曲線段可近似代替曲線段切線段切線段的附近的附近在點在點很小時很小時當當 以直代曲 )( xoxAy xyy d第6頁/共24頁7例1解求求函函數(shù)數(shù)xysin 在在點點0 x和和2 x的的微微分分. xxyd)(sind ,dcosxx 所以xyxd)0(cosd0 ,dx xyxd)2(cosd2 .0 例2解.02. 0, 23時的微分時的微分當當求函數(shù)求函數(shù) xxxyxxyd)(d 3 ,d32xx 02. 02202. 023d xxxxxxy.24. 0 第7頁/共24頁8三、基本微分公式三、基本微分公式xxfyd)(d 0)(d Cxxxd)(d1 xaaaxxdln)(d x

6、xxde)e (d xaxxadln1)(logd xxxd1)(lnd xxxdcos)(sind xxxdsin)(cosd xxxdsec)(tand2 xxxdcsc)(cotd2 xxxxdtansec)(secd xxxxdcotcsc)(cscd xxxd1)1(d2 xxxd21)(d 第8頁/共24頁9xxxd11)(arcsind2 xxxd11)(arctand2 xxxd11)(arccosd2 xxxd11)cotarc(d2 三、基本微分公式三、基本微分公式xxfyd)(d 第9頁/共24頁10四、微分法則四、微分法則1、函數(shù)和、差、積、商的微分法則例如，從函數(shù)的商

7、的求導法則 2)(vvuuvvu 以及以及xuudd 和和在在xvvdd ，即有，即有 )(dvu2ddvxvuxuv xvud)( .dd2vvuuv vuvudd)(d uCCud)(d vuuvuvdd)(d 2dd)(dvvuuvvu 第10頁/共24頁11結論：的微分形式總是的微分形式總是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論)(,xfyx xxfyd)(d 2、復合函數(shù)的微分法則設設)(xfy 可可導導，則則xxfyd)(d 。 而而 ttgxd)(d , 因此又有因此又有 xxfyd)(d , , ttgxfyd)()(d 此性質稱為一階微分的形式不變性. 若若

8、又又有有)(tgx , ,g可可導導， 則則復復合合函函數(shù)數(shù))(tgfy 的的微微分分為為 第11頁/共24頁12例3解法1.d, )eln(2yxyx求求設設 ,ee2122xxxxy .dee21d 22xxxyxx 解法2)e(de1d22xxxxy .dee2122xxxxx 分析xxfyd)(d 微分的計算：計算函數(shù)的導數(shù), 乘以自變量的微分.也可利用復合函數(shù)的微分法則。第12頁/共24頁13例4解.d),12sin(yxy求求設設 )12(d)12cos(d xxy.d) 12cos(2xx 例5解.d,cose31yxyx求求設設 )(cosde)e (dcosd3131xxyx

9、x xxxxxxd)sin(ed)e3(cos3131 .d)sincos3(e31xxxx vuuvuvdd)(d 第13頁/共24頁14例6解.d,e1tanyxyx求求設設 xxe1tand2)e1()e1(dtan)(tand)e1(xxxxx .d)e1(tanesec)e1(22xxxxxx 2dd)(dvvuuvvu 第14頁/共24頁15例7抽象函數(shù)微分法： 解設設函數(shù)函數(shù))(uf可可微微，求求)(ln xfy 的的微分微分。 xxfylnd)(lnd .d)(lnxxxf 例8解設設函函數(shù)數(shù))(uf可可微微，求求)e (e)(xxffy 的的微微分分。 )e (de)e ()

10、e (dd)()(xxfxxfffy xxxfxxfffxfde)e (e)e ()(de)()( .d)e (e)e ()(e)(xffxfxxxxf 第15頁/共24頁16例9解隱函數(shù)微分法： .d,222yayx求求設設 兩邊微分，0d2d2 yyxx.dd xyxy 例10解.darctanyyxy求求，設設 兩邊微分，21dddyyyxxy .d)1(1)1(d22xyxyyy 第16頁/共24頁17訓練：訓練：設設)(xyy 由由03 yxyx確確定定，求求0d xy. 解方程兩邊同時求微分得xd當當0 x時時, ,1 y .d)13ln(d 0 xyx ,0d3lndd xyx代

11、入得yd yx3 3ln)dd(yxxy ,0 第17頁/共24頁18有有很很小小時時且且處處的的導導數(shù)數(shù)在在點點若若,0)()( 00 xxfxxfy 例11解,2rA 設設.05. 0,10厘米厘米厘米厘米 rrrrAA 2d05. 0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00dxxxxyy 五、微分在近似計算中的應用五、微分在近似計算中的應用)()()()(000 xxxfxfxf )(0 xx 第18頁/共24頁19例12.0360coso的的近近似似值值計計算算 解,cos)(xxf 設設)( ,sin)(為弧度為弧度xxxf ,360 x,21)3( f)3603cos(03

12、60cos o 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 49242356. 0精確值精確值，23)3( f第19頁/共24頁20常用近似公式)(很小時很小時x;)(sin)4(為為弧弧度度xxx (1) 證,e)(xxf 設設,e)(xxf .1)0(,1)0( ff. )(tan)5(為為弧弧度度xxx ；xx )1ln()3(;1)1()2(xx ;1e)1(xx .1exx )()0()0()(很很小小時時，特特別別xxffxf . )(211cos)6(2為弧度為弧度xxx 第20頁/共24頁21例13.計計算算下下列列各各數(shù)數(shù)的的近近似似值值解.e)2(;5 .998)1(03. 03 335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11