1、一、近似計算,21 naaaA,21naaaA .21 nnnaar誤差誤差兩類問題兩類問題: :1.給定項數,求近似值并估計精度;2.給出精度,確定項數.關健關健: :通過估計余項,確定精度或項數.第1頁/共22頁常用方法常用方法:1.若余項是交錯級數,則可用余和的首項來解決;例例1 1.10,5 使其誤差不超過使其誤差不超過的近似值的近似值計算計算e解解,!1! 2112 nxxnxxe, 1 x令令,!1! 2111ne 得得2.若不是交錯級數若不是交錯級數,則放大余和中的各項則放大余和中的各項,使之成使之成為等比級數或其它易求和的級數為等比級數或其它易求和的級數,從而求出其和從而求出其

2、和.第2頁/共22頁余和: )!2(1)!1(1nnrn)211()!1(1 nn)1(1111()!1(12 nnn!1nn ,105 nr欲欲使使,10!15 nn只只要要,10!5 nn即即,10322560!885 而而! 81! 31! 2111 e71828. 2 第3頁/共22頁例例2 2.,9sin! 3sin03并估計誤差并估計誤差的近似值的近似值計算計算利用利用xxx 解解20sin9sin0 ,)20(61203 52)20(!51 r5)2 . 0(1201 3000001 ,105 000646. 0157079. 09sin0 156433. 0 其誤差不超過 .5

3、10 第4頁/共22頁二、計算定積分原函數不能用初等例如函數,ln1,sin,2xxxex., 難以計算其定積分函數表示解法解法逐項積分逐項積分展開成冪級數展開成冪級數定積分的近似值定積分的近似值被積函數被積函數第5頁/共22頁第四項30001!771 ,104 取前三項作為積分的近似值,得! 551! 3311sin10 dxxx9461. 0 例例3 3.10,sin410 精確到精確到的近似值的近似值計算計算dxxx 642!71! 51! 311sinxxxxx解解),( x !771! 551! 3311sin10dxxx收斂的交錯級數第6頁/共22頁三、求數項級數的和1.1.利用級

4、數和的定義求和利用級數和的定義求和: :(1)直接法;(2)拆項法;(3)遞推法.例例4 4.21arctan12的和的和求求 nn解解,21arctan1 s81arctan21arctan2 s812118121arctan ,32arctan 第7頁/共22頁181arctan32arctan 181arctan23 ss,43arctan 1arctan1arctan nnsn)(4 n.421arctan12 nn故故,1arctan1kksk 假設假設221arctan1arctankkksk ,1arctan kk第8頁/共22頁2.2.阿貝爾法阿貝爾法( (構造冪級數法構造冪級

5、數法):):,lim010nnnxnnxaa ,)(0nnnxaxs 求得求得).(lim10 xsaxnn (逐項積分、逐項求導)例例4 4.2121的和的和求求 nnn解解,212)(221 nnnxnxs令令)2, 2( 第9頁/共22頁 1022)212()(nxnndxxnxs 112)2(nnnx)2(1(12 nnxx)21(22 xxx)2(2 xx,)2(2222xx 2221)2(2limxxx )(lim1xsx , 3 . 32121 nnn故故第10頁/共22頁例例5 5.2!12的和的和求求 nnnn解解,!)(12nnxnnxs 令令),(nnxnnnnxs 1!

6、)1()(nnnnxnxnnn 11)!1(1!)1( 012!)!(nnnnnxxnxxxxxeex )1(2,)1(xxex 122 !nnnn)21( s 21)121(21 e.43e 第11頁/共22頁四、歐拉公式復數項級數復數項級數: )()()(2211nnjvujvujvu.), 3 , 2 , 1(,為實常數或實函數為實常數或實函數其中其中 nvunn若若 1nnuu, 1nnvv,則稱級數則稱級數 1)(nnnivu收斂收斂, , 且其和為且其和為 ivu . .第12頁/共22頁復數項級數絕對收斂的概念復數項級數絕對收斂的概念三個基本展開式三個基本展開式,! 212 nx

7、xxenx,)!12()1(! 5! 3sin12153 nxxxxxnn,)!2()1(! 4! 21cos242 nxxxxnn)( x)( x)(x收斂若nnvuvuvu2222221212數絕對收斂則絕對收斂稱復數項級第13頁/共22頁的冪級數展開式的冪級數展開式由由xe njxjxnjxjxe)(!1)(! 2112)!12()1(! 31()!2()1(! 211(12322 nxxxjnxxnnnnxjxsincos xcosxsin第14頁/共22頁xjxejxsincos jeexeexjxjxjxjx2sin2cosxjxejxsincos 又又 揭示了三角函數和復變量指數

8、函數之間的揭示了三角函數和復變量指數函數之間的一種關系一種關系. .歐拉公式歐拉公式)sin(cosyjyeexjyx 第15頁/共22頁五、小結、近似計算,求不可積類函數的定積分，、微分方程的冪級數的解法(第十二節介紹)求數項級數的和，歐拉公式的證明；第16頁/共22頁思考題思考題利用冪級數展開式, 求極限.sinarcsinlim30 xxxx 第17頁/共22頁思考題解答思考題解答,54231321arcsin53 xxxx,! 533! 33341sin55333 xxx)1( x)( x,sinarcsinlim30 xxxx 將上兩式代入第18頁/共22頁 54231321lim5

9、30 xxxxx 5533! 533! 33341xx原式=)()(61lim33330 xoxxoxx .61 第19頁/共22頁一、一、 利用函數的冪級數展開式求下列各數的近似值利用函數的冪級數展開式求下列各數的近似值: : 1 1、3ln ( (精確到精確到0001. 0) )； 2 2、2cos ( (精確到精確到0001. 0).).二、二、 利 用 被 積 函 數 的 冪 級 數 展 開 式 求 定 積 分利 用 被 積 函 數 的 冪 級 數 展 開 式 求 定 積 分 5 . 00arctandxxx ( (精確到精確到001. 0) )的近似值的近似值 . .三、三、 將函數將函數xexcos展開成展開成的冪級數的冪級數x . .練練 習習 題題第20頁/共22頁練習題答案練習題答案一、一、1 1、1.09