1、第2課時空間向量與垂直關系學 習 目 標核 心 素 養1.能利用平面法向量證明線面和面面垂直(重點)2能利用直線的方向向量和平面的法向量判定并證明空間中的垂直關系(重點、難點)借助空間向量證明線面垂直和面面垂直的學習，提升學生的數學運算和邏輯推理核心素養.因為方向向量和法向量可以確定直線和平面的位置，那么我們就可以利用空間直線的方向向量和平面的法向量表示空間直線：平面間的平行和垂直問題上節課我們研究了平行問題，下面我們來研究一下垂直問題1空間中有關垂直的向量關系一般地，直線與直線垂直，就是兩直線的方向向量垂直；直線與平面垂直，就是直線的方向向量與平面的法向量平行；平面與平面垂直，就是兩平面的法

2、向量垂直2空間中垂直關系的向量表示線線垂直設直線l1的方向向量為u(a1，a2，a3)，直線l2的方向向量為v(b1，b2，b3)，則l1l2uv0a1b1a2b2a3b30線面垂直設直線l的方向向量是u(a1，b1，c1)，平面的法向量是n(a2，b2，c2)，則lunun(a1，b1，c1)(a2，b2，c2)(r)面面垂直設平面的法向量n1(a1，b1，c1)，平面的法向量n2(a2，b2，c2)，則 n1n2 n1n20a1a2b1b2c1c20思考：若一個平面內一條直線的方向向量與另一個平面的法向量共線，則這兩個平面是否垂直？提示垂直1思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)同一

3、個平面的法向量均為共線向量()(2)若a，b是平面內的向量，且na0，nb0，那么n可以作為平面的一個法向量()(3)若點a、b是平面上的任意兩點，n是平面的法向量，則n0.()提示(1)(2)(3)2設直線l的方向向量u(2,2，t)，平面的一個法向量v(6，6,12)，若直線l平面，則實數t等于()a4 b4c2 d2b因為直線l平面，所以uv，則，解得t4，故選b.3若直線l1的方向向量為u1(1,3,2)，直線l2上有兩點a(1,0，1)，b(2，1,2)，則兩直線的位置關系是_l1l2(1，1,1)，u11131210，因此l1l2.4若平面，的法向量分別為a(2，1,0)，b(1，

4、2，0)，則與的位置關系是_垂直由于ab(2，1,0)(1，2,0)220，所以.利用空間向量證明線線垂直【例1】在正方體abcda1b1c1d1中，e為ac的中點求證：(1)bd1ac；(2)bd1eb1.解以d為坐標原點，da，dc，dd1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系設正方體的棱長為1，則b(1,1,0)，d1(0,0,1)，a(1,0,0)，c(0,1,0)，e，b1(1,1,1)(1)(1，1,1)，(1,1,0)，(1)(1)(1)1100，即bd1ac.(2)(1，1,1)，(1)(1)110，即bd1eb1.利用向量法證明線線垂直的方法用向量法證明

5、空間中兩條直線l1，l2相互垂直，其主要思路是證明兩條直線的方向向量a，b相互垂直，只需證明ab0即可，具體方法如下：(1)坐標法：根據圖形的特征，建立適當的空間直角坐標系，準確地寫出相關點的坐標，表示出兩條直線的方向向量，計算出其數量積為0即可(2)基向量法：利用向量的加減運算，結合圖形，將要證明的兩條直線的方向向量用基向量表示出來，利用數量積運算說明兩向量的數量積為0.跟進訓練1在棱長為a的正方體oabco1a1b1c1中，e，f分別是ab，bc上的動點，且aebf，求證：a1fc1e.證明以o為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則a1(a,0，a)，c1(0，a，a)設aebfx，則

6、e(a，x,0)，f(ax，a,0)(x，a，a)，(a，xa，a)(x，a，a)(a，xa，a)axaxa2a20，即a1fc1e.用空間向量證明線面垂直探究問題1利用空間向量證明線面垂直時，一般有哪幾種思路？提示利用基向量的辦法和建立空間坐標系的方法，但往往都是求直線的方向向量與平面的法向量共線2證明線面垂直，能否不求平面的法向量？提示可以，這時只需證明直線的方向向量分別與平面內兩個不共線的向量的數量積為零即可【例2】如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別是b1b，dc的中點，求證：ae平面a1d1f.思路探究建立空間直角坐標系，得到有關向量的坐標，求出平面a1d1f的法向量

7、，然后證明與法向量共線證明如圖，以點d為坐標原點，建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則a(1,0,0)，e，a1(1,0,1)，d1(0,0,1)，f，(1,0,0)，.設平面a1d1f的一個法向量為n(x，y，z)，則即解得令z1，得y2，則n(0,2,1)又，n2.n，即ae平面a1d1f.1把本例“正方體”改為“長方體”，其中，abad1，aa12，點p為dd1的中點，如圖，求證：直線pb1平面pac.證明依題設，以d為坐標原點，如圖所示，建立空間直角坐標系dxyz，則c(1,0,0)，p(0,0,1)，a(0，1,0)，b1(1,1,2)，于是(1,1,0)，(1,0,1)，(1

8、,1,1)，(1,1,0)(1,1,1)0，(1,0,1)(1,1,1)0，故，即pb1cp，pb1ca，又cpcac，且cp平面pac，ca平面pac.故直線pb1平面pac.2.在本例中，把f改為“是b1d1的中點”，其他條件不變，求證：ef平面b1ac.證明建立如圖所示的空間直角坐標系，令正方體的棱長為1，則a(1,0,0)，c(0,1,0)，b1(1,1,1)e，f.(1,1,0)，(0,1,1)，.由0，0，得，也就是efac，efab1，又因ac，ab1面ab1c，且acab1a，故ef平面ab1c.1坐標法證明線面垂直的兩種方法法一：(1)建立空間直角坐標系；(2)將直線的方向向

9、量用坐標表示；(3)找出平面內兩條相交直線，并用坐標表示它們的方向向量；(4)分別計算兩組向量的數量積，得到數量積為0.法二：(1)建立空間直角坐標系；(2)將直線的方向向量用坐標表示；(3)求出平面的法向量；(4)判斷直線的方向向量與平面的法向量平行2使用坐標法證明時，如果平面的法向量很明顯，可以用法二，否則常常選用法一解決利用空間向量證明面面垂直【例3】如圖所示，在直三棱柱abca1b1c1中，abbc，abbc2，bb11，e為bb1的中點，證明：平面aec1平面aa1c1c.思路探究要證明兩個平面垂直，由兩個平面垂直的條件，可證明這兩個平面的法向量垂直，轉化為求兩個平面的法向量n1，n

10、2，證明n1n20.解由題意得ab，bc，b1b兩兩垂直以b為原點，ba，bc，bb1分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系則a(2,0,0)，a1(2,0,1)，c(0,2,0)，c1(0,2,1)，e，則(0,0,1)，(2,2,0)，(2,2,1)，.設平面aa1c1c的一個法向量為n1(x1，y1，z1)則令x11，得y11.n1(1,1,0)設平面aec1的一個法向量為n2(x2，y2，z2)則令z24，得x21，y21.n2(1，1,4)n1n2111(1)040.n1n2，平面aec1平面aa1c1c.1利用空間向量證明面面垂直通常可以有兩個途徑：一是利用兩個平面垂直的

11、判定定理將面面垂直問題轉化為線面垂直進而轉化為線線垂直；二是直接求解兩個平面的法向量，由兩個法向量垂直，得面面垂直2向量法證明面面垂直的優越性主要體現在不必考慮圖形的位置關系，恰當建系或用基向量表示后，只需經過向量運算就可得到要證明的結果，思路方法“公式化”，降低了思維難度跟進訓練3.如圖，在四棱錐sabcd中，底面abcd是正方形，as底面abcd，且asab，e是sc的中點求證：平面bde平面abcd.解設asab1，建立如圖所示的空間直角坐標系axyz，則b(1,0,0)，d(0,1,0)，a(0,0,0)，s(0,0,1)，e.法一：如圖，連接ac，交bd于點o，連接oe，則點o的坐標

12、為.易知(0,0,1)，oeas.又as底面abcd，oe平面abcd.又oe平面bde，平面bde平面abcd.法二：設平面bde的法向量為n1(x，y，z)易知(1,1,0)，由得令x1，可得平面bde的一個法向量為n1(1,1,0)as底面abcd，平面abcd的一個法向量為n2(0,0,1)n1n20，平面bde平面abcd.空間垂直關系的解決策略幾何法向量法線線垂直(1)證明兩直線所成的角為90.(2)若直線與平面垂直，則此直線與平面內所有直線垂直兩直線的方向向量互相垂直線面垂直對于直線l，m，n和平面(1)若lm，ln，m，n，m與n相交，則l.(2)若lm，m，則l(1)證明直線

13、的方向向量分別與平面內兩條相交直線的方向向量垂直(2)證明直線的方向向量與平面的法向量是平行向量面面垂直對于直線l，m和平面，(1)若l，l，則.(2)若l，m，lm，則.(3)若平面與相交所成的二面角為直角，則證明兩個平面的法向量互相垂直1已知直線l1的方向向量a(1,2，2)，直線l2的方向向量b(2,3，m)若l1l2，則m()a1 b2 c d3b由于l1l2，所以ab，故ab262m0，即m2.2已知直線l與平面垂直，直線l的一個方向向量為u(1，3，z)，向量v(3，2,1)與平面平行，則z等于()a3 b6 c9 d9cl，v與平面平行，uv，即uv0，1332z10，z9.3已知平面和平面的法向量分別為a(1,2,3)，b(x，2,3)，且，則x_.5，ab，abx490，x5.4已知a(0,1,1)，b(1,1,0)，c(1,0,1)分別是平面，的法向量，則，三個平面中互相垂直的有_對0ab(0,1,1)(1,1,0)10，ac(0,1,1)(1,0,1)10，bc(1,1,0)(1,0,1)10，a，b，c中任意兩個都不垂直，即，中任意兩個都不垂直5如圖所示，正三棱柱abca1b1c1的所有棱長都為2，d為cc1的中點 求證：ab1平面a1bd.證明如圖所示，取bc的中點o，連接ao.因為abc為正三角形，所以aobc. 因為在正三