1、第四章第四章 線性系統的能控性和能觀測性線性系統的能控性和能觀測性41 能控性和能觀測性的定義能控性和能觀測性的定義能控性和能觀測性是從控制和觀測角度表征系統結構的兩個基本特性。能控性和能觀測性是從控制和觀測角度表征系統結構的兩個基本特性。s1s12)0(1x1xy1x )0(2x2x2x u不完全能控但能觀測不能控不能觀測電路狀態狀態能控性，能達性定義能控性，能達性定義 對連續時間線性時變系統 jtutbxtax,)()(如果存在一個時刻 011,ttjt以及一個無約束的容許控制無約束的容許控制u(t), ,10ttt 使系統狀態由x(t0)=x0轉移到x(t1)=0，則稱非零狀態x0在t0

2、時刻為能控能控。 如果存在一個時刻t1j,t1t0,以及一個無約束的容許控制u(t),tt0,t1,使系統狀態由x(t0)=0轉移到x(t1)=xf0,則稱非零狀態xf在t0時刻為能達能達。 注意：注意： 對連續連續時間線性時不變時不變系統，能控性和能達性等價等價；對離散離散時間線性系統和線性時變系統，若系統矩陣g為非奇異為非奇異，則能控性和能達性等價等價；對連續時間線性時變系統，能控性和能達性一般為不等價。 定義：定義：對連續時間線性時變系統 jtutbxtax,)()(和指定初始時刻t0j，如果狀態空間中所有所有非零狀態在時刻t0j都為能控/能達，稱系統在時刻t0為完全能控/能達。 定義：

3、定義：對連續時間線性時變系統 jtutbxtax,)()(和指定初始時刻t0j，如果狀態空間中存在一個非零狀態或一個非空狀態集合在時刻t0j為不能控/能達，稱系統在時刻t0為不完全能控/能達。 定義：定義：若系統的能控/能達性與初始時刻t0的選取無關，或系統在任意初 始時刻t0j均為完全能控/能達，則稱系統為一致完全能控/能達。注：注：從工程實際角度考慮，一個實際系統為能控/能達的概率幾乎等于1。系統系統能控性，能達性定義能控性，能達性定義 能觀測性定義能觀測性定義和指定初始時刻t0j,如果存在一個時刻t1j，t1t0，使系統以x(t0)=x0為初始狀態的輸出y(t)恒為零，即y(t)0，tt

4、0,t1，則稱非零狀態x0在時刻t0為不能觀測；xxx)(,)()(00tcyjtttxtax，對連續時間線性時變系統 如果狀態空間中所有非零狀態在時刻t0都不為不能觀測，則稱系統在時刻t0為完全能觀測； 如果狀態空間中存在一個非零狀態或一個非零狀態集合在時刻t0為不能觀測，則稱系統在時刻t0為不完全能觀測； 如果系統對任意時刻均為完全能觀測，即能觀測性與初始時刻t0的選取無關，則稱系統為一致完全能觀測。 s1s1)(tu12)(ty)0(1x)0(2x1x2x該系統是不完全能觀測的由于 ttdbuttxtttx0)()()()()(00可見系統的狀態x(t)的能觀測性與x(t0)的能觀測性是

5、等價的。注：注：從工程實際角度考慮，一個實際系統為能觀測的概率幾乎等于1。xxx)(,)()()(00tcyjtttutbxtax，其解為；42 連續時間線性系統的能控性判據連續時間線性系統的能控性判據 結論結論1： (格拉姆矩陣判據格拉姆矩陣判據) 線性時變系統在t0時刻是狀態完全能控的充分必要條件是下列格拉姆矩陣10),()()(),(),(0010ttttcdtbbtttw為非奇異矩陣。證明：證明： 充分性充分性 為非奇異時，系統能控 ),(10ttwc)(),(),()()(01010txttwtttbtuctt0)(),(),(),()(),()(),(),()()(),(),()(

6、),()(),(),()()(),()(),()()(),()(),()(010110010010101000100101010100110011101010txttwttwtttxttdtxttwtbbttttxttdtxttwtbbttxttdubttxtttxccttctttttttt說明系統是能控的。必要性證明采用反證法，自閱。 jtttutbxtax000,)()()(xx， 由于時變系統狀態轉移矩陣求解困難，故能控性格拉姆矩陣判據格拉姆矩陣判據的 意義主要在于理論分析中的應用。 tttttddaadaitt010012210,結論3：n 維連續時間線性時變系統 jttxtxutbx

7、tax000,)()()(設a(t),b(t)對t為n-1階連續可微，定義 )()()()()()()()()()()()()()(2211120010tmdtdtmtatmtmdtdtmtatmtmdtdtmtatmtbtmnnn則系統在時刻t0j完全能控的一個充分條件充分條件為，存在一個有限時刻t1j，t1t0，,使 ntmtmtmrankn)(,),(),(111110能控性秩判據能控性秩判據結論2：連續時間線性時不變時不變系統： 0)0(0txxbuaxx 完全能控的充分必要條件是，存在時刻t10，使格拉姆矩陣 101, 0ttatatcdtebbetwt為非奇異。 (格拉姆矩陣判據格

8、拉姆矩陣判據)主要在于理論分析和推導中的應用。主要在于理論分析和推導中的應用。結論4 （能控性秩判據）（能控性秩判據）對n 維連續時間線性時不變時不變系統，系統完全能控的充分必要條件為能控性判別矩陣 ,12babaabbqnc 滿秩，即rankqc=n 結論5（能控性（能控性pbh秩判據）秩判據）n 維連續時間線性時不變時不變系統完全能控的充分必要條件為： ranksi-a，b=n, s c c為復數域或 rank ii-a，b=n， i為系統特征值結論6： （能控性（能控性pbh特征向量判據）特征向量判據） n 維連續時間線性時不變時不變系統完全能控 的充分必要條件為：矩陣a不存在與b所有列

9、正交的非零左特征向量， 即對矩陣a所有特征值 i ，使同時滿足ta a= i t，t b=0 的左特 征向量t =0。 主要在于理論分析中，特別是線性時不變系統的復頻域分析中。主要在于理論分析中，特別是線性時不變系統的復頻域分析中。結論7： （約當規范型判據）（約當規范型判據）對n維線性時不變時不變系統，若a為對角陣，且其特征值兩兩相異，系統完全能控的充分必要條件是b中不包含零行向量。結論8： （約當規范型判據）（約當規范型判據）對n維線性時不變時不變系統，若a為約當陣，系統完全能控的充分必要條件是： 特征值互異的約當塊最后一行對應的b陣中，該行元素不全為零。 特征值相同的各約當塊最后一行對應

10、的b陣各行向量線性無關。注：注：1. 能控性pbh特征向量判據主要用于理論分析中，特別是線性時不變 系統的復頻域分析中。 2. 狀態向量的線性非奇異變換不改變系統的能控性。例例 圖示電路，判斷系統能控性條件 ul1r2r3r4rclicu解解 選取狀態變量x1=il，x2=uc，得系統的狀態方程為： 2432114342122243321114343212111111111xrrrrcxrrrrrrcxulxrrrrrrlxrrrrrrrrlx4342124343212121011,rrrrrrlcrrrrrrrrllabbqc434212rrrrrr即（r1r4=r2r3）時，系統不能控。否

11、則系統能控。 例例 211312112211111100111100211010001000111llllbbbbuxx 系統能控的充分必要條件是向量組bl11、bl12、bl13線性無關以及bl21 不為零向量。 系統能控系統能控當kn時，qk為能控性判別矩陣。,1baabbqkk對完全能控能控連續時間線性時不變系統，定義能控性指數能控性指數為： 使“rankqk=n”成立的最小正整數k 。 結論9：對完全能控單輸入單輸入連續時間線性時不變時不變系統，狀態維數為n， 則系統能控性指數n。能控性指數能控性指數連續時間線性時不變時不變系統： 0)0(0txxbuaxx 定義：結論10：對完全能控

12、多輸入多輸入連續時間線性時不變系統，狀態維數為n， 輸入維數為p，設rankb=r，則能控性指數滿足如下估計： 1rnpn設 n為矩陣a的最小多項式次數，則 1,minrnnpn結論11：多輸入多輸入連續時間線性時不變時不變系統，狀態維數為n，輸入維數為p， 且rankb=r，則系統完全能控的充分必要條件為： nbaabbrankrankqrnrn,1結論12：對完全能控能控多輸入連續時間線性時不變系統， 狀態維數為n，輸入維數為p，將q表為： 0)0(0txxbuaxx ,p12111p21p21bababaabababbbbqr1rr21221111,;,;,21baabbbaabbbaa

13、bbr其中： 12 rn由于rankb=r，將q中的n個線性無關列重新排列：能控性指數滿足： max 1，2 ，r 且稱 1，2 ，r 為系統的能控性指數集。ba-1b43 連續時間線性系統的能觀測性判據連續時間線性系統的能觀測性判據 結論1：線性時變系統在t0時刻是狀態完全能觀測的充分必要條件是下列格蘭姆矩陣為非奇異矩陣 10),()()(),(,00100ttttdttttctcttttw結論2：連續時間線性時不變時不變系統完全能觀測的充分必要條件是，存在時刻t10，使格拉姆矩陣 為非奇異。 1010, 0tatttadtcecetwtcxyjtttxtax000,)()(xx，結論3：

14、n 維連續時間線性時變系統設a(t),c(t)對t為n-1階連續可微，定義 則系統在時刻t0j完全能觀測的一個充分條件充分條件為，存在一個有限時刻t1j，t1t0，,使 )()()()()()()()()(2210010tndtdtatnntndtdtatntntctnnnnntntntnrankn)()()(111110結論4 對n 維連續時間線性時不變時不變系統，系統完全能觀測的充分必要條件為能觀測性判別矩陣 滿秩，即rankq o=n 結論5n 維連續時間線性時不變時不變系統完全能觀測的充分必要條件為：或為系統特征值10ncacacqcsncasiranknincairank,21c為復

15、數域結論7：對n維連續時間線性時不變時不變系統，若a為對角陣，且其特征值兩兩相異，系統完全能觀測的充分必要條件是c陣中不包含零列向量。 結論8：對n維連續時間線性時不變時不變系統，若a為約當陣，系統完全能觀測的充分必要條件是： 特征值互異的約當塊第一列對應的c陣中，該列元素不全為零。 特征值相同的約當塊第一列對應的c陣中，各列向量線性無關。結論6：n維連續時間線性時不變時不變系統完全能觀測的充分必要條件為：矩陣a不存在與c所有行正交的非零右特征向量，即對矩陣a所有特征值，使同時滿足0,cai的右特征向量 0定義：令 完全能觀測n維連續時間線性時不變系統的能觀測性指數能觀測性指數定義為 使“ra

16、nkqk=n”成立的最小正整數。 結論9：對完全能觀測單輸出單輸出連續時間線性時不變時不變系統，狀態維數為n，則能觀測性指數為 n。 結論10：對完全能觀測多輸出多輸出連續時間線性時不變時不變系統，狀態維數為n，輸入維數為q，設rankc=m，則 設 n為矩陣a的最小多項式次數，則 結論11：對多輸出多輸出連續時間線性時不變時不變系統，設rankc=m，則系統完全能觀測的充分必要條件是： 1kkcacacq1mnqn) 1,min(mnnqnncacacrankqranktmnttttmn)(,14.4 離散時間線性系統的能控性和能觀性判據離散時間線性系統的能控性和能觀性判據 時變系統的能控性

17、和能觀性判據時變系統的能控性和能觀性判據定義 離散時間線性時變系統 kjkkukhkkgk)()()()() 1(xx如果對初始時刻hjk 和任意非零初始狀態x(h)=x0都存在時刻ljk,lh和對應輸入u(k),使輸入作用下系統狀態在時刻ljk達到原點，即有x(l)=0,則稱系統在時刻h完全能控； 如果對初始時刻h和任意非零狀態xl，都存在時刻ljk,lh和對應輸入u(k)，使輸入作用下由初始狀態x(h)=0出發的系統運動在時刻ljk達到xl，則稱系統在時刻h完全能達。結論1 離散時間線性時變系統在時刻h完全能達能達的充分必要條件充分必要條件為，存在時刻ljk,lh，使格蘭姆矩陣 1) 1,

18、()()() 1,(,lhkttcklkhkhkllhw為非奇異 結論2 若系統矩陣若系統矩陣g(k)對所有對所有 kh,l-1 非奇異非奇異，則離散時間線性時變系統在時刻hjk完全能控能控的充分必要條件為，存在時刻ljk,lh，使格蘭姆矩陣 1) 1,()()() 1,(,lhkttcklkhkhkllhw為非奇異 若系統矩陣g(k)對一個或一些kh,l-1奇異。格蘭姆矩非奇異為系統在時刻h完全能控的一個充分條件。 若系統矩陣g(k) 對所有kh,l-1非奇異，則系統能控性和能達性等價。 若離散時間線性時變系統為連續時間線性時變系統的時間離散化，則系統的能控性和能達性等價。時不變系統的能控性

19、和能達性判據時不變系統的能控性和能達性判據 結論3 離散時間線性時不變系統 )()() 1(khukgkxx系統完全能達能達的充分必要條件為，存在時刻l 0，使格蘭姆矩陣 10)(, 0lkkttkcghhglw為非奇異。若系統矩陣g非奇異，則系統完全能控能控的充分必要條件為存在時刻l 0，使格蘭姆矩陣為非奇異。10)(, 0lkkttkcghhglw若系統矩陣g奇異奇異，則上述格蘭姆矩陣非奇異為系統完全能控的充分條件充分條件。 結論4 n維離散時間線性時不變系統 )()() 1(khukgkxx系統完全能達的充分必要條件為矩陣 hgghhqnkc1,滿秩 若系統矩陣g非奇異，則系統完全能控的

20、充分必要條件為 rankqkc=n。若系統矩陣g奇異，rankqkc=n 為系統完全能控的一個充分條件。結論5 對于單輸入離散時間線性時不變系統，當系統完全能控時，可構造如下一組輸入控制 0121,) 1() 1 ()0(xhghghgnuuun則系統必可在n步內由任意非零初態x(0)，轉移到狀態空間原點，通常稱這組控制為最小拍控制。 若系統矩陣g非奇異，則離散時間線性時不變系統能控性和能達性等價。 若離散時間線性時不變系統為連續時間線性時不變系統的時間離散化，則系統的能控性和能達性等價。例例 設單輸入線性離散系統的狀態方程為 )(101)(011220001) 1(kukxkx試判斷系統的能

21、控性，若初始狀態x(0)=2,1,0t，確定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。 解解 33112201112kckcrankqhgghhq系統是能控的 )2(101) 1 (121)0(3214122)2()2()3(uuuhugxx令0)3(x8115)2() 1 ()0(4122)2() 1 ()0(101121321uuuuuu若令0)2(x062) 1 ()0(101121uu無解。即不存在控制序列u（0），u（1）能夠使系統從初始狀態x(0)=2,1,0t轉移到x(2)=0。時變系統的能觀測性判據時變系統的能觀測性判據結論6 離散時間線性

22、時變系統在時刻hjk完全能觀測的充分必要條件為，存在一個離散時刻ljk,l h,使格蘭姆矩陣 10),()()(),(),(lhktthkkckchklhw為非奇異 時不變系統的能觀測性判據時不變系統的能觀測性判據 結論7 離散時間線性時不變系統完全能觀測的充分必要條件為，存在一個離散時刻l0,使格蘭姆矩陣 100)(, 0lkktktcgcglw為非奇異 結論8 n 維離散時間線性時不變系統完全能觀測的充分必要條件為 1nokcgcgcq滿秩 結論9 若單輸出離散時間線性時不變系統完全能觀測，則利用n步輸出值就可構造出相應的初始狀態初始狀態 ) 1() 1 ()0(110nyyycgcgcn

23、x4.5 對偶性對偶性對于線性系統，能控性和能觀測性之間在概念和判據形式上存在對偶關系，實質上反映了系統控制問題和系統估計問題的對偶。定義：對連續時間線性時變系統 xcybxax)()()(tutt其對偶系統定義為如下形式的一個連續時間線性時變系統tttttttttttbca)()()(d對偶系統對偶系統其中，狀態xn維行向量，協狀態 n維行向量 輸入up維列向量，輸入 q 維行向量 輸出yq維列向量，輸出 p 維行向量 顯然，是一個p維輸入q維輸出的n階系統，其對偶系統d是一個q維輸入p維輸出的n階系統。 d 系統矩陣系統矩陣的轉秩d 輸入矩陣輸出矩陣的轉秩d 輸出矩陣輸入矩陣的轉秩對偶系統

24、之間具有如下屬性：對偶系統之間具有如下屬性：1.線性屬性和時變屬性2.系數矩陣的對偶性xcybxax)()()(tutttttttttttttbca)()()(d3.狀態轉移矩陣的對偶性),(),(00tttttd互為轉秩逆！互為轉秩逆！xcybxax)()()(tutt 互為對偶的兩系統，輸入端與輸出端互換，信號傳遞方向相反，信號引出點和綜合點互換，對應矩陣轉置。 t t tatctbt dtttttttttttbca)()()(d原構系統與其對偶系統具有相同屬性。4.方塊圖對偶屬性結論: 設為原構線性系統, d為對偶線性系統,則有 完全能控 d 完全能觀測 完全能觀測 d 完全能控 線性時

25、不變系統，線性時不變系統，其傳遞函數矩陣 baicw1)()(ss)()()()(11dssssttttttwbaiccaibw互為對偶系統的傳遞函數矩陣互為轉置，特征方程式相同，特征值相同。互為對偶系統的傳遞函數矩陣互為轉置，特征方程式相同，特征值相同。aiaisst對偶性原理對偶性原理10),()()(),(,00100ttddtdtdddttttctcttttw10100,ttrankwttrankwcd10),()()(),(00ttttdttttbtbtt完全能控 d 完全能觀測 根據這一原理，一個系統的狀態完全能控（狀態完全能觀測）的特性，根據這一原理，一個系統的狀態完全能控（狀態

26、完全能觀測）的特性，可以轉化為其對偶系統的狀態完全能觀測（狀態完全能控）的特性來研究。可以轉化為其對偶系統的狀態完全能觀測（狀態完全能控）的特性來研究。 對偶原理的意義，不僅在于對偶原理的意義，不僅在于提供了一條途徑提供了一條途徑，使可由一種結構特性判據，使可由一種結構特性判據導出另一種結構特性判據，而且還在于提供了一種可能性，使可建立了系統導出另一種結構特性判據，而且還在于提供了一種可能性，使可建立了系統最優控制問題和最佳估計問題基本結論間的對于關系。最優控制問題和最佳估計問題基本結論間的對于關系。 10,ttwcxcybxax)()()(tutttttttttttttbca)()()(d)

27、,(),(00tttttd4.6離散化線性系統保持能控性和能觀測性的條件離散化線性系統保持能控性和能觀測性的條件 設連續時間線性時不變系統 cxybuaxx 對應的時間離散化系統 )()()()() 1(kkkkkcxyhugxx其中g =eat h=tatdtbe0,21jia的特征值 ji n結論1： 如果連續系統（a、b、c）不能控（不能觀測），則對任意采樣周期t離散化后的系統（g、h、c）也是不能控（不能觀測）的。 本定理也可敘述為： 如果離散化后的系統是能控（能觀測）的，則離散化前的連續系統一定是能控（能觀測）的。將線性連續系統化為線性離散系統進行分析和控制，是現今系統與控制理論中常

28、為采用的一種模式。結論2 ：設連續系統（a、b、c）能控（能觀測），則離散化后的系統也能控（能觀測）的必要條件必要條件是： jtl2不是a的特征值。其中l為非零整數 結論3: 對時間離散化系統，使采樣周期t的值，對滿足reij=0的一切特征值，成立)(2jimilt則時間離散化系統能控的充分必要條件是eatb為行線性無關 結論4: 連續時間線性時不變系統，其時間離散化系統保持完全能控/完全能觀測的一個充分條件為，采樣周期t滿足如下條件：對a的任意兩個特征值1、 2，不存在非零整數l ，使jtl221成立對于單輸入單輸出系統，本定理是充分必要的。, 2 , 1ji，4.7能控性、能觀測性與傳遞函

29、數的關系能控性、能觀測性與傳遞函數的關系 結論1: 單輸入單輸出單輸入單輸出系統（a、b、c）是能控且能觀測的充分必要條件是：傳遞函數g（s）的分母|si-a|與分子之間不發生因子相消。 例 設單輸入、單輸出系統的傳遞函數 231)(2ssssg由于存在零、極點對消，系統不可能是既能控又能觀測的。結論2: 多輸入多輸出多輸入多輸出線性時不變系統能控能控的充分必要條件是：狀態向量與輸入向量之間的傳遞矩陣 basisgxu1)(的各行在復數域上線性無關。結論3：多輸入多輸出多輸入多輸出線性時不變系統能觀測能觀測的充分必要條件是：輸出向量與初始狀態向量x(0)之間的傳遞矩陣 1 asic的各列在復數

30、域上線性無關。48能控規范形和能觀測規范形：能控規范形和能觀測規范形：siso情形情形 由于狀態變量選擇的非唯一性，系統的狀態空間描述也不是唯一的。在實際應用中，常常根據所研究問題的需要，將狀態空間描述化成相應的幾種規范形式規范形式：如約當規范型，對于狀態轉移矩陣的計算，能控性和能觀性分析是十分方便的。能控規范型對于狀態反饋來說比較方便，而能觀測規范型則對于狀態觀測器的設計及系統辯識比較方便。 無論選用哪種規范形，其實質都是對系統狀態空間描述進行非奇異線性變換，其關鍵關鍵在于尋找相應的變換矩陣。本節以線性時不變siso系統為對象，討論能控規范形和能觀測規范形的基本形式基本形式和變換矩陣的構造方

31、法構造方法。線性時不變系統狀態空間描述為 cxybuaxx：能控性能觀測性在線性非奇異變換下的屬性能控性能觀測性在線性非奇異變換下的屬性引入坐標變換 ）（xpxxpx1，則變換后系統的狀態空間描述為 xcyubxax：cpcb,pbap,pa11,12babababqnc ccrankqqrank,111121111bppapbppapbapppbpn cnqpbabaabbp1121, 結論結論1：連續時間線性時不變系統的能控性和能觀測性在線性非奇異變換下保持不變。能控性指數，能觀測性指數也保持不變。 能控規范形能控規范形結論結論2：對完全能控能控n維單輸入單輸出連續時間線性時不變系統 cx

32、ybuaxx:0111)det(sssasinnnnbaabbrankn1，pqqoo同理：oorankqqrank則通過變換矩陣 11,1 -11 -1nnnbabbap1011111212112nnnnbabaabbp或可將系統變換成能控規范形，即xpx1導出： xxxccccyuba11011000001000010ncappa1001bpbc110,nccpc注：1.能控規范形以明顯形式直接和特征多項式系數0，1， ，n-1 聯系起來，對于系統綜合與仿真研究很方便。 2.完全能控的任意兩個代數等價系統必具有相同的能控規范形。 3.一個單輸入系統，如果其a、b陣具有如上形式，則系統一定能

33、控。 4.單輸入系統具有唯一唯一的能控規范形。無特殊形式結論3：對完全能觀測能觀測的n 維單輸入單輸出連續時間線性時不變系統，其能觀測規范形可基于線性非奇異變換 qxx 導出 xxx000cyuba其中ccacaqnnn1111111211212110111nnnncacacacq110101001001000nqaqa1100nqbb100010cqc注：1.能觀測規范形以明顯形式直接和特征多項式系數0，1， ，n-1 聯系起來，對于綜合系統的觀測器很方便。 2.完全能觀測的任意兩個代數等價系統必具有相同的能觀測規范形。 3.一個單輸出系統，如果其a、c陣具有如上形式，則系統一定能觀測。 4

34、.單輸出系統具有唯一唯一的能觀測規范形。無特殊形式u432654423321xx 1629)det(23sssasi272324244283172202cq例：已知線性時不變能控系統的狀態方程，試化為能控規范型。解：11,1 -11 -1nnnbabbapu1009216100010 xxu0010100011629xx111111nnnbaabbp49 能控規范形和能觀測規范形能控規范形和能觀測規范形mimo情形情形 多輸入多輸出多輸入多輸出連續時間線性時不變系統的能控規范型和能觀測規范型，相比于單輸入單輸出情形，無論規范形式還是構造方法都要復雜一些。 1.規范形式的不唯一性 2.構造變換矩

35、陣的復雜性 本節僅討論應用較廣的龍伯格規范形。 搜索線性無關的行或列的方法搜索線性無關的行或列的方法多輸入多輸出連續時間線性時不變系統的能控性判別矩陣和能觀測性判別矩陣 10ncacacq12bab,aab,b,q nc從qc或qo中找出n個線性無關的列或行，通常需經過一個搜索過程。nnpnqn考察n維多輸入多輸出連續時間線性時不變系統 cxybuaxx :,12babaabbqnc ,p21bbbb能控性判別矩陣為若系統完全能控，rankqc=n，即qc的np列中只有n個線性無關。nnp1.搜索qc中的n個線性無關的列向量的“列向搜索方案列向搜索方案”,p1n21n11np21p21cbab

36、abaabababbbbq用格柵圖的方法在qc中搜索n個線性無關的列向量。格柵圖格柵圖b1 b2 b3 b4a0a1a2a3a4a5baba2ba3ba4ba5b,12babaabbqnc n6 1 2 3搜索到搜索到 1 2 3n停止。停止。 1 3， 2 2， 31 ，l3qc中的中的6個線性無關的列個線性無關的列: b1, ab1, a2b1; b2, ab2; b3 b1 b2 b3 b4a0a1a2a3a4a5 1 2 3 1 3， 2 1 ， 3 22.搜索qc中的n個線性無關的列向量的“行向搜索方案行向搜索方案”rankb=rpn6，p4，r3搜索到搜索到 1 2 3 n 停止。

37、停止。 1, 2, 3 為系統的為系統的能控性指數集。能控性指數集。qc中的中的6個線性無關的列個線性無關的列: b1, ab1, a2b1; b2; b3, ab3baba2ba3ba4ba5b龍伯格能控規范形龍伯格能控規范形龍伯格能控規范形在系統極點配置綜合問題中有著廣泛的用途。龍伯格能控規范形在系統極點配置綜合問題中有著廣泛的用途。考察完全能控的n維多輸入多輸出連續時間線性時不變系統 cxybuaxx :,12babaabbqnc 能控性判別矩陣為rankb=rp采用“行向搜索方案行向搜索方案”，在qc中找出n個線性無關的列向量，并組成非奇異矩陣：r1rr212211111,;,;,21

38、baabbbaabbbaabbpr其中 1，2 ，r 為系統的能控性指數集，且 12 rntrtrttreeeepp1111111構造變換矩陣s1111111111111raeaeeaeaeestrtrtrttt 1，2 ，r 為系統的能控性指數集，且 12 rn對于完全能控的n維多輸入多輸出連續時間線性時不變系統 cxybuaxx :rankb=rp基于線性非奇異變換 ，可導出系統的龍伯格能控規范形龍伯格能控規范形xx1 srrrrnncaaaaass11111)(ariiiii, 2 , 1,*1010)(ajijiij,*0000)(a*100*10*01)(bsbpnccscnqc )

39、(無特殊形式無特殊形式r 列p - r 列例例：已知完全能控能控的連續時間線性時不變系統 uxx110002171160241試將其變換為龍伯格能控規范形龍伯格能控規范形解：1.寫出能控性判別矩陣qc8121111571100862402,2baabbqc采用“行向搜索方案行向搜索方案”，在qc中找出3個線性無關的列向量b1 b2 ab1 ab2 a2b1 a2b2b1 b2a0a1a2 1 2 12， 2 1rankb=r=p=2qc中3個線性無關的列向量為b1 ，b2 ，ab1由qc中找出的3個線性無關的列向量組成非奇異矩陣：111100402;,2111babbp135 . 001002

40、5 . 011pp135 . 01600102112121ttteaees016001221811ss 12， 2 1te12te21303627190101assca1011001bsbcuxx10110030362719010龍伯格能控規范形為：龍伯格能控規范形為：4.10 連續時間線性時不變系統的結構分解連續時間線性時不變系統的結構分解 系統按能控性分解系統按能控性分解 設不完全能控n維多輸入多數出連續時間線性時不變系統的狀態空間描述為 cxybuaxx 在qc中采用“行向搜索方案行向搜索方案”或“列向搜索方案列向搜索方案”搜索出k個線性無關列q1, q2，qk ；其次，在除qc外的n維

41、狀態空間中，任意選取n - k個線性無關列qk+1, qk+2，qn ，構成非奇異變換p-1 結構分解的實質是以明顯的形式，將不完全能控或/和不完全能觀測的系統分解為不同的四部分，其目的既可以深入了解系統的結構特征，又可以深入揭示狀態空間描述與輸入輸出描述間的關系。nkbabaabbrankrankqnc ,12能控性判別矩陣的秩nkkqqqqqp,111引入非奇異線性變換)(1xpxpxxxcyubxaxccaaapapa0121其中 ccxxx可使系統實現按能控性的結構分解：0cbpbbcccccpc1ccqrankrankq 狀態向量的非奇異線性變換，不改變系統的能控性及能控程度。經非奇

42、異變換后，系統的動態方程寫為 cccccccccccxxccyubxxaaaxx0012于是可得能控子系統動態方程為： cccccccxcyubxaxax112不能控子系統動態方程為： cccccxcyxax2ccccasiasiasiaasiasiasi012由于 輸入u的作用，只能改變能控振型位置，不能改變不能控振型位置，這對系統分析和綜合具有重要意義。 結構分解形式惟一性和結果的不惟一性。 基于結構分解式的能控性判據。 特征值為特征值為能控振型能控振型 特征值為特征值為不能控振型不能控振型caca例： 已知 111100341010121cba試按能控性進行規范分解 解： 3283100

43、04102 rankbaabbrank系統不完全能控，取 0311000101p12100110024124011cpcpbbpapa能控子系統動態方程為 ccccxyuxxx21012241401不能控子系統動態方程為 cccxyxx2011001103p系統按能觀測性分解系統按能觀測性分解 設不能觀測系統的動態方程為 cxybuaxx 其能觀測性矩陣qo=c,ca,ca2,can-1 t的秩為mn，選出其中m個線性無關行，再加任意n-m個行，構成非奇異變換f ooxxxxfxfxx）（1xcyubxax系統按能觀測性的結構分解對偶對偶于系統按能控性的結構分解。nmmhhhhf1100121

44、1oooooccfcbbfbbaaafafaoooooooooooxxcyubbxxaaaxx0021能觀測子系統動態方程為 ooooooxcyubxax1不能觀測子系統動態方程為 0221yubxaxaxoooooxcyubxax系統結構的規范分解系統結構的規范分解 系統結構的規范分解是指，對不完全能控和不完全能觀測系統，系統結構的規范分解是指，對不完全能控和不完全能觀測系統，同時按能控性和能觀測性進行結構分解同時按能控性和能觀測性進行結構分解 。但變換陣但變換陣tco的構造需要涉及較多的線性空間概念。下面介紹一種的構造需要涉及較多的線性空間概念。下面介紹一種逐逐步分解步分解的方法。的方法。

45、 (1) 先將系統按先將系統按能控能控(能觀測能觀測)性分解；性分解； (2) 將不能控的子系統按將不能控的子系統按能觀測能觀測(能控能控)性分解；性分解； (3) 將能控的子系統按將能控的子系統按能觀測能觀測(能控能控)性分解；性分解； (4) 綜合以上三次變換，綜合以上三次變換，導出導出系統同時按能控性和能觀測性進行系統同時按能控性和能觀測性進行結構分解的表達式。結構分解的表達式。 可通過非奇異變換可通過非奇異變換 ，將原系統，將原系統(a, b, c)變換為按能控性變換為按能控性和能觀測性規范分解的系統（和能觀測性規范分解的系統（aco,bco,cco）。）。xtxco 設系統（設系統（

46、a、b、c）不完全能控、不完全能觀測，可先對系統按能）不完全能控、不完全能觀測，可先對系統按能控性分解，即令控性分解，即令 ccxxpx1nkkqqqqp,111cccccccccccxxccyubxxaaaxx0012kn-k再分別對k維能控子系統、 nk維不能控子系統按能觀測性分解 occoocxxfx11ocococxxfx12fo1為k k維非奇異方陣， fo2為(n k) (n k)維非奇異為方陣。綜合以上三次變換綜合以上三次變換，系統的動態方程為 ocococcooccooccoocococcoocococcoocococcoxxxxccyubbxxxxaaaaaaaaaxxxx0

47、00000000004324232113結構分解形式惟一性和結果的不惟一性。cacacccccb12a)()()()()()(111sgbasicsgbasicbasicsg)()(1sgbasiccocococooccooccococccbbasiaasicbasic00)(1211ccccccccbasicbasiaasiccbasicsg11121)(00)()(ocococcooccooccoocococcoocococcoocococcoxxxxccyubbxxxxaaaaaaaaaxxxx000000000004324232113作為輸入輸出描述的傳遞函數矩陣g(s)只能反映系統的

48、能控能觀測部分。21a13a23a24a43acobocbocccoccoocococuy系統結構規范分解方塊圖作為輸入輸出描述的傳遞函數矩陣g(s)只能反映系統的能控能觀測部分。例：設線性時不變系統如下，試將該系統按能控性和能觀測性進行結構分解。例：設線性時不變系統如下，試將該系統按能控性和能觀測性進行結構分解。 ,011310301100uxx xy210 解解 ：1. 系統能控性判別陣系統能控性判別陣 2103111012baabbqcrankqc=2n=3 , 所以系統是所以系統是不完全能控不完全能控的。的。 ,0111q,1102q1003q取取 1100110011p其中其中q3是

49、任意是任意的，只要能保證的，只要能保證p非奇異即可。非奇異即可。2. 按能控性進行結構分解按能控性進行結構分解變換后的系統的狀態空間描述為：變換后的系統的狀態空間描述為： pbuxpapx1ux 01111001100111001100131030110011001100111ux 001100221110 xcpy1ccxx211uxxxxcccc001100221110即 顯然，不能控子空間是能觀測的，無需再進行分解。將能控子空顯然，不能控子空間是能觀測的，無需再進行分解。將能控子空間按能觀測性進行分解。間按能觀測性進行分解。 11011ffoccooccoxxxx101121101011

50、1uxc011011211011能控子系統能控子系統為為 ,01212110uxxxcccccxy11 3.對能控子系統按能觀測性進行結構分解對能控子系統按能觀測性進行結構分解1111cccocaccq顯然，能控子系統不完全能觀測能控子系統不完全能觀測21ocrankqoccocxxy1011111occoxx01即即 uxxxxxcoccoocco01211101綜合以上兩次變換結果，系統按能控性和能觀測性綜合以上兩次變換結果，系統按能控性和能觀測性分解為分解為 uxxxxxxococcoococco001100211101ococcoxxxy201654321654321654321002

51、041005013006100347531101130134014xxxxxxyxxxxxxxxxxxxu能控能觀測： x1，x2能控不能觀測： x3，x5不能控能觀測： x4不能控不能觀測： x6結構分解的另一種方法ocococcoocococcoocococcoxxxxyyxxxxxxxx02004105001300006134753110000003000010100001030000004000001421u 按此順序重新排列，可導出；4.11 最小實現最小實現ducxybuaxx:)(1sgdba)c(si 由描述系統輸入輸出動態關系的微分方程式或傳遞函數建立系統的狀態空間描述，這樣

52、的問題叫實現問題實現問題。由于狀態變量的選擇是非唯一的，因此實現也是非唯一的實現也是非唯一的。而且并非任意的微分方程式或傳遞函數都能求得其實現，實現存在的條件是nm 從工程的觀點看，在無窮多個內部不同結構的系統中，其中維數最小的一類實現就是所謂的最小實現。對于給定傳遞函數陣g(s)，若有一狀態空間描述使之成立則稱 為傳遞函數陣g(s)的一個實現。當mn時，d0當m=n時，)(limsgds標量傳遞函數的實現標量傳遞函數的實現(單輸入單輸出系統單輸入單輸出系統)上式中的d 就是下列動態方程中的直接傳遞部分ducxy,buaxx所以只需討論上式中的嚴格真有理分式部分。給定嚴格真有理函數 01110111011101110)(asasasssdsssdsdsddssgnnnnnnnnnnn01110111)(asasassssgnnnnn設給定有理函數要求尋找 a,b,c，使得)()(1sgbasic并且在所有滿足上式的a,b,c中，要求 a 的維數盡可能的小的維數盡可能的小。 當g(s)的分子和分母無非常數公因式的情況，即無零、極點對消時，系統能控能觀測能控能觀測。a、能控規范形實現、能控規范形實現11012101000100001000010nncbab、能觀規范形實現、能觀規范形實現1000100010001000