1、線性代數試題及答案。線性代數試題第一部分選擇題 (共8分)一、 單項選擇題（本大題共14小題，每小題分，共28分)在每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內。錯選或未選均無分。1.設行列式=m，=n,則行列式等于（ ) a.m+b. -(m+n） c n-md m-n設矩陣a=,則a-1等于( ） a . c. d 3.設矩陣a，a*是a的伴隨矩陣,則a *中位于(1,2）的元素是（ ） a. b. 6 c. 2d. 4設a是方陣,如有矩陣關系式abac,則必有（ ) .a =0b. bc時a=0 c. a0時=cd. a|時=c5.已知34矩陣a的行向量組線

2、性無關，則秩(t)等于( ) a. 1b. 2 c.3d. 46.設兩個向量組1,2,，s和1,2,，s均線性相關，則（ ） a.有不全為的數1,2，,s使11+22ss0和1122+ss=0 b有不全為0的數1，,，使1(+)+（2+2)+s（s+s)= c.有不全為0的數1，2，,s使1（1-)+（22)+(-s)= d.有不全為的數1，2，和不全為0的數1，2,，s使11+2+s=0和112+ss=7.設矩陣a的秩為，則a中( ） a.所有r-階子式都不為0b.所有-1階子式全為0 c.至少有一個階子式不等于0.所有r階子式都不為08設ax=b是一非齊次線性方程組，1，2是其任意2個解,

3、則下列結論錯誤的是( ） a.1+2是ax=0的一個解b.+2是ax=的一個解 c.1-2是a=的一個解d.1-2是=b的一個解9.設n階方陣a不可逆，則必有( ） a.秩()b.秩()=n- c.a=0方程組ax0只有零解1.設是一個(3）階方陣，下列陳述中正確的是（ ） a.如存在數和向量使a，則是a的屬于特征值的特征向量 b.如存在數和非零向量,使(e-a)0，則是的特征值 的2個不同的特征值可以有同一個特征向量d.如，2,是的3個互不相同的特征值，1，2,3依次是的屬于1,2，3的特征向量，則1，2,有可能線性相關11設是矩陣a的特征方程的重根，a的屬于的線性無關的特征向量的個數為k,

4、則必有（ ） a k3b12設a是正交矩陣,則下列結論錯誤的是( ） a.a|2必為1.|a必為1 c.a-ada的行(列）向量組是正交單位向量組13設a是實對稱矩陣,c是實可逆矩陣,b=cac則( ）a.a與b相似 b. a與不等價 . a與b有相同的特征值 .與b合同1.下列矩陣中是正定矩陣的為（ ） a.b c.第二部分 非選擇題（共分)二、填空題（本大題共1小題,每小題分,共20分)不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內。錯填或不填均無分。15. 1設=,=.則a2b= .17.設=（ai)33，|a|=2,ai表示|中元素aj的代數余子式(i,j=1,2,3）,則(1a1+a1

5、2a22+a13a23)2+(21a222a22aa23)2+(121+32a2a33a2)2= .1.設向量（2,-3,5)與向量(，6,a）線性相關，則a= .19.設a是34矩陣,其秩為3,若1,為非齊次線性方程組ax=的2個不同的解,則它的通解為 .20.設是m矩陣,a的秩為r(n)，則齊次線性方程組x=的一個基礎解系中含有解的個數為 .1設向量、的長度依次為和3，則向量+與-的內積(，-）= .22.設3階矩陣a的行列式|a|=,已知a有2個特征值-1和4，則另一特征值為 3.設矩陣a,已知=是它的一個特征向量,則所對應的特征值為 .4.設實二次型f(x1,x2，x3,4，x5)的秩

6、為4,正慣性指數為3，則其規(guī)范形為 三、計算題(本大題共7小題,每小題6分，共4分）2.設a=,b=.求（1)abt；（2)4|26.試計算行列式7.設矩陣a,求矩陣b使其滿足矩陣方程ab=a2b.28.給定向量組1=,2=,3=,4=試判斷4是否為，2,3的線性組合；若是，則求出組合系數。29.設矩陣a=.求：（1)秩(a）;（2）a的列向量組的一個最大線性無關組。0設矩陣a=的全部特征值為，和-8.求正交矩陣t和對角矩陣d，使-a=d.試用配方法化下列二次型為標準形 f(x,x,x3)=，并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題（本大題共小題，每小題分,共0分)3.設方陣a滿足3=0,試證明e

7、-a可逆，且（e-a）-1=e+a+a2.33.設0是非齊次線性方程組x=b的一個特解，是其導出組ax=的一個基礎解系.試證明（)0+,2=0+均是a=b的解；（2），1，2線性無關。答案:一、單項選擇題(本大題共14小題，每小題2分，共2分)1.d2.3.b4.5.c6d.c8aa10.b11.a2.b13d14.c二、填空題（本大題共10空，每空2分，共0分)15. 616. 17.418.01. +c(2-1)(或2+c(2-）,c為任意常數2.n-r21. 52.2312. 三、計算題(本大題共小題，每小題6分,共42分）25.解（1）bt=.(2）|4a|=43|64a|，而|a|=

8、.所以|4|64(2）=2826.解 =27解 aba+b即(a-2e）b=a,而(a-e)-1=所以 b(a-2e）-1a28.解一 所以4=23,組合系數為(，1，1）.解二 考慮4x11x22+x33,即 方程組有唯一解（2,1，1）t,組合系數為（2，1，1）9解 對矩陣施行初等行變換a=.(）秩（）=3,所以秩（a）=秩（b）=3.（2)由于a與b的列向量組有相同的線性關系,而b是階梯形,b的第1、2、4列是b的列向量組的一個最大線性無關組,故a的第1、2、4列是a的列向量組的一個最大線性無關組。（a的第、2、列或1、3、列，或1、5列也是）30解 a的屬于特征值1的2個線性無關的特征向量為1（2,-,0）t, 2=（,0,1).經正交標準化，得=,2=-8的一個特征向量為3=,經單位化得3所求正交矩陣為 t=.對角矩陣 d=（也可取t.）31解 f(x，x2,x3）=(x12x2-x3)2-2x22+4x3-7x32=(x12x-2x)2-2（x-3)2-5x設， 即,因其系數矩陣=可逆，故此線性變換滿秩。經此變換即得f(，x2,x3）的標準形 y2-2y2-5y32.四、證明題(本大題共2小題,每小題5分,共1分）2.證 由于(ea）(e+a+a2）=ea3=e,所以e-可逆,且（e-a）-1= e+a+2 33.證 由假設a=b,a1=0,a20.（1）a=a