1、4 4. .7 7解三角形解三角形 -2-知識梳理雙基自測23411.正弦定理和余弦定理 在abc中,若角a,b,c所對的邊分別是a,b,c,則-3-知識梳理雙基自測2341-4-知識梳理雙基自測23412.三角形中的常見結論(1)在abc中,a+b+c=.(2)在abc中,ababsin asin b.(3)任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.-5-知識梳理雙基自測2341-6-知識梳理雙基自測23414.實際問題中的常用角(1)仰角和俯角:與目標視線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角,目標視線在水平視線的角叫做仰角,目標視線在水平視線的角叫做俯角(如圖).上方 下方 -

2、7-知識梳理雙基自測2341(2)方向角:相對于某正方向的水平角,如南偏東30、北偏西45、西偏北60等.(3)方位角:指從正北方向轉到目標方向線的水平角,如b點的方位角為(如圖).(4)坡度:坡面與水平面所成的二面角的度數.順時針 2-8-知識梳理雙基自測341561.下列結論正確的打“”,錯誤的打“”.(1)在abc中,已知a,b和角b,能用正弦定理求角a;已知a,b和角c,能用余弦定理求邊c. ()(2)在三角形中,已知兩角和一邊或已知兩邊和一角都能解三角形. ()(3)在abc中,sin asin b的充分不必要條件是ab. ()(4)在abc中,a2+b2c2是abc為鈍角三角形的充

3、分不必要條件. ()(5)在abc的角a,b,c,邊長a,b,c中,已知任意三個可求其他三個. () -9-知識梳理雙基自測23415 答案解析解析關閉 答案解析關閉6-10-知識梳理雙基自測2341563.abc的內角a,b,c的對邊分別為a,b,c.已知c=60,b= ,c=3,則a=. 答案解析解析關閉 答案解析關閉-11-知識梳理雙基自測2341564.abc的內角a,b,c的對邊分別為a,b,c.已知bsin a+acos b=0,則b= . 答案解析解析關閉 答案解析關閉-12-知識梳理雙基自測234155.(教材習題改編p10t2)在abc中,acos a=bcos b,則這個三

4、角形的形狀為 .6 答案解析解析關閉 答案解析關閉-13-知識梳理雙基自測234156 答案解析解析關閉 答案解析關閉6.一船以15 km/h的速度向東航行,船在a處看到一個燈塔m在北偏東60方向,行駛4 h后,船到b處,看到這個燈塔在北偏東15方向,這時船與燈塔的距離為 km.-14-知識梳理雙基自測234156自測點評1.在一個三角形中,邊和角共有6個量,已知3個量(其中至少有一邊)就可解三角形.2.判斷三角形形狀的兩種思路:一是化邊為角;二是化角為邊,并用正弦定理(或余弦定理)實施邊、角轉換.-15-考點1考點2考點3考點4例1在abc中,角a,b,c的對邊分別是a,b,c,已知cos

5、2a= (1)求a的值;(2)若角a為銳角,求b的值及abc的面積.思考已知怎樣的條件能用正弦定理解三角形?已知怎樣的條件能用余弦定理解三角形?-16-考點1考點2考點3考點4-17-考點1考點2考點3考點42.已知兩邊b,c及其夾角a,由a2=b2+c2-2bccos a,先求出a,再求出角b,c.3.已知三邊a,b,c,由余弦定理可求出角a,b,c.-18-考點1考點2考點3考點4(2)已知abc的內角a,b,c的對邊分別為a,b,c,2cos a(ccos b +bcos c)=a.求a;c-19-考點1考點2考點3考點4(1)解析:由余弦定理得,ab2=ac2+bc2-2acbccos

6、 c-20-考點1考點2考點3考點4(2)解:由正弦定理可知,2cos a(sin bcos c+sin ccos b)=sin a,即2cos asin a=sin a.因為a(0,),所以sin a0,-21-考點1考點2考點3考點4例2在abc中,a,b,c分別為內角a,b,c的對邊,且2asin a=(2b-c) sin b+(2c-b)sin c.(1)求角a的大小;(2)若sin b+sin c= ,試判斷abc的形狀.思考判斷三角形的形狀時主要有哪些方法?-22-考點1考點2考點3考點4-23-考點1考點2考點3考點4即sin(b+30)=1.0b120,30b+30150.b+

7、30=90,即b=60.a=b=c=60,abc為等邊三角形.-24-考點1考點2考點3考點4解題心得要判斷三角形的形狀,應圍繞三角形的邊角關系進行思考.主要有以下兩條途徑:(1)“角化邊”:把已知條件(一般是邊的一次式,角的正弦、余弦)轉化為只含邊的關系,通過因式分解、配方等得到邊的對應關系,從而判斷三角形形狀.(2)“邊化角”:把已知條件(邊的二次式、兩邊的積、角的余弦)轉化為內角的三角函數間的關系,通過三角恒等變換,得出內角的關系,從而判斷三角形形狀,此時要注意a+b+c=這個結論.注意:(1)在兩種解法的等式變形中,一般兩邊不要約去公因式,以免漏解.(2)要特別注意“等腰直角三角形”與

8、“等腰三角形或直角三角形”的區別.-25-考點1考點2考點3考點4對點訓練對點訓練2在abc中,內角a,b,c所對的邊分別是a,b,c.(2)若sin c+sin(b-a)=sin 2a,試判斷abc的形狀. -26-考點1考點2考點3考點4(2)由題意得sin c+sin(b-a)=sin 2a,sin(a+b)+sin(b-a)=2sin acos a,即sin acos b+cos asin b+sin bcos a-cos bsin a=2sin acos a,所以有sin bcos a=sin acos a,當cos a=0時,a= ,abc為直角三角形;當cos a0時,sin b

9、=sin a,由正弦定理得a=b,abc為等腰三角形.-27-考點1考點2考點3考點4例3已知函數f(x)=4 sin xcos x+sin2x-3cos2x+1.(1)求函數f(x)的對稱中心及最小正周期;思考在三角形中進行三角變換要注意什么? -28-考點1考點2考點3考點4-29-考點1考點2考點3考點4acos b+bsin b=c,sin acos b+sin2b=sin c.又a+b+c=,sin acos b+sin2b=sin(a+b),即sin acos b+sin2b=sin acos b+cos asin b,得sin2b=cos asin b.b(0,),sin b0,

10、sin b=cos a.-30-考點1考點2考點3考點4解題心得1.在三角形中進行三角變換要注意隱含條件:a+b+c=,使用這個隱含條件可以減少未知數的個數.2.在解三角形問題中,因為面積公式中既有邊又有角,所以要和正弦定理、余弦定理聯系起來;要靈活運用正弦定理、余弦定理實現邊角互化,為三角變換提供了條件.-31-考點1考點2考點3考點4(1)求角a的大小; -32-考點1考點2考點3考點4-33-考點1考點2考點3考點4例4如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西方向行駛,到a處時測得公路北側一山腳c在西偏北30的方向上,行駛600 m后到達b處,測得此山腳c在西偏北75的方向上,山頂d的仰角

11、為30,則此山的高度cd= m.思考利用正弦定理、余弦定理解決實際問題的一般思路是什么?-34-考點1考點2考點3考點4-35-考點1考點2考點3考點4解題心得利用正弦定理、余弦定理解決實際問題的一般思路:(1)實際問題經抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;(2)實際問題經抽象概括后,已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形,這時需作出這些三角形,先解夠條件的三角形,再逐步求解其他三角形,有時需設出未知量,從幾個三角形中列出方程(組),解方程(組)得出所要求的解.-36-考點1考點2考點3考點4對點訓練對點訓練4如圖,為測量山高mn,選擇a和另一座山的山頂c為測量觀測點,從a點測得m點的仰角man=60,c點的仰角cab=45以及mac=75;從c點測得mca=60.已知山高bc=100 m,則山高mn= m.150 -37-考點1考點2考點3考點4解析:在rtabc中,cab=45,bc=100 m, -38-考點1考點2考點3考點41.正弦定理和余弦定理其主要作用是將已知條件中的邊、角關系轉化為角的關系或邊的關系.2.在已知關系式中,既含有邊又含有角,通常的解題思路:先將角都化成邊或將邊都化成角,再結合正弦定理、