1、第六章第六章二次曲面與二次型二次曲面與二次型小結(jié)小結(jié) 劉小琴劉小琴 電電 子子 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)二次曲面與二次曲面與 空間圖形空間圖形 空間立體的投影空間立體的投影空間曲線及投影空間曲線及投影二次曲面二次曲面 雙曲面雙曲面橢球面橢球面拋物面拋物面柱面柱面旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面球面球面二次型及正定二次型二次型及正定二次型 正定二次型及判別法正定二次型及判別法二次型的標(biāo)準(zhǔn)化二次型的標(biāo)準(zhǔn)化表示表示二次型及標(biāo)準(zhǔn)形與矩陣二次型及標(biāo)準(zhǔn)形與矩陣 劉小琴劉小琴 電電 子子 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院 雙曲拋物面雙曲拋物

2、面橢圓拋物面橢圓拋物面 雙葉雙曲面雙葉雙曲面單葉雙曲面單葉雙曲面1. 二次型及標(biāo)準(zhǔn)形與矩陣表示二次型及標(biāo)準(zhǔn)形與矩陣表示 21,1211,122322322221121122111212 22 22, )1(nnnnnnnnnnnnnnnxaxxaxaxxaxxaxaxxaxxaxaxxxf AxxxxxaaaaaaaaaxxxTnnnnnnnn 劉小琴劉小琴 電電 子子 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院 222221121, )2(nnnykykykyyyf ByyTnnnyyykkkyyy 000000),(212121. . , )3(BABABACCCBAnT記

3、為記為合同于合同于則稱則稱使得使得若存在可逆矩陣若存在可逆矩陣與與階方陣階方陣設(shè)有設(shè)有 劉小琴劉小琴 電電 子子 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院.,.為為二二次次型型的的秩秩為為負(fù)負(fù)慣慣性性指指數(shù)數(shù)為為正正慣慣性性指指數(shù)數(shù)其其中中且且次次型型的的正正負(fù)負(fù)慣慣性性指指數(shù)數(shù)可可逆逆線線性性變變換換不不改改變變二二rqprqp 2. 正定二次型及判別法正定二次型及判別法定義定義. )0( , 都有都有若若對(duì)于實(shí)二次型對(duì)于實(shí)二次型nTRxAxxf ;, 0 )1(為正定矩陣為正定矩陣為正定二次型為正定二次型則則AfAxxT ., 0 )2(為負(fù)定矩陣為負(fù)定矩陣為負(fù)定二次型為

4、負(fù)定二次型則則AfAxxT 劉小琴劉小琴 電電 子子 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院 )(判判別別法法正正定定矩矩陣陣正正定定二二次次型型設(shè)設(shè)A為為n階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣, 則下列命題等價(jià)則下列命題等價(jià): )( )1(是正定矩陣是正定矩陣即即是正定二次型是正定二次型AAxxT , )2(IAnA即即的的正正慣慣性性指指數(shù)數(shù)等等于于 , )3(PPAPT 使得使得存在可逆矩陣存在可逆矩陣 0, )4(1全全大大于于個(gè)個(gè)特特征征值值的的nnA 于零于零的所有順序主子式全大的所有順序主子式全大A )5(設(shè)設(shè)A為為n階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣, 則下列命題等價(jià)則下列命題等

5、價(jià): )( )1(是負(fù)定矩陣是負(fù)定矩陣即即是負(fù)定二次型是負(fù)定二次型AAxxT , )2(IAnA 即即的的負(fù)負(fù)慣慣性性指指數(shù)數(shù)等等于于 , )3(PPAPT 使得使得存在可逆矩陣存在可逆矩陣 0, )4(1全全小小于于個(gè)個(gè)特特征征值值的的nnA 劉小琴劉小琴 電電 子子 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院 )(判判別別法法負(fù)負(fù)定定矩矩陣陣負(fù)負(fù)定定二二次次型型)., 2 , 1( 0)1( )5(nkppAkkk 滿滿足足的的所所有有順順序序主主子子式式3. 曲面及其方程曲面及其方程 0),(: zyxF曲曲面面的的一一般般方方程程2202020)()()(:)1(Rzz

6、yyxx 球球面面(2)旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面: 0),( 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周得得繞繞面面上上的的曲曲線線yyxfxoy 0),(22 yzxf.)( :2222是特殊的旋轉(zhuǎn)曲面是特殊的旋轉(zhuǎn)曲面圓錐面圓錐面yxaz 劉小琴劉小琴 電電 子子 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院(3)柱面柱面: (方程為缺項(xiàng)的方程方程為缺項(xiàng)的方程)0),( yxF表母線平行于表母線平行于 z 軸的柱面軸的柱面; 0),( zyG表母線平行于表母線平行于 x 軸的柱面軸的柱面; 0),( xzH表母線平行于表母線平行于 y 軸的柱面軸的柱面. )0,( 1:)4(222222 cbaczbyax

7、橢橢球球面面)0( 22:22 pqzqypx橢橢圓圓拋拋物物面面)0( 22:22 pqzqypx雙曲拋物面雙曲拋物面 劉小琴劉小琴 電電 子子 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院(5)(5)拋物面拋物面單葉雙曲面單葉雙曲面: :1222222 czbyax 1222222 czbyax 1222222 czbyax雙葉雙曲面雙葉雙曲面: :1222222 czbyax 1222222 czbyax 1222222 劉小琴劉小琴 電電 子子 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院(6)(6)雙曲面雙曲面4. 空間曲線及其投影曲線方程空間曲線及其投影

8、曲線方程 0),(0),(:zyxGzyxF一一般般方方程程 )()()(:tzztyytxx參參數(shù)數(shù)方方程程0),(: yxHz得得由一般方程消由一般方程消曲線關(guān)于曲線關(guān)于 的的投影柱面投影柱面:xoy 00),(zyxH空間曲線在空間曲線在 面上的面上的投影曲線投影曲線: xoy 00),(xzyR面上的面上的投影曲線投影曲線:yoz 00),(yzxT面上的面上的投影曲線投影曲線: 劉小琴劉小琴 電電 子子 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院1. 關(guān)于曲面及投影的例題關(guān)于曲面及投影的例題., 3694. 122方方程程求求所所生生成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面的的軸軸旋

9、旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周及及軸軸分分別別繞繞坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的雙雙曲曲線線將將例例yxyxxoy 解：解：:軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)繞繞x36)(94222 zyx:軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞y369)(4222 劉小琴劉小琴 電電 子子 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院.0162 . 2222222的的柱柱面面方方程程軸軸而而且且通通過(guò)過(guò)曲曲線線軸軸及及分分別別求求母母線線平平行行于于例例 zyxzyxyx解：解： :軸的柱面軸的柱面母線平行于母線平行于x16322 zy:軸軸的的柱柱面面母母線線平平行行于于y162322 zx二、題型及方法二、題型及方法. 1. 322上上的的投投影影曲曲線線

10、方方程程面面的的交交線線在在與與平平面面求求拋拋物物面面例例xoyzyyxz 解：解： 劉小琴劉小琴 電電 子子 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院2. 將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形 .22 . 44321為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形求一正交變換化二次型求一正交變換化二次型例例xxxxf 解：解： 0100100000010010A此二次型的矩陣為此二次型的矩陣為 122zyyxz:上的投影曲線上的投影曲線面面可得在可得在消消xoyz得得由由, 0)1()1(22 AI. 1, 14321 得得代代入入把把0)(121 xAI 劉小琴劉小琴 電電 子子 科科 技技 大大 學(xué)

11、學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院 1100110000110011)(AI 0000000011000011 44432221xxxxxxxx 11000011424321xxxxxx,)0 , 0 , 1 , 1(1T T)1 , 1, 0 , 0(2 單位化得單位化得, , ,)0 , 0 ,21,21(1Tp Tp)21,21, 0 , 0(2 劉小琴劉小琴 電電 子子 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院:0)(143得得代代入入把把 xAI 1100110000110011)(AI 0000000011000011 44432221xxxxxxxx 110

12、00011424321xxxxxx,)0 , 0 , 1 , 1(3T T)1 , 1 , 0 , 0(4 劉小琴劉小琴 電電 子子 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院?jiǎn)挝换脝挝换? ,)0 , 0 ,21,21(3Tp Tp)21,21, 0 , 0(4 210210210210021021021021),( 4321ppppP令令于是正交變換為于是正交變換為 x Py ,. 24232221yyyyf 且且,401061112 )1( Af 的矩陣的矩陣二次型二次型例例5. 判別二次型的正定性：判別二次型的正定性：434241312124232221312123

13、22211262421993)2(22462)1(xxxxxxxxxxxxxxfxxxxxxxf 解：解：, 021 P61122 P, 011 . 0383 P.是是負(fù)負(fù)定定的的f3. 判別二次型的正定性判別二次型的正定性 劉小琴劉小琴 電電 子子 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院 19631690230311211 )2(A, 011 P, 0231112 P, 069020312113 P. 0244 P.是是正正定定的的 劉小琴劉小琴 電電 子子 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院例例5. 判別二次型的正定性：判別二次型的正定性：434

14、24131212423222131212322211262421993)2(22462)1(xxxxxxxxxxxxxxfxxxxxxxf 3. 判別二次型的正定性判別二次型的正定性解：解： 1000011011011 tttAf 的矩陣的矩陣二次型二次型例例6. t 為何值時(shí)為何值時(shí), 下列二次型是正定的：下列二次型是正定的：2222222)(wzxyzxyzyxtf 解：解： 01 tP0122 tP02333 ttP02334 ttP. 2 劉小琴劉小琴 電電 子子 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院.,2332,. 7222下的標(biāo)準(zhǔn)方程下的標(biāo)準(zhǔn)方程角坐標(biāo)系角坐標(biāo)

15、系并求此橢圓柱面在新直并求此橢圓柱面在新直一個(gè)橢圓柱面一個(gè)橢圓柱面的圖形是的圖形是使方程使方程的值的值確定確定例例zyxOaayzzyxa 解：解： 4. 綜合題綜合題 3030002aaA3030002 aaAI)3)(3)(2(aa 特征值為：特征值為：aa 3,3, 2 劉小琴劉小琴 電電 子子 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院從而有標(biāo)準(zhǔn)形方程，從而有標(biāo)準(zhǔn)形方程，azayax 222)3()3(2,3, 03時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) aa36222 yx(舍去舍去),3, 03時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) aa36222 zx為橢圓柱面為橢圓柱面, 3 a標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為:. 1)21

16、()23(2222 劉小琴劉小琴 電電 子子 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院azayax 222)3()3(2.1),( , 2 66255),(. 8321323121232221321表示何種曲面表示何種曲面并指出方程并指出方程特征值特征值及此二次型對(duì)應(yīng)矩陣的及此二次型對(duì)應(yīng)矩陣的求參數(shù)求參數(shù)的秩為的秩為已知二次型已知二次型例例 xxxfcxxxxxxcxxxxxxf解：解： , 3 c, 9, 4, 0321 .1942322為橢圓柱面為橢圓柱面 劉小琴劉小琴 電電 子子 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院 cA33351315此此二二次

17、次型型的的矩矩陣陣 300120351cr:2)(得得由由 AR333351315 AI)9)(4( . ,),0( 22)(),(. 92321323123221321該該正正交交變變換換及及求求形形經(jīng)經(jīng)正正交交變變換換可可化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)已已知知例例 yyxxxxxxxxxxf解：解： . 0 劉小琴劉小琴 電電 子子 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院 11111 A此此二二次次型型的的矩矩陣陣., 0, 1:321 的特征值為的特征值為由題知由題知A 01321111 2 2321)(001 A,2, 0, 1321再再單單位位化化所所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量

18、量分分別別求求出出 :便得正交變換便得正交變換 ., .10必為單位矩陣必為單位矩陣則則階正交正定矩陣階正交正定矩陣是是若若例例AnA解：解：,是正交正定矩陣是正交正定矩陣A,IAAAATT 且且. 2IA 從從而而, 0)( IAIA,)(,正正定定可可知知正正定定由由IAA .可可逆逆IA , 0 IA故故. IA 劉小琴劉小琴 電電 子子 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院2447,: ,.TPAnABABB A 、設(shè)設(shè) 為為 階階對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣 證證明明滿滿秩秩的的充充要要條條件件是是存存在在實(shí)實(shí)矩矩陣陣使使得得為為正正定定矩矩陣陣本章部分習(xí)題：本章部分習(xí)題： 劉小琴劉小琴 電電 子子 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院24412210,() , ,: B