1、第第 2 2 節(jié)節(jié) 命題及其關系、充分條件與必要條件命題及其關系、充分條件與必要條件 考試要求 1.理解命題的概念，了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關系；2.理解充分條件、必要條件與充要條件的含義. 知 識 梳 理 1.命題 用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題. 2.四種命題及其相互關系 (1)四種命題間的相互關系 (2)四種命題的真假關系 兩個命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性. 兩個命題為互逆命題或互否命題時，它們的真假性沒有關系. 3.充分條件、必要條件與充要條件

2、的概念 若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件 p是q的充分不必要條件 pq且q p p是q的必要不充分條件 p q且qp p是q的充要條件 pq p是q的既不充分也不必要條件 p q且q p 常用結論與微點提醒 1.否命題與命題的否定：否命題是既否定條件，又否定結論，而命題的否定是只否定命題的結論. 2.區(qū)別a是b的充分不必要條件(ab且b a)， 與a的充分不必要條件是b(ba且a b)兩者的不同. 3.a是b的充分不必要條件綈b是綈a的充分不必要條件. 診 斷 自 測 1.判斷下列結論正誤(在括號內打“”或“”) (1)“x22x31 是a1b的( ) a.充分不必要條件 b.必要

3、不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件 解析 若“ab1”，當a2，b1 時，不能得到“a1b”， 若“a1b”，例如當a1，b1 時，不能得到“ab1”， 故“ab1”是“a1b”的既不充分也不必要條件. 答案 d 3.(老教材選修 21p2 例 1 改編)下面有 4 個命題：集合 n n 中最小的數(shù)是 1；若a不屬于 n n，則a屬于 n n；若an n，bn n，則ab的最小值為 2；x212x的解可表示為1，1.其中真命題的個數(shù)為_. 解析 為假命題，集合 n n 中最小的數(shù)是 0；為假命題，如a12不滿足；為假命題，如a0，b1，ab1，比 2 ??；為假命題，所給集合中的

4、元素不滿足互異性. 答案 0 4.(2017北京卷)能夠說明“設a，b，c是任意實數(shù).若abc，則abc”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為_. 解析 abc，取a2，b4，c5， 則ab6a是q：2x3 的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是_. 解析 由已知，可得x|2a，a2. 答案 (，2 6.(2020青島二中檢測)直線xyk0 與圓(x1)2y22 有兩個不同交點的充要條件是_. 解析 直線xyk0 與圓(x1)2y22 有兩個不同交點等價于|10k|22，解得1k3. 答案 1k1，則a21”的否命題是“若a1，則a21” b.“若am2bm2，則a4x0成立 d.“若 si

5、n 12，則6”是真命題 (2)(2018北京卷)能說明“若f(x)f(0)對任意的x(0，2都成立，則f(x)在0，2上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是_. 解析 (1)對于選項 a，“若a1，則a21”的否命題是“若a1，則a21”，a 錯； 對于 b 項， 若“am2bm2， 則ab”的逆命題為“若ab， 則am23x，c 錯； 對于 d 項，原命題的逆否命題為“若6，則 sin 12”是真命題，故原命題是真命題. (2)根據函數(shù)單調性的概念，只要找到一個定義域為0，2的不單調函數(shù)，滿足在定義域內有唯一的最小值點，且f(x)minf(0). 答案 (1)d (2)f(x)sin x，x0，

6、2(答案不唯一 ，再如f(x)0，x0，1x，0b是 sin asin b的充要條件 d.命題“若anan120，則xa；命題q：若ma2，則mbabsin asin b. d 錯，若an遞減，則an1ananan12a， 則x0， 它是真命題時，a0.命題q的逆否命題是： 若msin x，則ma2 恒成立，它是真命題時a21，解得a0，b0，則“ab4”是“ab4”的( ) a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充分必要條件 d.既不充分也不必要條件 (2)已知條件p：x1 或xx2，則綈p是綈q的( ) a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件

7、解析 (1)當a0，b0 時，得 4ab2ab，即ab4，充分性成立；當a4，b1 時，滿足ab4，但ab54，不滿足ab4，必要性不成立，故“ab4”是“ab4”的充分不必要條件. (2)由 5x6x2，得 2x3，即q：2x3. 所以qp，pq，所以綈p綈q，綈q綈p， 所以綈p是綈q的充分不必要條件，故選 a. 答案 (1)a (2)a 規(guī)律方法 充要條件的三種判斷方法 (1)定義法：根據pq，qp進行判斷. (2)集合法：根據使p，q成立的對象的集合之間的包含關系進行判斷. (3)等價轉化法：根據一個命題與其逆否命題的等價性，把要判斷的命題轉化為其逆否命題進行判斷.這個方法特別適合以否

8、定形式給出的問題. 【訓練 2】 (1)(2019天津卷)設xr r，則“x25x0”是“|x1|1”的( ) a.充分而不必要條件 b.必要而不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件 (2)“a0”是“函數(shù)f(x)sin x1xa為奇函數(shù)”的_條件. 解析 (1)由“x25x0”可得“0 x5”；由“|x1|1”可得“0 x2”.由 0 x5/ 0 x2；但 0 x20 x5，所以“x25x0”是“|x1|10或1m2，1m10， m9，又因為s為非空集合， 所以 1m1m，解得m0， 綜上，實數(shù)m的取值范圍是9，). 規(guī)律方法 充分條件、必要條件的應用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上

9、.解題時需注意： (1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解. (2)要注意區(qū)間端點值的檢驗.尤其是利用兩個集合之間的關系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象. 【訓練 3】 (2020湖南雅禮中學月考)若關于x的不等式|x1|a成立的充分條件是 0 x4，則實數(shù)a的取值范圍是( ) a.(，1 b.(，1) c.(3，) d.3，) 解析 |x1|a1ax1a，因為不等式|x1|a成立的充分條件是 0 xb，a，b，cr r，則下列命題為真命題的是( ) a.a

10、c2bc2 b.ab1 c.acbc d.a2b2 解析 對于選項 a，ab，若c0，則ac2bc2，故 a 錯；對于選項 b，ab，若a0，b0，則abb，則acbc，故 c 正確；對于選項 d，ab，若a，b均小于 0，則a2b，則ac2bc2”，以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題共有( ) a.0 個 b.1 個 c.2 個 d.4 個 解析 原命題：若c0，則不成立，由等價命題同真同假知其逆否命題也為假；逆命題為：設a，b，cr r，若“ac2bc2，則ab”.由ac2bc2知c20，由不等式的基本性質得ab，逆命題為真，由等價命題同真同假知否命題也為真，真命題共有 2 個.

11、答案 c 6.已知命題p：x22x30；命題q：xa，且綈q的一個充分不必要條件是 綈p，則a的取值范圍是( ) a.1，) b.(，1 c.1，) d.(，3 解析 由x22x30，得x3 或x1，由綈q的一個充分不必要條件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要條件，等價于q是p的充分不必要條件.故a1. 答案 a 7.(2018浙江卷)已知平面， 直線m，n滿足m，n， 則“mn”是“m”的( ) a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件 解析 若m，n，mn，由線面平行的判定定理知m.若m，m，n，不一定推出mn，直線m與n可能異面，故“mn”是“m”的

12、充分不必要條件. 答案 a 8.下列結論錯誤的是( ) a.命題“若x23x40，則x4”的逆否命題為“若x4，則x23x40” b.“x4”是“x23x40”的充分條件 c.命題“若m0，則方程x2xm0 有實根”的逆命題為真命題 d.命題“若m2n20，則m0 且n0”的否命題是“若m2n20，則m0 或n0” 解析 c 項命題的逆命題為“若方程x2xm0 有實根，則m0”.若方程有實根，則14m0， 即m14，不能推出m0.所以不是真命題. 答案 c 二、填空題 9.(2017北京卷改編)設m m，n n為非零向量，則“存在負數(shù)，使得m mn n”是“m mn n0”的_條件. 解析 存

13、在負數(shù)，使得m mn n，則m mn nn nn n|n n|20；反之m mn n|m m|n n|cosm m，n n0cosm m，n n0m m，n n2， ，當m m，n n2， 時，m m，n n不共線.故“存在負數(shù)，使得m mn n”是“m mn nb，則a2b2”的否命題；“若xy0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題；“若x24，則2x2”的逆否命題. 其中真命題的序號是_. 解析 原命題的否命題為“若ab，則a2b2”，錯誤；原命題的逆命題為“若x，y互為相反數(shù)，則xy0”，正確；原命題的逆否命題為“若x2 或x2，則x24”，正確. 答案 11.已知不等式|xm|1 成立的充分

14、不必要條件是13x12，則m的取值范圍是_. 解析 解不等式|xm|1， 得m1x2s5d0，所以“d0”是“s4s62s5”的充要條件. 答案 c 14.(2020合肥模擬)已知偶函數(shù)f(x)在0，)上單調遞增，則對實數(shù)a，b，“a|b|”是“f(a)f(b)”的( ) a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件 解析 因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(|x|). 又yf(x)在0，)上單調遞增， 若a|b|，則f(a)f(|b|)f(b)，即充分性成立； 若f(a)f(b)，則等價為f(|a|)f(|b|)，即|a|b|， 即a|b|或a|b|”是“f(a)f(b)”的充分不必要條件. 答案 a 15.已知p：實數(shù)m滿足 3am0)，q：方程x2m1y22m1 表示焦點在y軸上的橢圓，若p是q的充