1、浙江省臺州市黃巖中學2020屆高三數學下學期4月線上考試試題（含解析）一、選擇題：本大題共10個小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（ ）a. abx|2x1b. abx|1x2c. abx|x2d. abx|x1【答案】c【解析】【分析】計算到ax|2x2，bx|x1，再計算交集并集得到答案.【詳解】ax|2x2，bx|x1，abx|1x2，abx|x2.故選：c.【點睛】本題考查了集合的交集并集計算，意在考查學生的計算能力.2.設復數z滿足(1i)z2i，則|z|（ ）a b. c. d. 2【答案】c【解析】【分析】先求出的表達

2、式，然后對其化簡，求出復數的模即可.【詳解】由題意，所以.故選：c.【點睛】本題考查復數的四則運算，考查復數的模的計算，屬于基礎題.3.已知某個幾何體的三視圖如圖，根據圖中標出的尺寸（單位：）可得這個幾何體的體積是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，代入錐體體積公式，可得答案【詳解】由三視圖可得幾何體是四棱錐，其中面面，底面是邊長為的正方形，棱錐的高是，由棱錐的體積公式得，故選：a.【點睛】本題考查三視圖、錐體的體積，考查簡單幾何體的三視圖的運用培養同學們的空間想象能力和基本的運算能力4.蒙日圓涉及的是幾何學中的一

3、個著名定理，該定理的內容為：橢圓上兩條互相垂直的切線 的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日圓，若橢圓c： (a0)的蒙日圓，a=（ ）a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】a【解析】【分析】由題意可得橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，設特殊值法，求出兩條切線的交點坐標，代入蒙日圓的方程可得的值【詳解】因為橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，找兩個特殊點分別為，則兩條切線分別是，這兩條切線相互垂直，且兩條直線的交點為，而在蒙日圓上，所以，解得.故選：a【點睛】本小題主要考查利用給定的定理進行計算，考查橢圓的切線方程，屬于基礎題.5.某函

4、數的部分圖像如下圖，則下列函數中可作為該函數的解析式的是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】利用函數值恒大于等于，排除選項a、b、d，則答案可得.【詳解】當時，函數值恒大于等于，而a選項中，當時，故排除a；當時，函數值恒大于等于，而b選項中，當時，故排除b；當時，函數值恒大于等于，而d選項中，當時，故排除d；因此，c選項正確；故選：c.【點睛】本題考查由函數圖象判斷函數的解析式，考查運算求解能力、數形結合思想，體現了數學運算的核心素養，破解此類問題的技巧：一是活用性質，常利用函數的單調性與奇偶性來排除不適合的選項；二是利用特殊點排除不適合的選項，從而得出合適的選項.本題屬于

5、中等題.6.設0p1，隨機變量的分布列是則當p在(0，1)內逐漸增大時（ ）a. d()增大b. d()減小c. d()先增大后減小d. d()先減小后增大【答案】a【解析】【分析】由隨機變量的分布列的性質求出e（），d()，由此能求出當p在（0，1）內增大時，d()的單調性，由此可得答案【詳解】0p0）代入雙曲線，可得：a2y2-2pb2y+a2b2=0，利用根與系數的關系、拋物線的定義及其性質即可求得雙曲線的漸近線方程【詳解】拋物線表示焦點在y軸正半軸的拋物線，焦點坐標為，把代入雙曲線，可得：，設a，b兩點坐標分別為，該曲線的漸近線方程為：.故答案：；.【點睛】本題考查圓錐曲線的綜合應用，

6、包括拋物線的圖象及性質、雙曲線的圖象及性質，解題的關鍵是利用拋物線焦半徑公式的應用將題目條件進行轉化，屬于中等題.16.已知等比數列滿足則的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】設公比為q，根據，可得，由此可得q的取值范圍，再利用a4=a3q，即可得出【詳解】設公比為q，a1(0,1),a2(1,2),a3(3,4)，：，由得，由得，得或，由可得：，a4=a3q，.故答案為：.【點睛】本題考查等比數列的通項公式，根據通項公式可得公比q的取值范圍，因此可得結果，屬于基礎題.17.已知，若恒成立，則正實數c的最小值是_.【答案】【解析】【分析】根據已知，去掉中的絕對值符號可得，利用均值不等式可確定

7、其范圍，根據恒成立，可得出c的范圍.【詳解】已知，所以，令f(a)=，,當a+2=1，即a=-1時等號成立，又f(1)=，所以，恒成立，正實數c的最小值是，故答案為：.【點睛】本題考查不等式的綜合應用，涉及絕對值不等式及均值不等式的應用，考查分類討論及轉化思想的應用，屬于中等題.三、解答題（本大題共5小題，共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）18.已知abc中，ab：ac=，bc=2，求abc面積的最大值.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理表示出cosc，利用同角三角函數間的基本關系求出sinc的值，再利用三角形的面積公式表示出三角形abc的面積，根據二次函數基本性質代入即可

8、求出三角形abc面積的最大值【詳解】令ab=c，ac=b，bc=a=2，由可得，,當時,abc面積取最大值,此時最大值為.【點睛】本題考查余弦定理、三角形面積公式、同角三角函數基本關系的運用，屬于中等題.19.如圖，在三棱錐p-abc中pa平面abc，acbc，d為pc中點，e為ad中點，pa=ac=2，bc=1.（1）求證：ad平面pbc；（2）求pe與平面abd所成角的正弦值；（3）設點f在線段pb上，且，ef平面abc，求實數的值.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）推導出pabc，acbc，從而bc平面pac，進而bcad，再推出adpc，由此能證明ad平面p

9、bc（2）推導出pa平面abc，以c為原點，分別以ca、cb、ap的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用向量法求出pe與平面abd所成角的正弦值（3）求出，由ef平面abc，平面abc的一個法向量，利用向量法能求出的值【詳解】(1)pa平面abc,bc平面abc,pabc,acbc，paac=a，bc平面pac，ad平面pac，bcad，在pac中，pa=ac，d為pc的中點，adpc，bcpc=c，ad平面pbc.(2)依題意，pa平面abc，如圖，以c為原點，分別以ca、cb、ap的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系，依題意得a(2,0,0),b(0,1

10、,0),c(0,0,0),d(1,0,1),，設平面abd的法向量，則,取x=1,得，設pe與平面abd所成角為，則.(3)，,，ef平面abc,平面abc的一個法向量，,解得.【點睛】本題考查直線與平面所成的角，直線與平面垂直的判定，屬于中等題.20.在正項數列中，.求證：（1）；（2）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據題意，可證明，可得再利用作差法可得，從而可得結論；(2)由（1）中，可得，利用累積法可得，根據等比數列求和、等差數列求和及放縮法可得結論.【詳解】證明：(1)，因為所以，所以，故與同號，又故，故，即，又.所以成立(2)由，可得，可得，又，綜

11、上，.【點睛】本題是數列與不等式的綜合問題，考點有數列遞推式、等差等比數列求和公式、不等式性質、放縮法證明等，考查綜合分析能力與轉化與化歸能力，屬于較難題.21.如圖，p是拋物線上一點，直線l過點p且與拋物線c交于另一點q.（1）若直線l與過點p的切線垂直，求線段pq中點m的軌跡方程；（2）若直線l不過原點且與x軸交于點s，與y軸交于點t，試求的取值范圍.【答案】（1）(x0)；（2）(2,+).【解析】【分析】（1）設p(x1,y1)，q(x2,y2)，m（x0,y0），欲求點m的軌跡方程，即尋找其坐標的關系，可通過另外兩點p，q與中點m的關系結合中點坐標公式求解；（2）欲求的取值范圍，可轉

12、化為將其表示成某變量的表達式，設直線l:y=kx+b，依題意k0，b0，分別過p、q作ppx軸，qqx軸，垂足分別為p、q，則，然后再利用韋達定理及均值不等式求此表達式的最值問題【詳解】(1)設p(x1,y1)，q(x2,y2)，m(x0,y0)，依題意x10，y10，y20.由，得y=x.過點p的切線的斜率k=x1，直線l的斜率，直線l的方程為，聯立消去y，得.m是pq的中點，消去x1，得，pq中點m的軌跡方程為(x0).(2)設直線l:y=kx+b，依題意k0，b0，則t(0,b).分別過p、q作ppx軸，qqx軸，垂足分別為p、q，則.由，y=kx+b消去x，得y22(k2+b)y+b2

13、=0.則y1+y2=2(k2+b)，y1y2=b2.y1、y2可取一切不相等的正數，的取值范圍是(2,+).【點睛】本題考查軌跡方程，中點坐標公式，直線與圓錐曲線的綜合問題，解題的關鍵是將問題的轉化再結合韋達定理即可，屬于難題.22.已知函數，其中.（1）當時，若直線是曲線切線，求的最大值；（2）設，函數有兩個不同的零點，求的最大整數值.（參考數據）【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）利用導數的幾何意義可得，因此，利用導數研究其單調性，即可求出 的最大值，即求出的最大值.（2）根據題意，關于的方程有兩個不同的解，設利用導數得到存在使得.則要使得關于的方程有兩個不同的解，則，當時，設經驗證 有兩個不同的零點，即可證明.【詳解】解：（1）設直線與曲線相切于點，.又因為點在切線上，所以.所以 .因此設，則 令得，；令得，.在上單調遞增，在上單調遞減.的最大值為.則的最大值為.（2）函數有兩個不同的零點,等價于方程有兩個不相等的實根.設，則等價于方程有兩個不同的解，即關于的方程有兩個不同的解，設,則.設