1、 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數學習要點學習要點熟練掌握高階導數公式熟練掌握高階導數公式 熟練掌握柯西積分公式熟練掌握柯西積分公式第三章第三章 復變函數的積分復變函數的積分3.2 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數一、柯西積分公式一、柯西積分公式1. 問題的提出問題的提出000( ):|(0)( )f zCzzrrf zC 設設在在以以圓圓為為邊邊界界的的閉閉圓圓盤盤上上解解析析，沿沿 的的積積分分為為零零。考考慮慮積積分分0( )Cf zIdzzz 0( )2)0;f zIzz 在在上上述述閉閉圓圓盤盤上上不不解解析析， 的的值值不不一一定定為為 1) 被積函數在

2、被積函數在C上連續，積分上連續，積分I必然存在；必然存在； 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數因此，因此，I的值只與的值只與f(z)在在z0點附近的值有關。點附近的值有關。根據閉路變形原理知根據閉路變形原理知, 得得( )12.f zIi 例例如如：時時，00( )( )CCf zf zdzdzzzzz 00 , : ,zCzz 作作以以為為中中心心 半半徑徑為為很很小小的的 的的正正向向圓圓周周現在考慮現在考慮f(z)為一般解析函數的情況。為一般解析函數的情況。 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數 ( ) ,f z由由的的連連續續性性0 ( ) , Cf zz 在在上

3、上函函數數的的值值將將隨隨著著 的的縮縮小小而而逐逐漸漸接接近近于于它它在在圓圓心心處處的的值值000()( )d d .()CCf zf zzzzzzz 將將接接近近于于縮縮小小00()dCf zzzz 0001()d2().Cf zzif zzz 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數2. 柯西公式柯西公式( )DCf zDCDDz設設 是是以以有有限限條條簡簡單單閉閉曲曲線線 為為邊邊界界的的有有界界區區域域, , 設設在在 及及 所所組組成成的的閉閉區區域域 上上解解析析，那那么么在在 內內任任一一點點 ，有有1( )( )2Cff zdiz 定理定理1 (柯西公式柯西公式)

4、C是是D的正向邊界，我們稱它為柯西公式。的正向邊界，我們稱它為柯西公式。 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數DC( ),( ),fzDFzDz 設設顯顯然然函函數數在在滿滿足足的的點點 處處解解析析。.rrDCD在在 上上，挖挖去去以以為為邊邊界界的的圓圓盤盤，余余下下的的點點集集是是一一個個閉閉區區域域證明：證明：,rzDrC以以 為為心心，作作一一個個包包含含在在 內內的的圓圓盤盤，設設其其半半徑徑為為 ，邊邊界界為為圓圓方方向向為為逆逆時時針針。zrC( ) rfDz 在在上上，解解析析，所所以以有有 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數( )( )rCCffddz

5、z ( )2rCff zdif zz rrCCfff zf zddzz ( )rrCCff zf zddzz ( )1rrCCff zdf zdzz 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數 ( ) ,fz 因因為為在在 連連續續0,( )0, ,( )( )zff z 所所以以當當時時 有有成成立立. . rCff z 故故在在圓圓周周上上，亦亦有有 22rrCCff zff zddzzrr 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數 0lim0rrCff zdz 于于是是有有 2rCfdif zz 從從而而得得到到 1 2Cfdf zzDiz 即即證畢證畢 哈爾濱工程大學哈爾濱工

6、程大學 復變函數復變函數2、公式給出了解析函數的一個積分表達式、公式給出了解析函數的一個積分表達式.3、公式提供了計算某些復變函數沿閉路積分的一種方法、公式提供了計算某些復變函數沿閉路積分的一種方法注解注解(這是解析函數的又一特征這是解析函數的又一特征)1、對于有界閉區域上的解析函數，它在區域內任一點所取的值可以用它在邊界、對于有界閉區域上的解析函數，它在區域內任一點所取的值可以用它在邊界上的值表示出來。上的值表示出來。1( )( )2Cff zdiz 001( )()2Cf zf zdzizz 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數412)d .123zzzzz 21213) d .

7、(1)z izz z 例例1 求下列積分求下列積分41sin1)d2zzziz 2sin4 d , :1111) 1; 2) 1; 3) 2.22CzzCzzzz 計計算算積積分分其其中中例例2 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數41sin1)d ;2zzziz ( )sin , f zz 因因為為在在復復平平面面內內解解析析0 4 ,zz 位位于于內內例例1 求下列積分求下列積分解解041sin1d2sin22zzzzizizi 0; 由柯西積分公式由柯西積分公式 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數412)d .123zzzzz 441dd123zzzzzzz1 32

8、122 2ii 7.2i 21213) d .(1)z izz z 21(1)z z 1()()z zizi1()z zizi )(zf 0,zi 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數1 ( ) , 2f zzi因因為為在在內內解解析析2112211()dd(1)z iz iz zizzz zzi 12()z iiz zi 2122ii . i 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數解解2112sin41)d1zzzz 112sin41d1zzzzz 1sin421zziz 2;2i 2sin4 d , :1111) 1; 2) 1; 3) 2.22CzzCzzzz 計計算算

9、積積分分其其中中例例2 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數2111122sin4sin142)dd11zzzzzzzzz 1sin421zziz 2;2i 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數22sin43)d1zzzz 由閉路復合定理由閉路復合定理, 得得22sin4d1zzzz 2112sin4d1zzzz 2112sin4d1zzzz 2222ii2. i 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數( )( )( )f zDDCf zCf zD設設在在閉閉區區域域 內內解解析析， 的的邊邊界界 是是由由光光滑滑或或分分段段光光滑滑曲曲線線所所組組成成若若在在上上

10、恒恒為為常常數數，證證明明在在 上上恒恒為為常常數數. .( )( ),( )( )( )( )f zg zDCDDf zg zCf zg zC 設設與與在在區區域域 內內解解析析， 為為 內內的的任任意意一一條條簡簡單單閉閉曲曲線線，它它的的內內部部全全含含于于如如果果在在 上上所所有有點點成成立立，試試證證在在 內內所所有有點點處處成成立立。例例3 例例4 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數232. d .(1)zzezz z 練習練習計算下列積分計算下列積分2-2 1cos1. d .4zzzz 1(2)i ee 2cos2i 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數定

11、理定理2 ( ) , .Cf zDzD其其中中為為在在函函數數的的解解析析區區域域內內圍圍繞繞的的任任何何一一條條正正向向簡簡單單閉閉曲曲線線 而而且且它它的的內內部部全全含含于于二、高階導數公式二、高階導數公式 ( ) , f z解解析析函函數數的的導導數數仍仍為為解解析析函函數數 :n它它的的階階導導數數為為( )1( )( )d(1,2,)2(!)nnCffzinnz 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數根據導數的定義根據導數的定義,要證明要證明從柯西積分公式得從柯西積分公式得1( )( )d ,2Cff ziz 1( )()d ,2Cff zzizz 證明：證明： , zD設

12、設 為為內內任任一一點點 1 ,n 先先證證的的情情況況 201lim2zCf zzf zfdziz 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數 12Cffdizzzzz 22Cfzdizzz 212Cf zzf zfdziz ?0 ( ) , 0, ( ),f zCMf zM 故故在在上上有有界界 于于是是使使得得 ( ) ,f zCC因因為為在在上上解解析析 所所以以在在上上連連續續 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數 ,dzC設設為為從從 到到曲曲線線上上各各點點的的最最短短距距離離zDCd1 , ,2zzd 并并取取適適當當地地小小 滿滿足足11 ,zdzd 則則zzz

13、z ,2d 12,zzd 232CfzMLdzidzzz 0(0)z .LC這這里里為為的的長長度度 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數21( )( )d ,2()Cffzziz 于于是是再利用以上方法求極限再利用以上方法求極限0()( )limzfzzfzz 32!( ) ( )d .2()Cffziz 可可得得( )1!( )( )d .2()nnCnffzziz 證畢證畢至此我們證明了一個解析函數的導數仍然是解析函數至此我們證明了一個解析函數的導數仍然是解析函數.依次類推依次類推, 利用數學歸納法利用數學歸納法可證可證 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數1d .(

14、 )znzeznz 求求積積分分為為整整數數522, : 1. cos1)d ;2)d .(1)(1)zCCCzrzezzzz 計計算算下下列列積積分分 其其中中為為正正向向圓圓周周例例5例例6高階導數公式提供了計算某些復變函數高階導數公式提供了計算某些復變函數沿閉路積分的一種方法沿閉路積分的一種方法.( )1( )( )d2()!nnCffzzizn 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數解解5cos1) 1 , (1)zCzz 函函數數在在內內處處不不解解析析cos ,zC 但但在在內內處處處處解解析析 根根據據高高階階導導數數公公式式522, : 1. cos1)d ;2)d .

15、(1)(1)zCCCzrzezzzz 計計算算下下列列積積分分 其其中中為為正正向向圓圓周周例例55cosd(1)Czzz 1)4()(cos)!15(2 zzi5;12i 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數222) , (1)zeCziz 函函數數在在內內的的處處不不解解析析1C2Cxyo iCi 1 ,CiC在在內內以以為為中中心心作作一一個個正正向向圓圓周周2 ,iC 以以為為中中心心作作一一個個正正向向圓圓周周1222 ,(1), zeC C Cz 則則函函數數在在由由圍圍成成的的區區域域內內解解析析根據復合閉路定理根據復合閉路定理12222222ddd(1)(1)(1)z

16、zzCCCeeezzzzzz 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數122d(1)zCezz 122()d()zCezizzi 22(21)! ()zz iiezi (1),2ii e 1C2Cxyo iCi 212222()dd(1)()zzCCeezizzzzi (1),2ii e 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數22 (1)(1) d(1)22ziiCei ei ezz 于于是是(1)()2iii eie 2(1) (cos1sin1)2i 2sin 1.4i 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數解解(1)0,n 1 , znezz 在在上上解解析析由柯西

17、定理得由柯西定理得1d0;znzezz (2)1,n 由柯西積分公式得由柯西積分公式得1dznzezz 02()zzie 2; i 1d .( )znzeznz 求求積積分分為為整整數數例例6 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數(3)1,n ( )010!( ) ()d2()nnCnf zfzzizz 根根據據公公式式1dznzezz (1)02()(1)!znzien 2.(1)!in 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數 00|( )max( )z zf zzCzCMf z 若若函函數數在在以以 為為圓圓心心， 為為半半徑徑的的圓圓周周上上及及其其內內部部解解析析，如

18、如果果對對，有有，則則 0( ) 1,2,3,!nnfzMnn 三、一些結論三、一些結論1. 柯西不等式柯西不等式柯西不等式柯西不等式注：解析函數的導數模的估計與區域的大小注：解析函數的導數模的估計與區域的大小 有關；有關； 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數( ),( )0( ).Cf zDDCf z dzf zD 若若在在區區域域 內內連連續續，且且對對于于 內內的的任任一一條條簡簡單單閉閉合合曲曲線線有有那那么么在在 內內解解析析2. 劉維爾定理劉維爾定理 有界整函數一定恒為常數有界整函數一定恒為常數.3. 莫勒拉定理莫勒拉定理整函數：在整個復平面解析的函數整函數：在整個復平面解析的函數 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數復變函數2. 劉維爾定理劉維爾定理 有界整函數一定恒為常數有界整函數一定恒為常數.證明：證明：( )(0,),C,|( )|.f zMzf zM 是是有有界界整整函函數數，即即使使得得00( ) |-|C,(0,),f zzz zz 在在上上解解析析，這這里里，由柯西不等式由柯西不等式| ( )|Mfz 0 00C