1、例6.1 求微分方程 的通解. 解： 對所給方程兩端依次積分三次，可得 ,1Cexx21CCxdxexyx,22CCxexx32222CxCxCdxexyx2,313221CCCxCxCexx其中C1,C2,C3為任意常數.第1頁/共18頁例6.2 求微分方程 滿足下列初值條件的解. xy2 sec解： 將所給方程積分一次，可得 1tanCxy其中C1為任意常數.14,22ln4yy14y由 得C1=0, 從而.tanxy 再積分一次，得 2coslnCxy其中C2為任意常數.22ln4y由 得C2=0, 于是所求特解為.coslnxy第2頁/共18頁例例. .cos2xeyx 求解解: 12

2、cosCxdxeyx 12sin21Cxexxey241xey2811121CC此處xsin21xC32CxCxcos21CxC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第3頁/共18頁),(yxfy 型的微分方程 設, )(xpy 原方程化為一階方程設其通解為則得),(1Cxy再一次積分, 得原方程的通解21d),(CxCxy二、二、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第4頁/共18頁例6.3 求方程 滿足下列初值條件的解. 122 xxyy解： 令 ,py 帶入所給方程得 30, 10yy用分離變量法解得,122xxpp121xCy其中C1為任意常數.由 得C1=3, 從而其中C2為任意常數.

3、10 y由 得C2=1, 故所求特解為. 133xxy第5頁/共18頁例6.4 魚雷攻擊問題. 某敵艦在某海域內沿正北方向航行時，我方戰艦位于敵艦的正西方向1海里處，我艦發現敵艦后立刻發射魚雷. 敵艦以常速度v逃逸，魚雷始終指向敵艦，追擊速度為敵艦速度的2倍. 問敵艦逃出多遠時將被擊毀？ 解：以我艦的初始位置為坐標原點(0,0),敵艦的初始位置 . 00, 00yy為點A(1,0)，建立直角坐標系，如圖, yxp,0 , 1AvtQ , 1oxy設魚雷的軌跡方程為y=y(x)，則其滿足初始條件 在時刻t魚雷的位置是P(x,y)，敵艦的位置是Q(1,vt). 依題意，點Q應位于軌跡y(x)過點P

4、的切線上. 該切線的方程為 .1xyyvt而魚雷在t時刻已走過的距離為 .1202xdxyvt第6頁/共18頁上述兩個方程聯立消去vt得 .11202xdxyyxy兩端關于x求導得 . 10 ,1122 xyyx這是魚雷運動軌跡所滿足的微分方程. 此方程不顯含y,令 ,py 代入上述方程得. 10 ,1122xppx分離變量后積分并利用初始條件 有 , 000 yp.11212xpp.11112122xpppp上述兩式相減并將p=y代入，得到 .11212121xxy第7頁/共18頁.11212121xxy兩端積分，并利用初始條件 有 , 00 y.3211312123xxy這就是魚雷追擊敵艦

5、的運動軌跡方程. 因當魚雷擊中敵艦時，其橫坐標x=1,代入上述方程得縱坐標y=2/3, 即敵艦逃至距離點A(1,0)正北2/3海里處時將被魚雷擊毀.第8頁/共18頁例例. 求解求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解: ),(xpy 設,py 則代入方程得pxpx2)1(2分離變量)1(d2d2xxxpp積分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy兩端再積分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第9頁/共18頁對于 1,nnyxfy型方程(n2)，可以令py

6、n1.,pxfp 得如果能求出其通解,1Cxp,11Cxyn逐次積分n-1次，就可得到原方程的通解,332211nnnnCxCxCdxCxy其中C1,C2.,Cn為任意常數.第10頁/共18頁三、三、),(yyfy 型的微分方程 令),(ypy xpydd 則xyypddddyppdd故方程化為),(ddpyfypp設其通解為),(1Cyp即得),(1Cyy分離變量后積分, 得原方程的通解21),(dCxCyy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第11頁/共18頁例例6.5 求求解解.02 yyy代入方程得兩端積分得,1yCp 即yCy1(一階線性齊次方程)故所求通解為xCeCy12解:),(

7、ypy 設xpydd 則xyypddddyppdd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第12頁/共18頁例例6.6 繩索僅受重力作用而下垂,解: 取坐標系如圖.考察最低點 A 到sg( : 密度, s :弧長)弧段重力大小按靜力平衡條件, 有,cosHTsa1tan)(gHa其中sgTsinyxyxd102a1故有設有一均勻, 柔軟的繩索, 兩端固定, 問該繩索的平衡狀態是怎樣的曲線 ? 任意點M ( x, y ) 弧段的受力情況: A 點受水平張力 HM 點受切向張力T兩式相除得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 sgoyxTHA第13頁/共18頁sgoyxHA211yya , aOA 設則

8、得定解問題: ,ddxpy 則原方程化為pdxad1兩端積分得,1ln12Cppax0 0 xy由, 01C得則有axysh兩端積分得,ch2Cayax, 0ayx由故所求繩索的形狀為懸 鏈 線a21p機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第14頁/共18頁例6.7 求 的通解. xyey 解： 此方程無法解出 y可引入參數t，令則, ty , text,1 dtetdxydyt其中C1,C2為任意常數.dtetyt1.21112Ctett,121112dteCtetdxydytt兩端再積分可得參數形式的解為,612432,213122CtCteCtetytexttt第15頁/共18頁例例. 解初值問解初值問題題解: 令02 yey,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 則代入方程得yeppydd2積分得1221221Cepy利用初始條件, 0100 xyyp, 01C得根據yepxydd積分得,2Cxey, 00 x