1、第十二章第十二章 無窮級數無窮級數1 常數項級數的概念及其性質常數項級數的概念及其性質一、基本概念一、基本概念定義定義給了數列給了數列,.,.,321nuuuu將它們依次用加號連接起來而得的表達式將它們依次用加號連接起來而得的表達式.321 nuuuu稱為常數項無窮級數，稱為常數項無窮級數， 簡稱常數項級數，簡稱常數項級數，或級數，或級數， 記為記為 1nnu，即，即 1nnu .321 nuuuu 1nnu .321 nuuuu給了級數給了級數設設n為任一正整數，為任一正整數，1u 1s1u 2u 2s1u 2u 3s 3u.nuuuu .321 ns定義定義為級數為級數 1nnu的前的前n

2、項部分和。項部分和。nuuuu . 321 ns.ns部分和數列部分和數列定義定義 若級數若級數 1nnu的部分和數列的部分和數列ns的極限存在，的極限存在， 極限值記為極限值記為s，即即ssnn lim則稱級數則稱級數 1nnu是收斂的，是收斂的， 并稱極限值并稱極限值s為級數為級數 1nnu的和，的和，記為記為 1nnu s若若ns的極限不存在，的極限不存在， 則稱級數則稱級數 1nnu是發散的。是發散的。.例例1 討論等比級數（又稱幾何級數）討論等比級數（又稱幾何級數） 0nnaq .2 naqaqaqa的收斂性。的收斂性。) , 0 (為常數其中qa 解解級數級數 0nnaq的前的前n

3、項部分和項部分和ns 12. naqaqaqa qqan 1)1(1 q， na1 q，討論討論:時1| )1( q nnslim nlimqqan 1)1( qa 1 0nnaq收斂，收斂，且其和為且其和為qa 1時1| )2( q nnslim nlimqqan 1)1( 0nnaq發散。發散。 nlim) 11 (nqqaqa 時時1| )3( q nnslim nlimna 0nnaq發散。發散。 , 1 ) ( qi, 1 ) ( qii nnslim2)1(1 na nlim不存在不存在由由(1)(2)(3)得：得： 0nnaq 收斂，收斂，時1| q發散，發散，時1| q且和為且

4、和為qa 1，證證級數級數 1nn的前的前n項部分和項部分和ns n .321 2)1(nn nnslim nlim 發散。發散。2)1(nn 例例2 證明級數證明級數 1nn .321 n是發散的。是發散的。 1nn解解ns nnslim nlim 1例例3 判定級數判定級數 1)1(1 nnn的收斂性。的收斂性。 )1(1.431321211 nn )211( )3121( )4131( )111(. nn 111 n)111( n收斂。收斂。 1)1(1 nnn證證例例4 證明調和級數證明調和級數 11 nn是發散的。是發散的。（反證）（反證） 假設假設 11 nn是收斂的。是收斂的。設

5、它的部分和為設它的部分和為ns則則nns lim存在，存在，記極限值為記極限值為ssnn lims，即，即ssnn 2lim )(lim2nnssnnnnssn limlim2 s s 0,即即 )(lim2nnssn0(*)另一方面，另一方面， )21.111.31211(nnn )1.31211(n nn21.11 nn21.21 nssn 2 21)(lim2nnssn 0項項 n這與這與(*)式矛盾！式矛盾！ 11 nn是發散的。是發散的。二、級數的基本性質二、級數的基本性質1、 若若 1nnu收斂，收斂，設其和為設其和為s，則，則 1nnku也收斂，也收斂， 且其和為且其和為ks.)

6、( 為為常常數數k2、 若若 1nnu收斂，收斂，其和為其和為s則則 1nnv收斂，收斂，其和為其和為 1)(nnnvu(1)收斂，收斂， 且其和為且其和為 s 1)(nnnvu(2)收斂，收斂， 且其和為且其和為 s3、 在級數的前面或中間在級數的前面或中間,去掉、添加或改變去掉、添加或改變有限項，有限項，所得級數與原級數的收斂性相同。所得級數與原級數的收斂性相同。注意：注意： 和變了和變了（）4、 若一個級數收斂，若一個級數收斂，則對其項任意加括號后則對其項任意加括號后所得級數也收斂，所得級數也收斂，且其和不變。且其和不變。注意：注意： 反之不然反之不然（）反例：反例： 0)1(nn 0)

7、1(nn ns 為偶數為偶數為奇數為奇數nn , 0 , 1nns lim不存在不存在 0)1(nn發散發散即即 0)1(nn . 11 11 . 11 11 () () . 0 0 收斂收斂但但 0)1(nn . 11 11 發散發散的部分和的部分和加括號加括號性質性質4 的逆否命題：的逆否命題：若一個級數加括號后所得級數發散，若一個級數加括號后所得級數發散，則原級數也發散。則原級數也發散。說明：說明：可利用這個命題，來判斷一個級數是發散的。可利用這個命題，來判斷一個級數是發散的。三、三、級數收斂的必要條件級數收斂的必要條件定義定義設設 1nnu收斂，收斂，其和為其和為s，設它的前設它的前n項部分和為項部分和為ns， 稱稱nss 為為 1nnu的余項，的余項，記為記為nr，即即nnssr .21 nnuu定理定理若若 1nnu收斂，收斂，則則0lim nnu證證設設 1nnu的部分和為的部分和為ns 1nnu收斂收斂nns lims nu).(121nnuuuu ).(121 nuuu ns 1 ns nnulim ns nlim1 ns nlim s s0 注意注意