1、專題能力訓練11等差數列與等比數列專題能力訓練第28頁一、能力突破訓練1.在等差數列an中,a4+a10+a16=30,則a18-2a14的值為()a.20b.-20c.10d.-10答案:d解析:因為a4+a10+a16=30,所以3a10=30,即a10=10,所以a18-2a14=-a10=-10.故選d.2.已知數列an為等比數列,且a8a9a10=-a132=-1 000,則a10a12=()a.100b.-100c.10010d.-10010答案:c解析:an為等比數列,a8a9a10=-a132=a93=-1000,a9=-10,a132=1000.又a10a12=a102q20

2、,a10a12=|a9a13|=10010.3.(2019全國,理5)已知各項均為正數的等比數列an的前4項和為15,且a5=3a3+4a1,則a3=()a.16b.8c.4d.2答案:c解析:設等比數列an的公比為q(q0),則a1(1-q4)1-q=15,a1q4=3a1q2+4a1,解得a1=1,q=2,所以a3=a1q2=122=4.故選c.4.已知an是等差數列,公差d不為零,前n項和是sn.若a3,a4,a8成等比數列,則()a.a1d0,ds40b.a1d0,ds40,ds40d.a1d0答案:b解析:設an的首項為a1,公差為d,則a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1

3、+7d.a3,a4,a8成等比數列,(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.d0,a1d=-53d20,且a1=-53d.ds4=4d(a1+a4)2=2d(2a1+3d)=-23d20,a80,所以a3a8a3+a822=822=16,當且僅當a3=a8=4時取等號.7.中國古代數學專著九章算術中有這樣一題:今有男子善走,日增等里,九日走1 260里,第一日、第四日、第七日所走之和為390里,則該男子第三日走的里數為(注:里是我國古代計量單位,1里=500米).答案:120解析:男子每天走的里數構成等差數列,設為an,其公差為d,前n項和為sn.根據題意可知,

4、s9=1260,a1+a4+a7=390,(方法一)s9=9(a1+a9)2=9a5=1260,a5=140.又a1+a4+a7=3a4=390,a4=130,d=a5-a4=10,a3=a4-d=120.(方法二)由題意,得s9=1260,a1+a4+a7=390,9a1+982d=1260,a1+a1+3d+a1+6d=390,解得a1=100,d=10,所以a3=a1+2d=120.8.設x,y,z是實數,若9x,12y,15z成等比數列,且1x,1y,1z成等差數列,則xz+zx=.答案:3415解析:由題意知(12y)2=9x15z,2y=1x+1z,解得xz=122915y2=16

5、15y2,x+z=3215y,從而xz+zx=x2+z2xz=(x+z)2-2xzxz=(x+z)2xz-2=32152y21615y2-2=3415.9.已知sn為數列an的前n項和,且a2+s2=31,an+1=3an-2n(nn*).(1)求證:an-2n為等比數列;(2)求數列an的前n項和sn.答案：(1)證明由an+1=3an-2n可得an+1-2n+1=3an-2n-2n+1=3an-32n=3(an-2n).又a2=3a1-2,則s2=a1+a2=4a1-2,得a2+s2=7a1-4=31,得a1=5,則a1-21=30.故an-2n為等比數列.(2)解由(1)可知an-2n=

6、3n-1(a1-2)=3n,an=2n+3n,sn=2(1-2n)1-2+3(1-3n)1-3=2n+1+3n+12-72.10.(2020全國,理17)設an是公比不為1的等比數列,a1為a2,a3的等差中項.(1)求an的公比;(2)若a1=1,求數列nan的前n項和.解:(1)設an的公比為q,由題設得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.故an的公比為-2.(2)記sn為nan的前n項和.由(1)及題設可得,an=(-2)n-1.所以sn=1+2(-2)+n(-2)n-1,-2sn=-2+2(-2)2+(n-1)(-2)n-

7、1+n(-2)n.可得3sn=1+(-2)+(-2)2+(-2)n-1-n(-2)n=1-(-2)n3-n(-2)n.所以sn=19-(3n+1)(-2)n9.11.已知數列an是等比數列.設a2=2,a5=16.(1)若a1+a2+a2n=t(a12+a22+an2),nn*,求實數t的值;(2)若在1a1與1a4之間插入k個數b1,b2,bk,使得1a1,b1,b2,bk,1a4,1a5成等差數列,求k的值.解：設等比數列an的公比為q,由a2=2,a5=16,得q=2,a1=1.(1)a1+a2+a2n=t(a12+a22+an2),a1(1-q2n)1-q=ta12(1-q2n)1-q

8、2,即1-22n1-2=t1-22n1-4對nn*都成立,t=3.(2)1a1=1,1a4=18,1a5=116,且1a1,b1,b2,bk,1a4,1a5成等差數列,公差d=1a5-1a4=-116,且1a4-1a1=(k+1)d,即18-1=(k+1)-116,解得k=13.二、思維提升訓練12.(2020全國,理4)北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場所,分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環,向外每環依次增加9塊.下一層的第一環比上一層的最后一環多9塊,向外每環依次也增加9塊.已知每層環數相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板

9、(不含天心石)()a.3 699塊b.3 474塊c.3 402塊d.3 339塊答案:c解析:由題意可知,從上到下,從內到外,每環的扇面形石板數構成以9為首項,9為公差的等差數列,設為an.設上層有n環,則上層扇面形石板總數為sn,中層扇面形石板總數為s2n-sn,下層扇面形石板總數為s3n-s2n,三層扇面形石板總數為s3n.因為an為等差數列,所以sn,s2n-sn,s3n-s2n構成等差數列,公差為9n2.因為下層比中層多729塊,所以9n2=729,解得n=9.所以s3n=s27=279+272629=3402.故選c.13.若數列an為等比數列,且a1=1,q=2,則tn=1a1a

10、2+1a2a3+1anan+1等于()a.1-14nb.231-14nc.1-12nd.231-12n答案:b解析:因為an=12n-1=2n-1,所以anan+1=2n-12n=22n-1=24n-1,所以1anan+1=1214n-1.所以1anan+1是等比數列.故tn=1a1a2+1a2a3+1anan+1=1211-14n1-14=231-14n.14.已知等比數列an的首項為43,公比為-13,其前n項和為sn.若asn-1snb對nn*恒成立,則b-a的最小值為.答案:5972解析:易得sn=1-13n89,11,43,因為y=sn-1sn在區間89,43上單調遞增(y0),所以

11、y-1772,712a,b,因此b-a的最小值為712-1772=5972.15.無窮數列an由k個不同的數組成,sn為an的前n項和.若對任意nn*,sn2,3,則k的最大值為.答案:4解析:要滿足數列中的條件,涉及最多的項的數列可以為2,1,-1,0,0,0,所以最多由4個不同的數組成.16.已知數列an,bn滿足:an+1+1=2an+n,bn-an=n,b1=2.(1)證明數列bn是等比數列,并求數列bn的通項公式;(2)求數列an的前n項和sn.解：(1)因為bn-an=n,所以bn=an+n.因為an+1=2an+n-1,所以an+1+(n+1)=2(an+n),即bn+1=2bn

12、.又b1=2,所以bn是首項為2,公比為2的等比數列,bn=22n-1=2n.(2)由(1)可得an=bn-n=2n-n,所以sn=(21+22+23+2n)-(1+2+3+n)=2(1-2n)1-2-n(1+n)2=2n+1-2-n2+n2.17.(2019天津,理19)設an是等差數列,bn是等比數列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4.(1)求an和bn的通項公式;(2)設數列cn滿足c1=1,cn=1,2kn2k+1,bk,n=2k,其中kn*.求數列a2n(c2n-1)的通項公式;求i=12naici(nn*).解：(1)設等差數列an的公差為d,等比數列bn的公比為q.依題意得6q=6+2d,6q2=12+4d,解得d=3,q=2,故an=4+(n-1)3=3n+1,bn=62n-1=32n.所以,an的通項公式為an=3n+1,bn的通項公式為bn=32n.(2)a2n(c2n-1)=a2n(