1、第六章自旋和角動量復旦大學蘇汝鏗第六章自旋和角動量-光譜線在磁場中的分裂，精細結構揭示一個新的自由度：自旋角動量的疊加，無耦合表象和耦合表象 自旋單態和三重態6.1電子自旋Stern-Gerlach 實驗U= M/ = M5cos 0F =孚= Mcos 6 dzdz. i y- 匸 FBftxV ； Lr 科*|zf匕二乂，；L一一L 占L Lliauj Q-qaa”悄 iiMiawMMi .丄 一 “：. f*. Us* 一4v*r1M-1 r1 廠|ApaJ ft*、 Stern-Gerlach 實驗 6.1電子自旋Uhlenbeck 一 Goudsmit 理論Sz= A/2M=-S (

2、SI)或 Ms = -S (CGS) 廠糟定(mmeA 7 廠 6.1電子自旋= 士務= Mb(SI)或 M嚴茫=Mb(CGS)sz(CGS) meMl =產l(SI)；M. = $L(CGS)乙 mcmc 6.1電子自旋自旋是個內稟的物理量無經典對應量滿足角動量對易關系6.2電子的自旋算符和自旋函數電子自旋算符的矩陣表不，泡利矩陣S X S = ihSSS y SyS 工=ihS sSySz SzSy = ihSJSzSr STSs = ihSy 6.2電子的自旋算符和自旋函數S： = S?=護 /4S2 = S7 + S： + S7 = # 護S2 = s(sH-l)/i2 =*護，= 1

3、/26.2電子的自旋算符和自旋函數trX(r=2iff(嚇廠qp工=2, azCdA AA=x Z = 2i (J y-6.2電子的自旋算符和自旋函數云=或=云=1:A,B+=AB4-BA八八44亠-*21 （56 互O ）乙 + 看=0ft MB MB auto IM MV SHHte fiBMME niHMBl dMM MMB agM * MttBMl MMi taBMaM， 6.2電子的自旋算符和自旋函數0.-10一-r4=0-d6.2電子的自旋算符和自旋函數a、b廠16*d0a_b、dzX0-1-b*口 = 0皿=0心=ZIE-r46.2電子的自旋算符和自旋函數02-r4-r4 .r

4、.亍 * L. .yU “ Ii W i.OBR IM曠mx定二】6.2電子的自旋算符和自旋函數J =寺（匹兀一mJ2i0 -1-16.2電子的自旋算符和自旋函數019C 7 =0 f96 =1、010y10J0-114 =10000010-r46.2電子的自旋算符和自旋函數自旋算符的本征函數：.訝“取Sz表象，本征函數為h1120010h22106.2電子的自旋算符和自旋函數XY( 、i 1 Xi =0k 7 6.2電子的自旋算符和自旋函數*yz=0201=0（工9，*,九/2“）血=，一h/2,t）6.2電子的自旋算符和自旋函數dr =（舛冷;）drJ 102,=（| 0 | +1 奶 I

5、 彳）=1-r416.2電子的自旋算符和自旋函數 = J曾-r41-r41（舛，呢）G】G21G心、02G12dr =婦 GW=屮;Gu 也 + 舛 G2 申2 + 02* G1 01 + % Gn 血Gil G12 G21G2202I-十. -6.2電子的自旋算符和自旋函數A思考題：Sx表象和Sy表象的結果如何? 6.3粒子在電磁場中的運動: 6.3粒子在電磁場中的運動:泡利方程A經典哈密頓量 6.3粒子在電磁場中的運動:3HP嚴一泡利方程3Hd Xi 6.3粒子在電磁場中的運動: 6.3粒子在電磁場中的運動:17v XBB= VXA 6.3粒子在電磁場中的運動:mx = pxAx =_c

6、參帥小 e dAie_e津+丄込卄一 3文十 c dt r f3Az 9A_ 之（盂一東+十苛）+ 沢詔=_訂70 十丄等）+yl9X （V XA）L 6.3粒子在電磁場中的運動:泡利方程2=些=丄（P.-AAdp.譏c J =迺udx Ce込_建_4C dx dx C I V 3AjtaA. _込dx3y 6.3粒子在電磁場中的運動: 6.3粒子在電磁場中的運動:A薛定銬方程:泡利方程p 皂十畀閘T) +呼泡利方程八Ap AA * p=_i九 V A4缶+霽知“十籍H=-|-V2+A V +2m me+詐+ e為十U(r)泡利方程A討論：規范條件（庫侖規范）V A = 0：七觀一正一；+舉J

7、詁丟_|_2杭me P十2加泡利方程守恒流dtAp+2mc彳（yy_?）e + e（w?_）/WZ一 3IG V（慕G酬機 *0）= 6YyIG 0=dJ加龍-(嚴-呼加卄硏麗關們冷血一巾d *們cf=y VVV I(RdvC +巾沖普一I沖M 札d 咚2Q麗峯VV泡利方程7=亍0”叫+加*忙） 6.3粒子在電磁場中的運動:泡利方程規范變換一丄C dt 6.3粒子在電磁場中的運動:泡利方程Pauli方程M= meImeg說)H(p=+于襯畀+U喘tr B 申 6.3粒子在電磁場中的運動:泡利方程w= 0一 0鑿金時歳S時30十1亠ie備=一不（H“）+十ZS2p + A 0 + U29泡利方程

8、穿=*0 Ho0(Ho0) ?切十/h十* B)+申一屮+ (o B)如梟3 0+帖八如十和心 6.4 Landau 能級A目的：研究帶電粒子在均勻恒定磁場中的運動,解Schrodinger方程求能級和波函數= By , Ay=Az = 0-r4一 -| r - 、 - . b- J J t Y h.,-r4-r4 6.4 Landau 能級就（二十警）+兄+$牛-盞SM=E044CC-r4-r4 6.4 Landau 能級2昭Xn( y) = exp穴打怙呂2 2n n具-(2x + l), (n = O,l 2m + （Ll）,.m fe（L.）w,wZ（Z+1）滬=Y （L 丄）m,亦（

9、L ）”/,m + 杠護一端 2/m=（L+）樸心（L_）沖_，沖+加2護_加左2-r4一 r -r4一 r -r4一 r - 6.5兩個角動量的耦合(L_)= (Lx-iLy) 1 ? 7W血1-i(Lv)=(LJ 爲 _i i(LJ*mm 1=(Lr + iLy )；,加一=(L_|_ )；，加_ 6.5兩個角動量的耦合(L_)= (Lx-iLy) 1 ? 7W血1-i(Lv)=(LJ 爲 _i i(LJ*mm 1=(Lr + iLy )；,加一=(L_|_ )；，加_-r4一 r -二 6.5兩個角動量的耦合Z(Z4-l)fe2 = | (L+ )祝的_i |2 +h2 (m2 m)I

10、(L+ )12 =/(Z 十 1)為，一m(m 1)片2=(/ + m) (Z m + l)/i2 6.5兩個角動量的耦合CIm( L+ )耐+ 1=V (Z+m+l)(Z m)fe-r4一 r -r4一 r -Cm = (L_ )-r4 6.5兩個角動量的耦合匚= *G+ +L-),嚴寺遼+ -匚)zm 1 ( L + )m, m 11_ (L)型,加一1二 p 6.5兩個角動量的耦合無耦合表象:Ji X Ji =M iAA兀 X J2 = ihj 2-r4一 r - 6.5兩個角動量的耦合Ji ji Mi=7i（ji + 1）護 V加i，Jl j2，加2=_/2（亢+1）護 I 九，加2，

11、K Ajl，加2= jji tWi )=mihji 9加iJJ2Z 2 ymz=m2hj2 2lzn r 6.5兩個角動量的耦合3丄n r3丄n r孑耦合表象:D尸山3丄n r3丄n rAAAJ =J 1 + J2AA入JXJ = ihJ丿 Jl = （J1 +丿2） Jf =丿彳 +J1 + 2J1 丿2 1 J 1 = 03丄 、 f - r . 4. 丄一 *M L v y L. m f m 6.5兩個角動量的耦合u2 Jn=o工j=o, Hjij-o? JJ=OJ2 jl2 J，加=j(j + l)護 Ijl J2，八加4Jz Iji “2 小 m=mk I ji 972 J ,力-r

12、4一 r - 6.5兩個角動量的耦合辦2 9八加=工 | jrnY 9亢，加2）1，加1 2，加2 |九2 J，加ZM 加2Jzj 1 9 j 2 9 j 9 加=(Jx + J 2* )12 小m)Wj 加2X (J1，加“2 9 祝2m = mi +72 、 f - r . 4. 丄一 *M L v y L. m f m 、 f - r . 4. 丄一 *M L v y L. m f m 、 f - r . 4. 丄一 *M L v y L. m f mjl訂2 d，加=工ml 6.5兩個角動量的耦合7i W J 2，加一加1（辦，加i 0*2 m m、| ji2 J，J max J 1

13、I J 2max (2 j + 1) = (2 j i + 1) (2 j 2 + 1) Fmin 、 f - r . 4. 丄一 *M L v y L. m f mjl訂2 d，加=工ml 6.5兩個角動量的耦合7i W J 2，加一加1（辦，加i 0*2 m m、| ji2 J，J max J 1 I J 2max (2 j + 1) = (2 j i + 1) (2 j 2 + 1) Fmin .r .亍 * L. .yU “ Ii W i.OBR IM曠mx定二】 6.5兩個角動量的耦合max2（2） + 1）= j max + 2 7 maxJ min I j 1 j 2=| J =

14、J1 +；2 dl +j2 - 1 - d -72 IgihaJahe：-mJWMLOM M HM MM MBliauj Q-qaa”iiMiawMMi .丄 一 “：. f*. Us* 一4v*r1 M-1 、| j rj rA，aJ Mi & A 6.6 Clebsch-Gordon系數1 9加1 J2，加2 1；1 丁2jl “2 9 jl +亢 9 jl 十亢=I Jl *J1 J2 jl Jl J2 9，2 I j 1 J2 9 ji +，2I jl 9 ji 訂22 jl，,2 弓 jl +，2 9 jl +)2I 2 1一-r-r-；nrt1M-1 、| j rj rA，aJMi

15、A 6.6 Clebsch-Gordon系數丫 5 “2 $ .m I Ji 仰1 J2 X XJ =工 I 12，九加XJ712 小m I J1，加1 了2 9觀一加1工 I )1，加1 ,九號加加101 *加I 9九，加加1 | = 1 mI 1 “2 小沁jl2 小 m | = 1liauj Q-qaa” iiMiawMMi .丄 一 “：. f*. Us* 一4v*r1M-1 、| j rj rA，aJ Mi & A WMiHWWBR? 6.6 Clebsch-Gordon系數2 十叫)!(2 一叫)！(j 十加)！X1 1/2_( _ 1 A k(7 m) ! ()1 +丿2 j 刀

16、！(ji 加1 卩)！ X(6.1yCj2 + mz v) ! (j j2 + m + v) I (； Ji m2 + v) !L W-L.liokJ Q-qaa”ilMiaWMMI . L .- “：. f Uil ! 一4V*r1M-1 、| j rj rA，aJ Mi & A V嚴 nil IMBI 6.6 Clebsch-Gordon系數jl，加1 dz，加 2 ji2 小( X(jl 號mx 訂2 號一加2 Ijl 02 di 加1 1 02 2 I Jl2 ，祝=(_1)兒+&-丿 X2 2 Jl，加172 Jl ,j,加2卅1.彷2 + 1 V嚴 nil IMBI 6.6 Cle

17、bsch-Gordon系數 6.6 Clebsch-Gordon系數A例：L, S耦合,取 z?,尸，厶 本征函數為共同表象,A 7 廠 6,6 Clebsch-Gordon系數% （久卩吊/2）02 （仇 A/2） 6,6 Clebsch-Gordon系數 6,6 Clebsch-Gordon系數=c閆 iM=g% 6,6 Clebsch-Gordon系數 6,6 Clebsch-Gordon系數二 6,6 Clebsch-Gordon系數 6,6 Clebsch-Gordon系數 6.6 Clebsch-Gordon系數M,(p,s = 6,6 Clebsch-Gordon系數 6,6 C

18、lebsch-Gordon系數J2 =(L+S)2=L2+S2+2L-SQ=L2 +玄甘十片(。丄反+丄，+qL#)L2 4-fe2 HfeLr和L_kL+乩蘭 6,6 Clebsch-Gordon系數LY=k丿（Z干肌）（2加+1）丫加土】J2=Aft2aY加。丫血+1aY血bY/m+i 6,6 Clebsch-Gordon系數 6,6 Clebsch-Gordon系數J（Z加）（Z+加十l）a+ /（2+l）+S+l） A b=0 66 c-ebschGordon釧建4E+l)+I-+1匚(ZM) (z+M+1)2 z(z+l)+-r-丨m 1 AHo-r4-r4-r4 6.6 Clebs

19、ch-Gordon系數a +加+1石=/+zn+lmbY加+1一 r - 6.6 Clebsch-Gordon系數vi+ia/2+加+1Y加/l my”+加+1V 2Z+1510!l m1 2Z+1 1Zw + ,、014*/ 4 I ”b. Nf 9I p J ib. 一If-r4-r46.7光譜線精細結構AAAJ=L+SWnljm =RtiI （廠）Dijm （仇爭9 S）iir； V J 4 * 丄4 卸 I-.2iFF1 B 1 b fiR. - II I* O . f - - * L. .yU “ Ii W i.OBR Ml曠mx定二】6.7光譜線精細結構L, S耦合4X JA /

20、AA.H= $ W +UG) +FG)L S=H +HZ ZmeHr = 6(r)L S6.7光譜線精細結構 mi, ms不是好量子數 好量子數是(n, I, j, m)-r4一 r -6.7光譜線精細結構6.7光譜線精細結構=(rdjfm | H，| nljm廣8AA(r)r)r2drlrj fm | L S | Ijmtj fm lu SIjm=r/w/=蘭3+Z(Z+1) -06.7光譜線精細結構H篇=務劉十1)應+1)-|HLE)C伽=0IF1 B i b fiR. 、f - . b- J J t Y h.,6.7光譜線精細結構g0Rh （廠）g（廠）r2 dr=勿p2mcr2J or

21、（2+1）Z42m c2 doEg+=E“+呼n（2z+i）（/+nn/（2Z+1）b- J J t Y h.,鈉原子2P項的精細結構22 84eVcc】2 Sgn=2 1=0 j = y2 V3Z21n=2 1= 1 j=g2嘰22eVTn=2 1= 1 7 = 2?S 11 J|/2I1n = l 1=00eVirir尊 6.8 Zeeman效應6.7光譜線精細結構17凡（廠）Y加_*（09）汾（SJ +r1Zw+y22十1（ 1 ）/+加十刁2Z+1丨ZJ -;、:-T凡（廠）Y處雖（戈）irir尊 6.8 Zeeman效應irir尊 6.8 Zeeman效應2凡（廠）Y* （久卩）為（

22、SJ +2觀十*2Z+1/+稅十寺22十1（久 pSJ = 1T心（廠）丫加+郛仇0無-寺（3）正常Zeeman效應（不考慮L，S耦合）B = ByQ B=BZ-r4二-r4-r412me1（川+b）+VG）2 , eBT , e2B2 護+嚴+時12me（化易）+券）+ 扶+V&）. 疔+學&打一了“十宰土+聲）-FV（r）一 r -IT 一 一4*/ 4 I ”b. Nf 9I p J ib. 一If 6.8 Zeeman效應A-7+心+h2eB L2mcc=En I0nlrn 6.8 Zeeman效應cmt f -112m 嚴+5+需 ；（L= +肛）（/）=E0gV2+V(r)+；(L

23、Z + 片)0=砒2mGc“2十卩（力02 + 宅（：尢）血=E2 6.8 Zeeman效應r r3m *3乂 =九/2衛伽=Ef1J + 弟S+l)ZmecS = h/2En/m =E -(m 1) Zmc 6.8 Zeeman效應 6.8 Zeeman效應勿=仏一Eg =軌+咅加2mec強磁場中S項和P項的分裂2PISbb加=0(b)磁場存在時m=- 1S = 0 m=一(a)磁場不存在時-r4一 r - 6.8 Zeeman效應 6.8 Zeeman效應 -w f ,_一4- M L L.a ! V 6.8 Zeeman效應 6.8 Zeeman效應反常Zeeman效應（考慮L，S耦合）

24、4旦十）+氏（匚+癟）+3f爲2me、令乙oR 亠/?R 二X盤+）+舶十（譏心十莎sI j m j I Sr | Ijm, =5擴%旳仃羯 I Sz | IjnijI r t ! i 甲. i ri ., f rIkWMBMMMMBMaBMHBBMKW LrMWMOBiMMMHBHMrf Imb 6.8 Zeeman效應 6.8 Zeeman效應十+ 172卄 201 、 f - r . b- J J t Y h.,叮;r F1 HPtT*1* r W- r VM lMBamWMB.4 卜44.弭 :二丄丄二一：L_ L.二 6.8 Zeeman效應CKJ |q | j加 j=yY (當 j

25、=/+l/2)j+l當円-*)1十吉)加攜(當 j=z+*)2j + 23P3S589.6 nm589.3 nm3/21/2-1/2-3/2加弱磁場589.0 nmd2計及自旋軌道耦合1/2-1/2m.躍遷選擇定則:AZ = 1-6& 2鈉黃線的反常塞曼分裂Aj=0, 土 1加j = 0 9 16.9自旋單態和三重態A目的：討論兩個自旋為1/2的粒子，自旋之間 的耦合（“）X叫（S2r）Ml，2 = 士*A 7 廠-r4一 r -6.9自旋單態和三重態Xin=xi 5)X1 ()Xs =($12 ) X-y ($2) + Xy(S2寺(Sit )Xa =4lX*(51j ) XT ($2之一%

26、T ($2z)X-*(S1n) V2b- J J t Y h.,6.9自旋單態和三重態SzI 2zS2 =($1+2 2= 51+52 十2飭 S2=壬九“ + 2 SbS 2x + SlyS 2y + S zS 2z 、f - . b- J J t Y h.,6.9自旋單態和三重態hro 1M：h/ 、4T1 0kXill20L/-df1hi_y1K6.9自旋單態和三重態hi-帥2100b- J J t Y h.,6.9自旋單態和三重態S%1=汀卅）十2；曲（2；貝寺（）十y（S ） y（ 2z）+ SrX y（S“ ）$2* y（）U22XS）+2 牛4扌（5u ）X-f（52a）牛X-寺（$“）%