1、質點組以外的物體對質點組內各質點的相互作用力 質點組動力學質點組動力學問題問題質點組運動的總趨向及其某些特征 質點組動力學問題的困難 運動方程的解算內力，外力，慣性力（外力）質點組內各質點的相互作用力質點 質點組組 剛體第1頁/共56頁 兩體問題兩體問題質點組動力學的一個特殊問題兩個質點組成的質點組彼此以內力相互作用，不受外力作用彼此以內力相互作用，不受外力作用第2頁/共56頁質點1 質點2 211221FFrr 211221221211FFFrmFrm 0)(2112221122FFrmrmdtd0)()(2122112221mmrmrmdtdmm第3頁/共56頁質心的運動質心的運動 Mot

2、ion of the center of mass0)()(2122112221mmrmrmdtdmm210mmm2122110mmrmrmr00orm “權重”“質點”的質量質量質量中心 在兩質點聯線上r2r1m2r0m1m0o第4頁/共56頁太陽地球質心質心質心 center of mass直角坐標系：0211202121,lmmmllmmml.,212211212211212211mmzmzmzmmymymymmxmxmxooo第5頁/共56頁相對的運動相對的運動 Relative motion 以質點2作為平動參考系（非慣性） 研究質點1相 對運動2112rrr2112121rmFrm

3、 12221122112212112121FmmmFmmFFmmFrm 12122121Frmmmm 212121111,mmmmmmmm或約化質量122122)(Frrdtdm第6頁/共56頁例(p241)：兩個完全相同的滑塊a和b，其質量均為m,用輕彈簧將它們連接，彈簧的原長為l,勁度系數為k。將整個系統放在光滑桌面上，并保持靜止。在某個時刻（記t=0),突然給滑塊a一個沖量，使它獲得向右的初速度v0, 求解它們的運動。axv0ob 具體分析（兩體問題） 運動方程)(),(lxxkxmlxxkxmbabbaa 0)(),(0021210210 xvxxxxxxbaba 兩體問題質心運動方程

4、第7頁/共56頁相對運動方程lxxxbaa:記)(.,21mmxmxkxkFaaa . 0amkaxx .sin)2/cos()cos(00tttAxvvaa與b相對于質心各作簡諧振動，它們的位相正好相反。.cos,00tvxxvxxbaba).cos1 (),cos1 (2200txtxvbva第8頁/共56頁開普勒第三定律的修正F1 = m1v12 / r1 = 4 2 m1r1 / P2F2 = m2v22 / r2 = 4 2 m2r2 / P2.Newtons third law tells us that F1 = F2, and so we obtainr1 / r2 = m2

5、/ m1This tells us that the more massive body orbits closer to the centre of mass than the less massive body.第9頁/共56頁The total separation of the two bodies is given bya = r1 + r2 which gives r1 = m2a / (m1 + m2).Combining this equation with the equation for F1 derived above and Newtons law of gravita

6、tion gives Newtons form of Keplers third law:4 2 m1r1 / P2 = Gm1m2 / a2P2 = 4 2 a3 / G(m1 + m2).第10頁/共56頁mv2 / a = Gm1m2 / a2v=2 a/Pm=m1m2 / (m1 + m2) P2 = 4 2 a3 / G(m1 + m2).另解：第11頁/共56頁 碰 撞 Collisions（1）1.對心碰撞（正碰）（兩球的相對速度沿球心聯線） m1u1m2u2(u1u2)22112211vmvmumum 動量守恒原理碰撞前碰撞后第12頁/共56頁 碰撞過程壓縮階段恢復階段)()1

7、1()(212121uumImmIuu)()11(21121121vvmImmIvvIumvmIumvm22211112221111IvmvmIvmvm)(:21121uuevveII 常數 恢復系數 0 = e 0；釋放質量時dm0.第28頁/共56頁mvdmuvdvvdmm)()(udmmdvm+dmmvv+dvv-u-dm0)()()(dmuvvdmmdvd(mv)火箭動量的增量燃料的動量（dm0）第29頁/共56頁mudtdmmudtdv火箭的加速度：火箭的加速度：udmmdv火箭的推力：火箭的推力：udtdvm火箭的速度：火箭的速度：mudmdv/第30頁/共56頁mmvmdmudv

8、00mmuv0ln 齊奧科夫斯基公式結構系數火箭運動的速度決定于：結構系數，排氣速度。第31頁/共56頁例(p245)：長為l質量為m的軟繩，自靜止下落。開始（t=0)時，繩的下端與桌面恰相接觸，求下落過程中桌面對繩的反作用力。Zolzl-z 具體分析 （變質量問題） 運動方程 （積分形式動量定理）. )(2zlgvdtgdmmglzlNvdm)(0dm系統：“已落在桌上的繩子” 與“即將落下的一段小繩”mvldmvdzdt第32頁/共56頁mvldmmglzlNvdm)()/1 (3)(32lzmgzllmgmglzllmvN答案與前面一致第33頁/共56頁例(p243)：長為l質量為m的軟

9、繩，自靜止下落。開始（t=0)時，繩的下端與桌面恰相接觸，求下落過程中桌面對繩的反作用力。lzgmgzmgzzla/)(0)(0lzmzmzzzlz2/2/ 2/0)(:220質心坐標./ )(/200lzzzalzzv lgzla/)32(0Zolzl-z第34頁/共56頁 動能定理（1）動能定理（2）質點組的動能與質心的動能（3）機械能守恒原理與功能原理（4）參考系的選擇 第35頁/共56頁 質心運動定理質心運動定理動量定理動量定理質點組的動量守恒 質心的動量守恒 質點組的動量 質心的動量。內力不可能改變質點組的動量。（注意：各分量的守恒問題！）第36頁/共56頁 質點的動能定理), 3

10、, 2 , 1(,1,1,2112NiWWWWWWTTiNiiiiiiittitti外ikikiiittiittiiWWTT外12外內WWTTtttt12 質點組的動能定理FikFkidridrk質點i質點k內力可以改變 質點組的動能 （1）動能定理第37頁/共56頁（2）質點組的動能與質心的動能iiiiiiiNiirrmvmTT212121iiiiiiiiiiiiiiiiirrmrrmrrmrrmrmrmrrrrrrmT 21212121)()(2100000000000r0r1ri=ri-r0質心質心質點質點i=O第38頁/共56頁TTvmvmTiii022002121柯尼希定理質點組的動

11、能質點組的動能=質心的動能質心的動能+質點組相對于質心的動能質點組相對于質心的動能第39頁/共56頁 兩體問題兩體問題的動能的動能碰撞前的相對運動動能：2212)(2121uumvmT碰撞后的相對運動動能：22122)(2121uumevmT)(21uue碰撞后的相對速度碰撞前后的動能改變：2212)(21) 1(uumeTTe=1, T=0; e1, T0220002121vmvmTTT2222121121vmvmT第40頁/共56頁（3）機械能守恒原理與功能原理)(1212ttttttttVVTT12)()(ttttVTVT 保守力下的質點組機械能守恒原理在保守力作用下，質點組的機械能保持

12、不變。（機械能包括內力的勢能） 質點組的功能原理 dttttttttWVVTT)(1212dttttWVTVT12)()(dcWWWW外內第41頁/共56頁（4）參考系的選擇 為了避免計算慣性力所作的功，通常選取（1）慣性參考系原因：F=0（慣性力為零） （2）質心坐標系原因： dX=0 （慣性力作用下的位移為零）第42頁/共56頁例例(p267)(p267)：討論：討論第43頁/共56頁1,32121,223212211,1131211.NNNNNNNNNNNMMMMMLMMMMMLMMMMMLNNMMMLLLdtd.).(2121 i) 質點組動量矩定理 質點組動量矩定理第44頁/共56頁

13、NMMML.21 質點組動量矩定理的微分形式：2121221112ttNttttttttdtMdtMdtMLL 質點組動量矩定理的積分形式：質點組對于某點的動量矩的時間變化率就等于質點組的各質點所受外力對該點的力矩的和。第45頁/共56頁 ii) 質點組的動量矩與質心的動量矩yzzyxxOrimir0ri質心 質點組對于z軸的動量矩NiiiiiiNiiiiiizxyyxmxyyxmxyyxmL1000001)()()(LLL0質點組對于O點的動量矩L=質心對于O點的動量矩L0+質點組對于質心的動量矩L。第46頁/共56頁 iii) 質點組動量矩守恒原理0, 00121ttttNiiLLLMM或

14、當外 質點組對于某點的動量矩守恒動量矩守恒第47頁/共56頁第48頁/共56頁Angular momentum conservation第49頁/共56頁 iv) 參考系的選擇 為了避免計算慣性力的力矩，通常選取（1）慣性參考系原因：F=0（慣性力為零） （2）質心坐標系原因： 慣性力作用于質心，力臂為零第50頁/共56頁v2oHm2m1r2r1v1 例：兩球碰撞(rv)2211vdmvdm222111vdrmvdrm)()(222111vrmdvrmd0)(222111vrmvrmd常量常量21222111LLvrmvrm)0(vrd第51頁/共56頁習題：習題：光滑球懸在不可伸長的輕繩上，一光滑球光滑球懸在不可伸長的輕繩上，一光滑球以豎直向下的速度以豎直向下的速度u u與這球碰撞，碰撞時兩球聯與這球碰撞，碰撞時兩球聯心線與豎直方向作心線與豎直方向作 角。求兩球碰撞后的速度。角。求兩球碰撞后的速度。u碰撞前Mmu1x碰撞后vMmu1y第52頁/共56頁壓縮階段uMm 具體分析 （特殊兩體碰撞）動量守恒動量守恒: 碰撞處的水平方向碰撞處的水平方向恢復系數恢復系數: 碰撞處聯心線碰撞處聯心線第53頁/共56頁01MVmux動量守恒動量守恒