1、精品文檔重心1、 重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2: 1。2、 重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。3、重心到三角形3個頂點距離平方的和最小。證明方法：設三角形三個頂點為(xi,yi),(x 2,y 2),(x 3,y3)平面上任意一點為(x，y)則該點到三頂點距離平 方和為：2 2 2 2 2 2(x i-x) +(y i-y) +(x2-x) +(y 2-y) +(x 3-x) +(y 3-y)2 2 2 2 2 2 2 2=3x -2x(x i+X2+X3)+3y -2y(y i+y2+y3)+xi +x2 +X3 +yi +y2 +y3=3x-1/3*(x i+

2、X2+X3) 2+3y-i/3*(y 汁y2+y3) 2+Xi2+X22+X32+y；+y22+y32-i/3(x i+X2+X3)2-i/3(y i+y2+y3)2 顯然當 x=(x i+X2+X3)/3,y=(y i+y2+y3)/3 (重心坐標)時上式取得最小值 Xi 2+X22+X32+yi2+y22+y32-i/3(x 汁X2+X3) 2-i/3(y 汁y2+y3)2最終得出結論。4、在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均數，即其坐標為(X i+X+X)/3,(Y i+Y+Y3)/3；空間直角坐標系橫坐標：(Xi+X+X)/3，縱坐標：(Yi+Y+YQ/3，縱坐標：(乙+

3、Z2+Z3)/35、三角形內到三邊距離之積最大的點。6、 在厶ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0 (向量)，貝卩M點為 ABC的重心， 反之也成立。7、 設厶ABC重心為G點，所在平面有一點 O,則向量OG=1/3(向量OA+向量OB+向量OC內心設厶ABC的內切圓為。l(r)，/ A、/ B/C的對邊分別為 a b、1、三角形的內心到三邊的距離相等，都等于內切圓半徑c, p=(a+b+c)/2 .2、/ BIC=90 +/ BAC/2.3、 在 Rt ABC中, / A=90 ,三角形內切圓切 BC于 D,貝卩 SAABC=B0CD4、 點0是平面ABC上任意一點，點I是厶ABC內

4、心的充要條件是：向量 OI二a(向量 OA)+b(向量 OB)+c(向量 OC)/(a+b+c).5、在厶 ABC中，若三個頂點分別是 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , C(x3, y3),那么 ABC內心I的坐標是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c),ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)6、 (歐拉定理) ABC中，R和r分別為外接圓為和內切圓的半徑，O和I分別為其 外心和內心，貝卩OI2=R2-2Rr.7、AABC中: a,b,c分別為三邊，S為三角形面積，則內切圓半徑 r=2S/(a+b+c)8雙曲

5、線上任一支上一點與兩交點組成的三角形的內心在實軸的射影為對應支的頂點R,9、AABC中，內切圓分別與 AB, BC CA相切于P,則 AP二AR=(b+c-a)/2 , BP =BQ =(a+c-b)/2.CR =CQ =(b+a-c)/2,r=(b+c-a)ta n( A/2)/2。10、三角形內角平分線定理: ABC中，I為內心，/ BAC、/ ABC / ACB的內角平分線分別交 BC AC AB于Q R、P，貝卩 BQ/QC二c/b BP/PA=a/b，CR/RA=a/c。內切圓的半徑(1) 在 Rt ABC中，/ C=90 , r=(a+b-c)/2.(2) 在 Rt ABC中，/

6、C=90 , r=ab/(a+b+c)(3) 任意 ABC中 r= (2*SAABC /C ABC ( C 為周長)精品文檔銳帝三角形的外心在三角形內直角三甬形的外心在娜邊上，與斜邊中點重亀鈍甬三翔形的外b在三角形外性質1:( 1)銳角三角形的外心在三角形內;(2) 直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點重合；(3) 鈍角三角形的外心在三角形外.(4) 等邊三角形外心與內心為同一點。性質 2:/ BGC=2A,(或/ BGC=2(180 - /A).性質 3:/ GAC/ B=90證明：如圖所示延長AG與圓交與P (B、C下面的那個點)T A C、B、P四點共圓/ P=/B/ P+/ GAC=9

7、0 / GAC/ B=90性質4:點G是平面ABC上一點，點P是平面ABC上任意一點，那么點 G是/ ABC外心的充要條件是:(1)向量 PG=(tanB+tanC)向量 PA+(tanC+tanA)向量 PB+(tanA+tanB)向量 PC)/2(ta nA+ta nB+ta nC).或(2)向量 PG=(cosA/2sinBsinC)向量 PA+(cosB/2sinCsinA)向量 PB+(cosC/2sinAsinB)向量 PC.性質5:三角形三條邊的垂直平分線交于一點，該點即為三角形外接圓的圓心.外心到三頂點的距離相等。性質6:點G是平面ABC上一點，那么點G是/ ABC外心的充要條

8、件(向量GA向量GB) 向量AB=(向量GB向量GC)-向量BC=(向量GC向量GA) 向量CA=0.三角形外接圓半徑:R=abc/ （4SA ABC垂心1、銳角三角形的垂心在三角形內；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形 的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的內心；或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H關于三邊的對稱點，均在 ABC的外接圓上。4、 ABC中，有六組四點共圓，有三組（每組四個）相似的直角三角形，且AH- HD=BH HE=CH HF。5、 H、A、B、C四點中任一點是其余三點為頂點的三角形的垂心 （并稱這樣的四點 為一一垂心組）。6、 ABC A

9、BH BCH ACH的外接圓是等圓。7、 在非直角三角形中，過 H的直線交AB AC所在直線分別于P、Q則AB/AP - tanB+AC/AQ- tanC二tanA+tanB+tanC。8、 三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。9、設O, H分別為 ABC的外心和垂心，貝卩/ BAOh HAC / ABHM OBC / BCOh HCA10、 銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內切圓與外接圓半徑之和的2 倍。11、 銳角三角形的垂心是垂足三角形的內心；銳角三角形的內接三角形（頂點在原 三角形的邊上）中，以垂足三角形的周長最短。12、西姆松（Simson）定理（西姆松線）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接 圓上。13、設銳角/ABC內有一點P,那么P是垂心的充分必要條件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA向量PA*向量PB量PB*向量卩。=向量P