1、第1章常用邏輯用語（B）（時間：120分鐘 滿分：160分）一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分）1. 下列命題： ？ x R，不等式x2+ 2x4x 3成立； 若 log2x+ logx2 2，貝y x1 ； 命題“若ab0且cc”的逆否命題；a b 若命題p: ? x R, x2+ 1 1命題q： ? x0 R , x0 2x0 1 b 1，則一亠;1 + a 1 + b 若正數m和n滿足mw n,則“jm n m 1 ； ？ x Z, x2= 3； ？ x R, x2+ x+ 10.4. 已知a, b是實數，則“ a0且b0”是“ a+ b0且ab0”的條件.5. 下列說法

2、正確的是 （填序號）. 若a, b都是實數，則 a2b2”是ab”的既不充分也不必要條件； 若p： x5 , q： x5，則p是q的充分而不必要條件； 條件甲：a1”是條件乙：“ a a”的必要而不充分條件； 在 ABC中，AB”是“sinAsin B”的充分必要條件.6. “ xm y” 是“ sin xm sin y” 的條件.7. 命題p：若a b則cd,命題q：若ew f則a0, bc ad0,：0（a, b, c, d均為實數），以其中兩個不等式作為條件，余下一個作為結論組成命題，可組成真命題的個數是.10. 已知條件p： x2 x 6, q： x Z,若“p且q”與“非q”同時為假

3、命題，則 x的 取值集合為.11. 命題“ ax2 2ax+ 30恒成立”是假命題，貝U實數a的取值范圍是 .12. 命題“存在x R,使得x2+ 2x+ 5 = 0”的否定是 .13. 有下列命題： ax2+ 5x 1= 0是一元二次方程；拋物線y= ax2 + 2x 1與x軸 至少有一個交點；互相包含的兩個集合相等；空集是任何集合的真子集.其中真命題的序號是 14. 若X 1|a的充分條件是X 1|0），則a, b之間的關系是 . 二、解答題（本大題共6小題，共90分）15. （14分）分別寫出由下列各組命題構成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命 題，并判斷它們的真假.（1）p :

4、平行四邊形對角線相等；q：平行四邊形的對角線互相平分；（2）p:方程x2 16= 0的兩根的符號不同； q：方程x2 16= 0的兩根的絕對值相等.3 3 2 216. （14 分）已知 abz 0，求證：a+ b = 1 的充要條件是 a3 + b3+ ab a2 b2= 0.17. （14分）已知a0，設命題p：函數y= ax在R上單調遞增；命題 q:不等式ax2 + ax + 10對？x R恒成立，若p且q為假，p或q為真，求a的取值范圍.118. （16分）已知條件p： |2x 1|a和條件q： x? 4x+ 3，請選取適當的正實數 a的值, 分別利用所給的條件作為A、B構造命題“若

5、A,則B”，并使得構造的原命題為真命題，而其逆命題為假命題，則這樣的一個原命題可以是什么？并說明為什么這一命題是 符合要求的命題.19. （16 分）已知 p: a= 0, q :直線 11: x 2ay 1 = 0 與直線 I2： 2x 2ay 1 = 0 平行，求 證：p是q的充要條件.20. （16分）已知f（x）= ax2 + bx+ c的圖象過點（1,0），是否存在常數 a、b、c使不等式 寧2對一切實數x均成立？第1章常用邏輯用語（B）1. 2. 1解析 均為真命題，是假命題.3. 4. 充要解析 對于“ a0且b0”可以推出“a+ b0且ab0”，反之也是成立的，故為充要 條件.

6、5. 解析 中，a . a? a1, a1是a , a的充要條件.6. 必要不充分解析 因為“ sin x= sin y”是“x = y”的必要不充分條件，所以“x豐y”是“sin xm siny”的必要不充分條件.7. 充分解析 命題q的否命題為若ef,則ab” ,且為真命題，而命題p：若a b則cd, 且為真命題，則有 “若ef,則cd”，即ef”是“d”的充分條件，由等價命題關系可 知“ cw d”是“ e f ”的充分條件.& （4）解析 不難判斷命題p為真命題，命題q為假命題，從而只有（綈p） V（綈q）為真命題.9. 3解析 共可組成3個命題，且都為真命題.10. 1,0, 1,2

7、解析 由題意得p假q真，所以x2 x6且x Z,解得x= 1,0,1,2，故x的取值集合 為 1,0,1,2.11. ( 3 0) U 3 ,+ )12. ? x R，使得 x2+ 2x+ 5豐 0解析 已知命題是存在性命題，其否定是全稱命題.13. 解析 對于，當a = 0時，方程ax2 + 5x 1 = 0是一元一次方程，而不是一元二次方 程；對于，當a b解析 由題意可知|x 1|b的解集范圍不能超過|x 1|b.15. 解(1)pVq:平行四邊形的對角線相等或互相平分.pAq :平行四邊形的對角線相等且互相平分.非p :平行四邊形的對角線不相等.由于p假q真，所以p或q為真，p且q為假

8、，非p為真.2(2)pVq :方程x 16 = 0的兩根符號不同或絕對值相等.pAq :方程x2 16= 0的兩根符號不同且絕對值相等.非p :方程x 16 = 0的兩根符號相同.由于p真q真，所以p或q、p且q均為真，非p為假.332216. 證明充分性：I a + b + ab a b2 2 2 2=(a + b)(a ab+ b ) (a ab+ b )2 2=(a + b 1)(a ab+ b )2 2.(a+ b 1)(a ab+ b ) = 0.又 abz 0，即 a 0 且 bz 0,-a ab-a + b 1 = 0, - - a + b= 1.必要性： a+ b= 1,即卩

9、a+ b 1 = 0, 3. 3.2.2-a + b + ab a b2 2 =(a + b 1)(a ab+ b ) = 0.綜上可知，當 abz 0時，3322a+ b= 1的充要條件是 a + b + ab a b = 0.17 .解十ax在R上單調遞增， p: a1;2又不等式ax ax+ 10對？ x R恒成立，a0, -A0，即 a2 4a0, 0a4, q: 0a4; 若p假q真，則Oaw 1.所以a的取值范圍為(0,1 U 4 ,+).18. 解 已知條件p即2x 1a,1 - a 1 + a x;2 已知條件q即x 4x+ 30 ,x3.令a = 5,貝U p即x3，此時必有

10、p? q,反之不然.1故可以選取一個實數 a = 5,令A為p, B為q,構造命題若|2x 1|5，則 0” ,x 4x+ 3由以上過程可知這一命題的原命題為真命題，但它的逆命題為假命題.119. 證明 當 a = 0 時，11： x= 1, I2： x= 2,所以l1 /I2,即由“a = 0”能推出“11 /I2”.當I1/I2時，若az0,沖1111則 I1：y=亦x亦，I2： y=ax-2a11所以石=a,無解.1若 a = 0,則 11: x= 1, I2: x= 2顯然I1/I2,即由“ 11/I2”能推出“a = 0”.綜上所述a = 0? I1/I2,所以p是q的充要條件.20. 解假設存在常數a、b、c使題設命題成立.f(x)的圖象過點(一1,0), a b+ c= 0.21 + x1 w a + b + cw 1, 1c= 2 a.又x W f(x)W 2對一切x R均成立, 當x= 1時，也成立，即1故 a + b+ c= 1 ,.b= , 211-f(x) = ax + 2 a./ 22111 + x故有 x ax + x+ 2 a 0,三 0r - 4a Q a :w 0,丨42i