1、復(fù)習(xí)課： 第三章簡單的三角恒等變換一、【教學(xué)目標(biāo)】重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生在已有的公式基礎(chǔ)上進(jìn)行簡單的三角恒等變換，體會三角變換的特點(diǎn).難點(diǎn)：認(rèn)識三角變換的特點(diǎn)，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過程的設(shè)計(jì)，不斷提高從整體上把握變換過 程的能力.知識點(diǎn)：三角恒等變換.能力點(diǎn)：通過變換，使學(xué)生在變換的思想和方法的過程中，發(fā)展推理能力和運(yùn)算能力.教育點(diǎn)：通過公式的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)的思維品質(zhì)和辯證唯物主義觀點(diǎn).自主探究點(diǎn)：利用已有公式證明積化和差、和差化積公式.訓(xùn)練（應(yīng)用）點(diǎn)：利用公式進(jìn)行化簡、求值與證明考試點(diǎn)：簡單的三角恒等變換.易錯(cuò)易混點(diǎn)：和（差）角公式，倍角公式的符號以及特殊角的三角函數(shù)值.拓展點(diǎn)：所有公

2、式之間的在聯(lián)系.1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin(a 0) = sin a cos 0 cos a sin 卩:cos(a 0) = cos a cos fl + sin a sin 0 ;c、 tan a tan Z7tan(cr 0)=.1 + tan a tan 0sin 2a = 2 sin a cos a, cos 2a = cos2 a-sin a = 2cos2 a-l = 1 -2sin2 a.c 2 tan cr z 7t kn 兀， r、tan la =(a 工一+ .a f + k 托、k e Z)l-tan2z 4222三角函數(shù)中

3、常用的轉(zhuǎn)化思想及方法技巧(1) 常見角的變換：Q = (a + /?) 0; 2cr = (a + 0) + (a 0) ; 2cr = (0 + a) (0 a); / + 0 = 2&;2 2 2(2) 方程思想：sin a + cos a. sin a - cos a, sin crecos a 知一求二;(3) “1” 的替換：I=sina + cos2a = km = = 2cos?a-cos2a 等;4(4)切弦互化;l + cos2/3 sin 20 + cos(20: +60 )(- + sin20 )2 2cos 20/3 cos 20.+ (sin 20 )(+ sin 2

4、0 )2 2 2 2cos2 203 sin2 20+44cos2 20 sin2 20=+4 4=丄4【點(diǎn)評】本小題主要考查角的變換、兩角和與差的的正余弦公式、二倍角公式等基礎(chǔ)知識，考查基本運(yùn)算 能力.例 2.證明：3 + cos4a-4cos2a = 8sir/ a .證明：左邊= 3 + 2cos2a-l-4cos2a= 2 + 2cos2 2a-4cos 2a=2(1 +cos2 2a-2cos 2a)=2(cos 2a-l)2= 2(2sin2a)2=8sin4 a=右邊所以等式成立.1 + sin 26 一 cos 20八=tan 0變式訓(xùn)練：證明：(1)l + sin2& + c

5、os20:sin(2z + 0)只 z c、 sin 0_2cos(a + 0) = (2)sin asin a【分析】(1)從形式上看可以利用二倍角公式進(jìn)行證明；(2)從形式上看2a + 0 = a + (a + 0),因此通分之后利用和(差)角公式就可以證明.【解答】證明：(1)_ 2sin& + 2sin&cos&原式左邊 2cos2 + 2sincos0sin O(sin& + cos&)cos 0(sin 0 + cos 0)=tan &=右邊所以等式成立.(2)_ sin(2a + 0)-2sinacos(a + 0)原式左邊sincrsin a cos(a + 0) + cos

6、a sin(z + 0) 2 sin a cos(a + 0)sin a_ cos a sin(a + 0) - sin a cos(a + 0)sin a.sin(a + 0-a)sin a_ sin 0sin a=右邊所以等式成立.【點(diǎn)評】本小題主要考查角的變換、兩角和與差的的正余弦公式、二倍角公式等基礎(chǔ)知識，考查基本運(yùn)算能力.例3.求函數(shù)/(x) = sin4 x + 23 sin xcos x - cos4 x的最小正周期和最小值，并寫出該函數(shù)在區(qū)間0,兀上的單調(diào)增區(qū)間.【分析】通過平方差公式和化一變形公式化成y = Asin.x + p)這種形式，即可討論其所有的性質(zhì).【解答】f (

7、Jt) = (sin2 x + cos2 x)(sin2 x一cos2 x) + 2的sin xcosx=一 cos 2x + y/3 sin 2x=2sin(2x-彳)所以Tr、最小值為一2；/rrr rr由 一一+ 2QrS2x- S+ 2Qr 得 26 2- + k7rx/3sinxcosx + 2cos2 x-l(xeR).(1)求函數(shù)/(%)的最小正周期及在區(qū)間0,-上的最大值和最小值; 2(2)若 f(x0) = -,x0 e求cos2xq的值.【分析】可以化成y = Asin(o: + 0)的形式，然后再求周期.及最值等，本題應(yīng)先降毎，利用 2cos2 x-1 = cos2x ,

8、比較簡單，必須掌握.【解答】(1)/(x) = V3(2sinxcos x) + (2cos2 x-1)=/3 sin 2x + cos 2x = 2 sin(2x + 彳)所以函數(shù)/(x)的最小正周期為兀.因?yàn)?(x) = 2sin 2%+在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間彳，彳上為減函數(shù),心心卜，慮)7所以函數(shù)/(X)在區(qū)間上的最大值為2,(2)由(1)可知/(如)= 2sin 2x0 + 6又因?yàn)?/(a0) = 7 ,所以sin| 2x0+-j =由x0 e 獰 d62/r 7tt所以3-4*10【點(diǎn)評】本小題主要考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦、函數(shù)y = 4sin(ex + 0)的性質(zhì)、

9、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦等基礎(chǔ)知識，考查基本運(yùn)算能力.5 3例 4.在ABC 中，sin A = ,cosB = ,求 cosC 的值.135【分析】由于是三角形，所以隱含的條件就是A + B + C = ,因此cosC = cos7T G4 + B) = cos(A + 3),那么利用兩角和的余弦公式就可以求解.3 4【解答】因?yàn)閏os B =- 所以sin B =,555I?又因?yàn)閟in A = 一 ,所以cos A = 一 ；1313(1) 若角A為銳角，顯然符合題意；(2) 若角A為鈍角，因?yàn)閟in A = 所以A ,所以B- + - = .不符合題意，舍去；6 412所以

10、 cos c = -cos(A + B)=sin A sin B 一 cos A cos B54 12 3=x -一X-13 513 51665*【點(diǎn)評】本題的思路還是比較淸晰的，但是經(jīng)過計(jì)算之后，會發(fā)現(xiàn)有兩組值，而其中有一組值是不符合題 意的，需要舍去，所以這里是一個(gè)非常容易忽略的地方，因此需要特別注意.【分析】從形式上看0 = (a + 0) a,所以可以利用兩角差的余弦公式展開進(jìn)行計(jì)算.3 4又因?yàn)?sin(a + 0) = = ,所以cos(a + J3) = -.5因此 a + p/525【點(diǎn)評】這個(gè)題目同例4類似，在求cos(a + 0)的值時(shí)有兩個(gè)值，但是同樣需要根據(jù)已知條件舍去

11、一個(gè)值,這是本題的難點(diǎn)，具體操作時(shí)要和學(xué)生進(jìn)行充分地討論，為什么要舍去一個(gè)值，明白其來龍去脈.四、【解法小結(jié)】1. 運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對性，要注意升次、降次的靈活運(yùn)用， 要注意“1”的各種變通，熟悉三角公式的整體結(jié)構(gòu)，靈活變換，既要熟悉三角公式的代數(shù)結(jié)構(gòu)，更要掌 握公式中角和函數(shù)名稱的特征；2. 在三角求值時(shí)，往往要估計(jì)角的圍后再求值；3. 重視三角函數(shù)的三變”：三變”是指“變角、變名、變式”；變角：對角的分拆要盡可能化成同名、 同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù) 等.在解決求值、化簡、證明問題時(shí)

12、，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求問題的整體形式中的差異，再選擇 適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃?五、【布置作業(yè)】必做題:1.設(shè)a為銳角，若cos4一,則sin(2a + )的值為4 122. 2jl-sin8+ /2 + 2cos8 等于3如果血9+ 0)sin(0.xeR )的最小正周期為10龍6(1) 求“的值；(2) 設(shè)/(5a + ?龍)=,求cos(a + 0)的值.235617答案:i. 72；2. -2sin4；3.竺工50m + n4.1小13co = - , cos(a + 0)= 585選做題：設(shè) fx) = 2sin4 x + 2cos4 x + cos2 2x-3 .(1) 求函數(shù)/(x)的最小正周期；(2) 求函數(shù)/(x)在閉區(qū)1上的最小值及相應(yīng)x的取值.16 16答案：(1) y(x) = cos4x-l,r = ； (2) /(x)min =- -l,x = .2 2 16六、【教后反思】三角恒等變換這一章最大的特點(diǎn)是公式非常多，因此