1、線性代數中的幾何背景線性代數中的幾何背景 一、方程及方程組的幾何意義一、方程及方程組的幾何意義 二、行列式的幾何意義二、行列式的幾何意義 三、三、平面上線性變換的幾何意義平面上線性變換的幾何意義 四、二維矩陣特征值的幾何意義四、二維矩陣特征值的幾何意義 五、向量組的線性相關性的幾何意義五、向量組的線性相關性的幾何意義 六、二次型的正定性及其所對應的六、二次型的正定性及其所對應的 二次曲面二次曲面12,ff x x一、方程及方程組的幾何意義一、方程及方程組的幾何意義二元一次方程二元一次方程在幾何上表示的是一根直線，則兩個二元一次方程組在幾何上則表示兩根直線的位置關系： 相交=有惟一解 平行=無解

2、 重合=無窮多解 例1 求解下列三個線性方程組 （a） （b） （c）12122 =-1 3 = 3 xxxx 12122 = -1 2 = 3 xxxx 12122= -1 2= 1 xxxx 圖1 例1兩個二元線性方程解的三種情況：(a)適定 (b)超定 (c)欠定 用ezplot(s1),hold on, ezplot(s2),命令 可以解出結果如下圖 其中s1和s2分別為方程的字符串表達式 若有三個二元一次方程或更多個數的二元一次方程，代數上稱之為 “超定方程”，一般是不相容的和無解的，幾何中平面上三根或更多根直線很難交于一點。 例2 求解方程組 用圖解法解例2 121212=1 =

3、32=-3 xxxxxx 圖2 例2的解（二元一次超定方程情況） 三元一次方程三元一次方程在幾何上表示平面，從而兩個三元一次方程構成的方程組表示兩個平面的交線，三個三元一次方程構成的方程組兩兩聯立求交線，得到兩個二元一次方程，對于求得兩根交線在xoy面上的投影。求得兩根交線的交點即為方程組的解。若三個平面不重合且沒有交線或交點，則表示該方程組無解。如下例。 例3 求解下列線性方程組，并畫出三維圖形來表示解的情況。（1） ； （2） ；（3） ； （4）35 . 0223315321321321xxxxxxxxx030208321321321xxxxxxxxx254124575321321321

4、xxxxxxxxx151078533232xxxxx利用MATLAB的M文件編輯器繪圖可得： 圖3 三元非齊次線性方程組解的幾何意義 從圖3中可以看出： 方程組（1）的解為三個平面的交點，故該方程組有 唯一解； 方程組（2）的三個平面剛好相交于同一條直線，這個齊次線性方程組有無窮多解，即解空間是一維的。 方程組（3）的三個平面沒有共同的交點。即方程組無解。 方程組（4）也無解。 推廣之后，更多元的線性代數方程組，則表示更高維空間內的方程組，雖然很難想象直觀的幾何圖形，但關于方程的基本概念是一脈相承的，涉及到計算就是從幾何概念過渡到代數概念。如：階數、維數等概念。二、行列式的幾何意義二、行列式的

5、幾何意義 二維 已知向量 由向量 和 所構成的 平行四邊形的面積為 行列式 的絕對值 ),(),(2211bavbauuv1122abab 三維 已知三個向量 由這三個向量所構成的平行六面體的體積即為 三階行列式 的絕對值 如圖 ),(),(),(321321321cccwbbbvaaau111222333abcabcabc三、平面上線性變換的幾何意義三、平面上線性變換的幾何意義例3 已知向量 ， 矩陣 ， ， ， ， 。 請分析經過線性變換 后，向量 與原向量 的幾何關系 。 21x10011A10012A2005 . 03Acossinsincos4A3xAyiiiyx4 , 3 , 2

6、, 1i 繪制圖形如下圖所示： 圖4 線性變換的幾何意義 從圖從圖4中可以看出：中可以看出：矩陣 對 進行線性變換的結果 為向量 的豎直軸對稱向量；矩陣 對 進行線性變換的結果 為向量 的水平軸對稱向量；矩陣 對 進行線性變換的結果 為把向量 的橫坐標乘以0.5，把 的縱坐標乘以2得到的向量；矩陣 對 進行線性變換的結果 為把向量 按順時針方向旋轉 所得到的向量。1Ax1yx2Ax2yx3Ax3yxx4Ax4yx3 例例4：設x為二維平面上第一象限中的一個單位方塊，其四個頂點的數據可寫成 把不同的A矩陣作用于此組數據，可以得到多種多樣的結果yi=Ai*x。用程序ag911進行變換計算，并畫出x

7、及yi圖形： x=0,1,1,0;0,0,1,1; subplot(2,3,1), fill(x(1,:),0,x(2,:),0,r)A1 =-1,0;0,1, y1=A1*xsubplot(2,3,2), fill(y1(1,:),0,y1(2,:),0,g) 01100011x繪制幾何圖形可得： 使用MATLAB時，行列式用Di=det(Ai)求得，特征值和特征向量則用pi,lamdai=eig(Ai)計算，算得的結果如下：1234 1 0det()1,11 , 0 1 0 1 det()1.5,1.0 1.5 , 1 0 0 1det()0.2,0.2 1.0 , 1 0 1.0 1.0

8、det()1,11 , 0. DDDD 111222333444ApApApAp5 0. 0.7071 0.7071 1,0.866 + 0.5i 0.8660.5i ,00.7071i 0 + 0.7071iD55p關于筆算與機算的結合關于筆算與機算的結合 矩陣的賦值和其加、減、乘、除（求逆）命令； 矩陣化為最簡行階梯型的計算命令；U0,ip=rref(A) 多元線性方程組MATLAB求解的幾種方法；x=inv(A)*b, U=rref(A) 行列式的幾種計算機求解方法；D=det(A),L,U=lu(A);D=prod(diag(U) n個m維向量組的相關性及其秩的計算方法和命令; r=r

9、ank(A),U=rref(A) 求線性方程組的基礎解系及方程解的MATLAB命令；xb=null(A) 矩陣的特征方程、特征根和特征向量的計算命令；f=poly(A);P,D=eig(A) 化二次型為標準型的MATLAB命令；yTDy=xTAx; 其中y=P-1x, 解高階線性方程組的方法 解右列方程組 AX=b 可有多種方法,如 (1) X=Ab (2) 化為行最簡型 A=3,-4,2,2,-1;0,-6,0,-3,-3;4,-3,4,3,-2; 1,2,1,0,-5;-2,6,-2,1,3 b = 2; -3; 2; -2; 1; X=inv(A)*b, pause C=A,b, Uc,

10、ip=rref(C)12345245123451235123453 -4 + 3 + 2 - = 2 -6 3 -3 = -34 -3 + 4 + 3 - 2 = 2 + 2 + -5 = -2-2 + 6 - 2 + 3 =1xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx應用一：線性方程組與矩陣應用一：線性方程組與矩陣1.1 插值多項式例例1 給定t-y平面上的三個點(1,2),(2,3)和(3,6)，求過這三點的二次多項式函數：解：解：本題歸結為求a,b,c三個系數，使它們滿 足下列各方程2( )qta bt ct 這是典型的三元線性方程組，用Matlab時，鍵入：B=1,1,1,2;1,2

11、,4,3;1,3,9,6; x=rref(B)得到x = 1 0 0 3 0 1 0 -2 0 0 1 1 (1)2,2(2)3,243(3)6,396qa b cqabcqabc x矩陣的最后一列即為a，b，c的值，則待求二次多項式為： 例例2 下表給出函數 上4個點的值，試求三次插值多項式 ，并求 的近似值。2( )32q ttt( )f t230123( )ptaat atat(1.5)fti0123f(ti)30-16解：解：令三次多項式函數過表中已知的4點，可以得到四元線性方程組：應該用計算機求解，鍵入：A=1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27, b=3;

12、0;-1;6, s=rref(A,b) 230123()ptaat atat627931842033210321032100aaaaaaaaaaaaa得到x = 1 0 0 0 3 0 1 0 0 -2 0 0 1 0 -2 0 0 0 1 1得到 ，三次多項函數為 , 故 近似等于01233,2,2,1aaaa23( ) 3 22p tttt (1.5)f23(1.5)32(1.5)2(1.5)(1.5)1.125p 1.2 平板穩態溫度的計算平板穩態溫度的計算 在鋼板熱傳導的研究中，常常用節點溫度來描述鋼板溫度的分布。例例3 假設圖1中鋼板已經達到穩態溫度分布，上下、左右四個邊界的溫度值如

13、圖所示，而表示鋼板內部四個節點的溫度。若忽略垂直于該截面方向的熱交換，那么內部某節點的溫度值可以近似地等于與它相鄰四個節點溫度的算術平均值，如。請計算該鋼板的溫度分布。圖1 平板的溫度分布解：根據已知條件可以得到以下線性方程組：化簡為標準的矩陣形式如下：4/50304/50104/30204/2010324413412321TTTTTTTTTTTT 在MATLAB命令窗口輸入： A=4,-1,-1,0; -1,4,0,-1; -1,0,4,-1; 0,-1,-1,4; b=30; 50; 60; 80; U=rref(A,b)8060503041101401104101144321TTTT結果

14、為：U = 1.0000 0 0 0 21.2500 0 1.0000 0 0 26.2500 0 0 1.0000 0 28.7500 0 0 0 1.0000 33.7500得到方程組的解為： ， ， ， 。 在例3中，把鋼板內部分成了22個節點，本例把鋼板內部分為55個節點，如圖2所示。求鋼板的穩態溫度分布，并繪制溫度分布圖形。25.211T25.262T75.283T75.334T 鋼板的溫度分布如圖3所示。其中x、y坐標分別表示鋼板橫、縱方向的節點數，高度表示節點的溫度值，該三維圖形形象地反映了鋼板的溫度分布。圖3 鋼板的溫度分布 1.3 交通流量的分析交通流量的分析例例4 某城市有

15、兩組單行道，構成了一個包含四個節點A,B,C,D的十字路口，如圖2所示。汽車進出十字路口的流量（每小時的車流數）標于圖上。現要求 計 算 每 兩 個 節 點 之 間 路 段 上 的 交 通 流量 。（假設，針對每個節點，進入和離開的車數相等）圖2 單行道4節點交通流圖4321,xxxx解：根據已知條件可以得到，四個節點的流 通方程為 節點A： 節點B： 節點C： 節點D： 將以上方程組進行整理，得31064060039048052061045014433221xxxxxxxx12233414=160=40 =210 =330 xxxxxxxxMatlab程序ea110為 A=1,-1,0,0;

16、0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1 b=160;-40;210;-330 U0=rref(A,b) 可以得出其最簡行階梯形矩陣 由于U0的最后一行為全零，也就是說，四個方程中實際上只有三個獨立方程，所以該方程組為欠定方程，存在無窮多組解。 1 0 0 1 330 0 1 0 1 170 U0= 0 0 1 1 210 0 0 0 0 0若以 為自由變量，方程組的解可以表示為： 如果有一些車圍繞十字路的矩形區反時針繞行，流量 。都會增加，但并不影 響出入十字路的流量。這就是方程組有無窮多解的原因。 4x210170330434241xxxxxx4321,xxxx人口遷徙問題 例

17、5 假設一個城市的總人口數是固定不變，但人口的分布情況變化如下：每年都有5的市區居民搬到郊區；而有15的郊區居民搬到市區。若開始有700000人口居住在市區，300000人口居住在郊區。請利用分析：（1）10年后市區和郊區的人口各是多少？（2）30年后、50年后市區和郊區的人口各是多少？（3）分析（2）中數據相似的原因。解：這個問題可以用矩陣乘法來描述。令人口變量 其中 為市區人口所占比例， 為郊區人口所占比例。在n+1年的人口分布狀態為：用矩陣乘法可寫成： ,nnnxyXnxny110.950.150.050.85nnnnnnxxyyxy1110.950.150.050.85nnnnnnxx

18、yyXAX 開始市區和郊區的人口數為 可以得到n年后市區和郊區的人口分布：因此10年后的人口可用程序計算如下：A=0.95,0.15;0.05,0.85;X0=700000;300000;X10=A10*X0 程序運行的結果為：市區和郊區人口數約為：744630和255370。 000700000,300000 xyX2nnn-1n-20X = AX= A X= A X1010107.44637446301.0005,2.5537255370 xeyX 無限增加時間n，市區和郊區人口之比將趨向一組常數0.25/0.75。為了弄清為什么它趨向于一個穩態值，可以將A對角化。令 ，其中為對角矩陣，則

19、有對角矩陣的冪次可以化為元素的冪次 所以，它就很容易計算。 -1A = ppkkk-1-1-1-1A = pp ppppp p 00kk-1kx= A x = p p x1122kkk k程序la24% 分析n年后城市人口分布A=0.95,0.15;0.05,0.85;X0=700000;300000;P,lamda=eig(A);syms n % 定義符號變量nXn=P*lamda.n*inv(P)*X0 % .n對矩陣lamda中所有元素進行冪運算 計算結果為： 隨n增大后一項(4/5)n趨近于零。75000050000*4/525000050000*4/5nnXn多項式插值與擬合 例6

20、下表給出了平面坐標系中五個點的坐標。 （1）請過這五個點作一個四次多項式函數， 并求x=5時的函數值。用MATLAB繪制多項式函數曲線、通過已知點及插值點。 （2）請根據這五個點，擬合一個二次多項式函數， 并用MATLAB繪制多項式函數曲線及已知的五個點。x01234y-270210-75234401234( )pxaa xa xa xa x22012( )pxaa xa x解：（1）根據已知條件，把五個點的坐標值分別代入四次多項式函數，可以得到如下線性方程組： 其中矩陣：2340123423401234234012342340123423401234000027111102222213333

21、0444475aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa Aa = y234023412342234323442710000011111,21122220133337514444aaaaaAay 系數矩陣A的行列式為范德蒙(Vandermonde)行列式，且五個坐標點的橫坐標各不相同，則該行列式不等于零，所以方程組有唯一解。 寫出程序：x=0;1;2;3;4; % 輸入已知點坐標y=-27;0;21;0;-75;% 構造范德蒙矩陣，也可用內置的vander函數A=x.0,x.1,x.2,x.3,x.4;a=Ay; % 得到適定方程組的唯一解a， 運行程序，得到 a(1)=-27,a(2

22、)=12,a(3)=26,a(4)=-12,a(5)= 1多項式擬合要解一個超定方程 把五個點的坐標值分別代入二次多項式函數，可以得到如下線性方程組： 其中，20122012201220122012002711022213304475aaaaaaaaaaaaaaa Aa = y22021222271000111,21122013375144aAaaya 該方程組有三個未知數，但有五個方程，進一步分析可以得到該方程組無解，即不存在一個二次多項式曲線剛好能過已知的五個點。MATLAB軟件提供了一個利用最小二乘法解決超定方程組解的方法。求系數的公式也是a=Ay，以找到一條二次曲線來近似地描述已知5點的變化情況。 對比插值和擬合的曲線如下圖剛體的平面運動 例7 用平面坐標系中的一個閉合圖形來描述剛體，用一個矩陣X來表示它。X的一列表示剛體一個頂點的坐標。為了使