1、習題7-1用積分法求圖示各懸臂梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角，梁的抗彎剛度EI 為常量。7 1（ a） M( x)M 0EJyM 0EJyM 0 xCEJy1 M 0x2Cx D2； y邊界條件 : x0 時y00代入上面方程可求得：C=D=0y1 M 0 x2= y1 M 0 x2EJEJB=1M0lyB =1M 0 l 2EJ2EJ（ b） M( x)q(lx)21 ql 2qlxqx 2222EJy1 ql 2qlxqx222EJy1 ql 2 x1 qlx 2qx3C226EJy1 ql 2 x21 qlx3qx 4CxD4624； y邊界條件： x0時y00代入上面方程可求得：C=D=0y11

2、ql2x213qx4(4qlx)EJ624=y1 (- 1 ql 2 x1 qlx 21 qx3 )EJ226B = -1 ql 3yB = -1 ql 46EJ8EJ（ c）q(x)lx q0lM (x)1q( x)lxlxq0 l3x286lEJyq0lx36lEJyq0l4Cx24lEJyq0lx5CxD120l； y邊界條件： x0時y00代入上面方程可求得：Cq0l 4Dq0 l 524l120lyq0lx5q0 l 4q0l 5120l EJx24lEJ120l EJq0 x2(10l 310l 25lx 2x3 )120l EJBq0 l 3yBq0 l 430EJ24EJ(d)

3、M (x)PaPxEJyPaPxEJyPax1 Px2C2EJy1Pax21Px3CxD26； y邊界條件： x0時y00代入上面方程可求得：C=D=0y11 Pax2 1 Px3EJ26y1Pax1 Px2EJ2yByCC gaPa3Pa2ga5Pa33EJ2EJ6EJBPa22EJ(e)M ( x)13a2qax 0xaqg2M ( x) 2q2ax2ax2a23a2EJy1gqaxq2EJy1qa(3a x1 x2 ) C122EJyqa(3a x21 x3 )C xD14611； y邊界條件： x0時y00代入上面方程可求得：C=D=0y1qax24xqax218a9a 2x 0 x

4、a24EJ12EJEJy21 q(2 a) 24axx2 )2x3EJy212x2)C2q(4a2ax32x4EJy212x223C2 xD2q(2aax)2312邊界條件： x a 時y1y2； 12代入上面方程可求得：C29a2D2qa4624qy216x4 128ax3384a2 x264a3 16a4a x 2a384EJyB41 qa424 EJB7 qa 36 EJ(f)M ( x)15qa22qaxqx2xa220M ( x)25qa22qaxqaxaax 2a252EJy1q5a22ax1x222q5a2x213C1EJy12axx6EJy1q5a2x21314C1xD14ax

5、x324邊界條件： x0時y0； y0代入上面方程可求得：C1=D1=0EJy2q(2a2ax)EJy2q(2a2 x1 ax2 )C22EJy2q( a2 x21ax3 )C2 xD2邊界條件： xa6時y1y2； y1y2C29a3D2a4624yB71 qa424 EJB13 qa36EJ7-2 用積分法求圖示各梁的撓曲線方程，端截面轉(zhuǎn)角 A和 B，跨度中點的撓度和最大撓度，梁的抗彎剛度 EI 為常量。7-2(a) 解：M ( x)M 0 xlEJyM (x)M 0xlEJyM 0x2C2lEJyM 0x3CxD6l邊界條件： x0y0D 0xly0CyM 0l 2xx36EJll 3y

6、M 0 l 213x26EJll 3當 y0 時，可得xl；此時撓度最大3中點撓度 ylM 0 l 2216 EJAM 0 lBM 0l6EJ3EJ（ b）解： 設中點為 C點，則分析 CB段M 0l6f M 0l 2 9 3EJM ( x)1M 0 xlM (x)M 0xEJy1lM 0x2EJy1C2lEJy1M 0x3CxD6l邊界條件： x0y0D0x ly0CM 0 l242y1M 0x3lx6EJl4yM 03x2l6EJl4可得最大撓度fM 0l 2l）723EJ（ x23AM 0lBM 0l24EJ24EJ（ c）解：EJyq0xlq0 x2CEJy2lq0 x3CxDEJy6

7、lq0 x4Cx2DxAEJy24l2q0 x5Cx3Dx2AxBEJy120l62邊界條件： x0y0xly0y0y0Cq0lD06A7q0l 3B0360q0 x3x47l410l2x2y360lEJq0y15x430l 2 x2360lEJq0l 4最大撓度：f（ x0.5193l ）153EJ7q0l 3q0l 3A360EJB45EJ（ d）解：M (x)13qlxqx20xlM (x)282ql lxl2xlEJy1EJy183qlxqx2823qlx 2qx31663qlx3qx42C1EJy1EJy2EJy2EJy24824qllx8qllxx282qllx2x3826C1xD

8、1C2C2 xD2x0y10x0邊界條件：y1y2;xl 2xl 2C19ql 3C217ql 3384384ql 4D10D1384y20yy12y1qx9l 324lx216 x30 xl384EJ2y2qll 317l 2 x24lx 28x3lx l384EJ2f41ql 4(x0.25l )1536 EJyl5ql 42 768EJ 3ql 3A128EJ7ql3B384EJ7-3已知下列各梁的抗彎剛度EI 為常量，試用初參數(shù)法求各梁的撓曲線方程，并計算 C、 yC、及 D、 yD 。7-4計算下列鉸接梁在 C處的撓度，設梁的抗彎剛度 EI 為常量。(a) 解：M 0aM0ACM 0

9、3M 0a2ayca3EJ3EJ(b) 解：qA1 qa2CCB1 qa22yc2a3EJ(c) 解：4qa43EJAPPDyC yDgB ayCBPPa3Pa33EJ3EJPa3EJ(d) 解：APPBEyC yEgBayCP 2a3Pa33EJ 3EJ 10Pa33EJPa33EJDCPPa33EJ7-5彈性模量門式起重機橫梁由4根 36a工字鋼組成如圖所示，梁的兩端均可視為鉸支，鋼的E=210Gpa。試計算當集中載荷P 176 kN 作用在跨中并考慮鋼梁自重時，跨中截面 C的撓度 yC。q587.02 N / m解：查自重得：15760 cm4JfPl 35ql 448EJ384EJ17

10、6103113482101091576010 84587.0251143852101091576010 840.0377m3.77cm7-6松木桁條的橫截面為圓形，跨長為l =4m，兩端可視為簡支，全跨上作用有集度為q kN/m 的均布載荷。已知松木的許用應力 10MPa，彈性模量 = 103Mpa。此桁條的E容許撓度 y= l /200 ，試求此桁條橫截面所需的直徑。解：此松木條的最大撓度為5ql 4384 EJ所以 ：5ql 4l384 EJ20051.821034364200d1100.006179384Mql 2g 321.689MPaW8d 2所以取 d4 0.0061790.28m

11、7-7試用虛梁法求圖示懸臂梁自由端B的 B 和 yB 。(a) 解：(-)2Pl3Pl2 l3Pl32 Pl 3B12 Pl2 l11 Pl1 l2EJ332EJ335Pl 218EJyB11 2 Pl2 l1 4 l1 1 Pl1 l2 2 lEJ233392333918Pl 381EJ(b) 解：B111 qa2a9qa3EJ326EJyB11 qa2a3 a b1 qa4qa3bEJ324EJ867-8 試用虛梁法求圖示簡支梁跨中撓度yC 。解：PaPaQAf3Pa22yC3Pa2 g1gaga122aPa a3Pa a2EJ214P a36EJ7-9 圖示簡支梁中段受均布載荷作用，試用

12、疊加法計算梁跨度中點的撓度yC ，梁qC的抗彎剛度 EI 為常數(shù)。解：334qb baf Cqb aqb3EJ6EJ8EJ5qb4qa 2b2qa3b5qab324EJEJ3EJ6EJ7-10(a) 解：yCC(b) 解：用疊加法求圖示外伸梁外伸端的撓度和轉(zhuǎn)角，設EI 為常量。qa 2a21qa22aqa45q4216EJa3EJaa8EJ 24EJqa 2a21qa22aqa3qa3216EJ3EJ6EJ4EJyCql 3aqa3lqa4qa3a34a2ll 324EJ6EJ8EJ24EJql3qa31 qa2 lqaC24a2 l4a3l 324EJ6EJ3EJ24EJ7-11用疊加法求圖

13、示懸臂梁中點處的撓度yC ，和自由端的撓度yB ， EI 為常量。解：4q 3l3ql4q3ll2399ql4yC443EJ8EJ6EJ46144EJq l4317 ql 223qlll4C24232297ql8EJ3EJ2EJ768EJ7-12外伸梁受力及尺寸如圖示，欲使集中力作用點處的撓度為零，試求與ql間PDP的關系。解：ql 22P322lyD2l048EJ16EJP 3 ql47-13若圖示梁截面A的轉(zhuǎn)角A0 ，試求比值a 。b解：PalPblA3EJ06EJa1b27-14懸臂梁的固定端為彈性轉(zhuǎn)動約束，該處截面轉(zhuǎn)角kM ，其中 k為已知常數(shù)，M為該梁面上的彎矩，已知梁的抗彎剛度為E

14、I 。試求梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角。解：ql 4kql 3y28EJql 3kql26EJ27-15 簡支梁 AB，承受集中力 P如圖示， A端為固定鉸支座， B端為彈性支座，彈簧常數(shù)為 k(N/m) ，梁的抗彎剛度為 EI，求 C處的撓度。解：P2ll22yCP33l2l2l9k6lEJ33P4Pl 39k243EJ7-16圖示梁的右端為一滑塊約束，它可自由上下滑動，但不能轉(zhuǎn)動和左右移動，若EI 為已知，試求滑塊向下的位移。解：MxPlPxEJyPlPxEJyPlxP x2 C2EJy1 Plx 2P x3 Cx D26邊界條件： x0xl時y 0時y 0Pl 3C0D3yAPl 33EJ7-1

15、7已知在梁的撓曲線方程為yq0 x( 3x410l 2 x27l 4 ) 。試求 （1）梁中間360EIl截面（x= l）上的彎矩；（2 ）最大彎矩值；（3）分布載荷的變化規(guī)律；（4）梁的支承情2況。解： MEJyq060 x360l2x360ll1 q0 l 2當 x時M216最大彎矩時：M 0即q0180x260l 20xm1l0.064q0l 2360l3M max分布荷載為：q Mq0 xl根據(jù)： x0時 y0, y0xl時 y0, y0支承情況為：梁的左端為固定端，右端為鉸支端。7-18 梁的軸線應彎成什么樣的曲線， 才能使載荷 P在梁上移動時其左段梁恰好為水平線（寫出該曲線方程式）

16、。題 7-18 圖解：MxPxEJyPxEJy1Px2C2即：Px 2C=2EJx0 時0C 0= Px 2Px32EJyxdx06EJ即：若使P 在梁上移動時左端保持水平則：Px3y6EJ7-19圖示等截面梁的抗彎剛度EI 。設梁下有一曲面 yAx3 ，欲使梁變形后恰好與該曲面密合，且曲面不受壓力試問梁上應加什么載荷？并確定載荷的大小和方向。解：yAx3y3Ax2y6 Axy 36 Ay 40Q y 40q x 0 即不受分布荷載。設右端受集中力PQ EJyMxMx6EJAxPx6EJAxP6EJA即：受向下的集中荷載6EJA .7-20 重量為 P的直梁放置在水平剛性平面上，當端部受集中力

17、 P/3 后，未提起部分保持與平面密合， 試求提起部分的長度 a等于多少（提示：應用梁與平面密合處的變形條件） ？解： M1EJ當 xa 時所以10 即： M a 0P aP a2032la 2 l37-21簡支梁受力如圖所示，若E為已知，試求 A點的軸向位移。梁的截面為b h矩形。解：21221Plx2xlPl223332EJlP26lll23x 2 l3P 2 l22 l1 l22 lP 2 l2B133P 3 33l 22 lEJl226l314Pl 2Pl 25Pl 21125Pl 210Pl 2EJ271881E bh316227Ebh3xAh10 Pl 2h5Pl 2B27Ebh

18、3227 Ebh227-22 懸臂梁受外力偶矩M如圖示，若l 3m，截面為工字鋼，max60 Mpa， E= 105 Mpa。試求撓曲線的曲率半徑。試分別根據(jù)精確結(jié)果及小撓度微分方程，判斷撓曲線是怎樣的幾何曲線（不必具體列出曲線方程） ?若所得結(jié)果不同，試說明為何有這些差別 ?解：M1EJEJMM600maxymaxJJ2370W 237M 600237142200EJ2.110623703.49104 cmM142200d 2 y精確方城： 1dx2322dy1dx小撓度下：1d 2 ydx27-23 設在梁頂面上受到均布的切向載荷，其集度為t，梁截面為b 矩形，彈性模h量 E為已知。試求梁

19、自由端 A點的垂直位移及軸向位移（提示：將載荷向軸線簡化）。解：Nxgt xMxg ght x2EJythx2EJythx 2C4EJythx3Cx D120; y xl時y0Cthl 2Dthl 346thl 2yAthl 3A4EJ6EJtl 2htl 2xAgQ A gEbh2Ebh27-24 簡支梁上下兩層材料相同，若兩層間的摩擦力忽略不計，當梁承受均勻載荷q作用時，試求兩層中最大正應力的比值。（提示：兩梁具有相同的撓曲線）。解：M 1h11J122 M 2 h2 J2 21M 1; 1M 21EJ12EJ 2Q 11M 1J11h112M 2J 22h27-25 AB梁的一端為定鉸支

20、座A。另一端支承在彈性剛架 BCD上， AB梁中點 F受有集中力 P作用，各桿抗彎剛度均為 EI ，試用疊加法求 AB梁中點 F的撓度。解：P a aPa2c2EJ2EJgPa3yB1 c a2EJyB 2Pa36EJyFPa 31Pa3Pa317 Pa348EJ22EJ6EJ48EJ7-26試問應將集中力P安置在離剛架上的B點多大的距離 x處，才能使 B點的位移等于零。各桿抗彎剛度均為EI 。解：將載荷P 移至 B 點，可知B 點受一集中力P 和一彎矩PxPl 3集中力引起的位移：yB13EJ彎矩引起的位移為：yB 2Pl 2 x2EJyB1yB2 0Pl 3Pl 2 xx2 l3EJ02EJ37-27用疊加法求圖示各剛架在指定截面C的位移，設各桿截面相同，EI和 GI p GI均為已知。qa2a25qa4解： (a)xC2qa4EJ8EJ8EJqa2a2yC2qa42EJ4EJ(b)yCy