1、自動化自動化09數字信號處理數字信號處理第二章第二章第二章 z變換時域分析方法時域分析方法變換域分析方法：變換域分析方法：連續時間信號與系統Laplace變換Fourier變換離散時間信號與系統z變換Fourier變換一、一、z z變換的定義及收斂域變換的定義及收斂域1、z變換的定義變換的定義序列x(n)的z變換定義為：( ) ( )( )nnX zZT x nx n z z 是復變量，所在的復平面稱為z平面例：123( )21 1.5+0.5X zzzzz 2 2、z z變換的收斂域與零極點變換的收斂域與零極點對于任意給定序列x(n)，使其z變換X(z)收斂的所有z值的集合稱為X(z)的收斂

2、域。 級數收斂的充要條件是滿足絕對可和( )nnx n zM ( )( )( )P zX zQ z令X(z)X(z)=0( )0( )( ) ( )P zQ zP zQ z 則的零點：使的點， 即和當階次高于時X(z)X(z)( )0( )( )( )Q zP zQ zP z 的極點：使的點， 即和當階次高于時1 1）有限長序列）有限長序列12( )( )0 x nnnnx nn其它21Z ( )( )nnn nX zx n z其 變換：0Rocz 至少為： Re zIm jz02 2）右邊序列）右邊序列11( )( )0 x nnnx nnn110Z( )( )( )nnn nnX zx n

3、 zx n z其 變換：Roc: 0z 前式Roc: xRz 后式110:0:xxnRoc RznRoc Rz 當時， 當時，Re zIm jz0 xRz 包括處10n 因果序列因果序列 的右邊序列，Roc: 因果序列的z變換必在 處收斂在 處收斂的z變換， 其序列必為因果序列10n xRz Re zIm jz0 xRz 包括處3 3）左邊序列）左邊序列220( )( )nnx nx nnn201( )( )( )nnnnnzX zx n zx n z其 變換：Roc: 0 xzR前式Roc:0z 后式220:00:0 xxnRoczRnRoczR當時， 當時，Re zIm jz0 xR20n

4、 4 4）雙邊序列）雙邊序列n為任意值時皆有值10z( )( )( )nnnnX zx n zx n z其 變換：Roc: 0 xzR前式Roc: xRz 后式:xxxxxxRRRocRRRoc RzR當時， 當時，Re zIm jz0 xRxR1( )( )zNx nRn例：求的 變換及其收斂域Re zIm jz0X(z)=( )=( )nnNnnx n zRn z解：10=Nnnz2 1,.,1rjNzerN零點：01zN極點： （）階: 0Rocz 122111nnnnn nqqqq111Nzz21nq 時須滿足11(1)NNzzz2( )( )znx na u n例 ：求的 變換及其收

5、斂域Re zIm jz0a0X(z)=( )=( )=nnnnnnnnx n za u n za z解：0z 零點：za極點：: Rocza111az11az當時3( )(1)znx na un 例 ：求的 變換及其收斂域Re zIm jz0aX(z)=( )=(1)nnnnnx n za unz 解：0z 零點：za極點：: Rocza111111a za zaz11a z當時11=nnnnnna zaz4( )znx naa例 ：求， 為實數，求其 變換及其收斂域10X(z)=( )=nnnnnnnnnnnx n za zaza z解：10=nnnnnna za z11nnnaza zaz

6、11/azza 1011nnna zaz11azza 1X( )az當時，無公共收斂域，不存在Re zIm jz0a1/a211(1)1( )11(1)()azzaaX zazazazza當時，0,z 零點：1,za a極點：: 1/Rocaza給定z變換X(z)不能唯一地確定一個序列，只有同時給出收斂域才能唯一確定。X(z)在收斂域內解析，不能有極點，故： 右邊序列右邊序列的z變換收斂域一定在模最大大的有限極點所在圓之外之外 左邊序列左邊序列的z變換收斂域一定在模最小小的有限極點所在圓之內之內Re zIm jz0abcRe zIm jz0abcRe zIm jz0abcRe zIm jz0a

7、bc二、二、z z反變換反變換實質：求X(z)冪級數展開式z反變換的求解方法： 圍線積分法（留數法） 部分分式法 長除法( )( )x nIZT X zz反變換: 從X(z)中還原出原序列x(n)( ) ( )( )nnX zZT x nx n z2 2、部分分式展開法、部分分式展開法X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：12( )( )( )( )( )( )KB zX zXzXzXzA z( )( )x nIZT X z12( )( )( )KIZT XzIZT XzIZT Xz對各部分分式求z反變換：01( )( )( )1MiiiNiiib zB zX zA za z11011(

8、)11MNMrrnkknknkkkiACX zB zz zz z( )Re1,2,kkz zX zAskMrz用留數定理求系數：1125( ) 2316zX zzzz例：，求z反變換Re zIm jz032 23353123zzX zAReszzzz 112255516623zzzX zzzzzzz解： 1252323X zAAzzzzz 12252123zzX zAReszzzz 1123X zzzz 111123121 3zzX zzzzz23z11( )1nZT a u nzaaz11(1)1nZT a unzaaz 1112z2( )nu n2z 111 3z3(1)nun 3z 23

9、1nnx nu nun 三、三、z z變換的基本性質與定理變換的基本性質與定理1、線性若( )( )( )( )ZT ax nby naX zbY zab， 為任意常數 ( )( )xxZT x nX zRzR ( )( )yyZT y nY zRzR則2 2、序列的移位、序列的移位若 ( )( )xxZT x nX zRzR ()( )mZT x nmzX zm為任意整數xxRzR則( )( )(3)( )x nu nu nX z例：，求( ) ( )(3)X zZT u nu n解： ( ) (3)ZT u nZT u n3111zzzzzz321(1)zzz2210zzzz3 3、乘以指

10、數序列、乘以指數序列若 ( )( )xxZT x nX zRzR( )nzZT a x nXaa為任意常數xxa Rza R則4 4、序列的線性加權（、序列的線性加權（z z域求導數）域求導數）若 ( )( )xxZT x nX zRzR( )( )dZT nx nzX zdz xxRzR則5 5、共軛序列、共軛序列若 ( )( )xxZT x nX zRzR*( )()ZT x nXzxxRzR則6 6、翻褶序列、翻褶序列若 ( )( )xxZT x nX zRzR1 ()ZT xnXz11xxzRR則1010、序列的卷積和（時域卷積和）、序列的卷積和（時域卷積和）設y(n)為x(n)與h(

11、n)的卷積和：( ) ( )xxX zZT x nRzR( ) ( )( )( )Y zZT y nX zH z( ) ( )hhH zZT h nRzR( )( )* ( )( ) ()my nx nh nx m h nm則且六六 、離散系統的系統函數、離散系統的系統函數、系統的頻率響應系統的頻率響應LSI系統的系統函數系統函數H(z)：單位抽樣響應h(n)的z變換( )( ) ( )( )( )nnY zH zZT h nh n zX z其中：y(n)=x(n)*h(n) Y(z)=X(z)H(z)系統的系統的頻率響應頻率響應 ：()jH e()( ) ( )jjz eH eH zDTFT

12、 h n單位圓上的系統函數單位抽樣響應h(n)的Fourier變換 1 1、因果穩定系統、因果穩定系統穩定系統的系統函數穩定系統的系統函數H(z)的的Roc須包含單位圓，須包含單位圓，即頻率響應存在且連續即頻率響應存在且連續H(z)須從單位圓到須從單位圓到 的整個的整個z域內收斂域內收斂 即系統函數即系統函數H(z)的全部極點必須在單位圓內的全部極點必須在單位圓內xRz 1）因果：2）穩定：( )nh n 序列h(n)絕對可和，即( )nnh n z 而h(n)的z變換的Roc：1z 3）因果穩定：Roc：/4/4/6/60.2,0.2,0.4,2,2,1.5jjjjeeee例：一系統的極點有

13、： 問什么情況下，系統為因果系統， 什么情況下，系統為穩定系統Re zIm jz0140.2je40.2je0.41.562je62je2z 解：因果系統： 0.41.5z穩定系統：2 2、系統函數與差分方程、系統函數與差分方程常系數線性差分方程：00()()NMkmkma y nkb x nm00( )( )NMkmkmkma z Y zb zX z101101(1)( )( )/( )(1)MMmmmmmNNkkkkkb zc zH zY zX zKa zd z取z變換則系統函數LSI311( )(1)(2)( )(1)483( )( )123y ny ny nx nx nx ny n例：

14、已知離散系統的差分方程：其中：為輸入，為輸出。）求系統函數，指出系統的零極點；）若該系統是因果穩定的，指出系統的收斂域；）求該因果穩定系統的單位抽樣響應。z解：1）對差分方程兩邊取 變換：121311( )( )( )( )( )483Y zz Y zz Y zX zz X z1112111111( )33( )3111( )1114824zzY zH zX zzzzz111, 0 , 324zz 零點：極點：系統函數：212z ）由于系統為因果穩定系統， 故收斂域： Re zIm jz00.50.2511/3 111131131111241124zzH zzzzzz 121311112424

15、zH zAAzzzzz 1121211103112324zzzH zAReszzzz3)H(z)h(n) 對求z反變換即得單位抽樣響應， 用部分分式法 214141173114324zzzH zAReszzzz 10733( )1124zzH zzz1: 2-12Rocz 根據，查表得 10 17 1( )323 4nnh nu n3 3、系統的頻率響應的意義、系統的頻率響應的意義LSI系統對任意輸入序列的穩態響應 ( )( )* ( )y nx nh n()()()jjjY eX eH e1( )()()2jjj ny nH eX eed1( )()2jj nx nX eed其中：4 4、頻

16、率響應的幾何確定法、頻率響應的幾何確定法利用H(z)在z平面上的零極點分布1()11111(1)()( )(1)()MMmmNMmmNNkkkkc zzcH zKKzd zzd()arg()11()()()()jMjmjj NMjjH emNjkkecH eKeH eeed頻率響應：則頻率響應的mjjmmmcece kjjkkkdedl e 11arg()arg()MNjmkmkH eKNM令幅角：幅角：11()MmjmNkkH eKl幅度：幅度：5 5、IIRIIR系統和系統和FIRFIR系統系統無限長單位沖激響應（IIR）系統： 單位沖激響應h(n)是無限長序列有限長單位沖激響應（FIR）系統： 單位沖激響應h(n)是有限長序列0001( )1MMmmmmmmNNkkkkkkb zb zH za za z0ka IIR系統：系統：至少有一個0k