1、1.3.3 函數(shù)的奇偶性1.3函數(shù)的基本性質(zhì) 還能回憶起：還能回憶起：什么是軸對(duì)稱(chēng)圖形？什么是軸對(duì)稱(chēng)圖形？什么是中心對(duì)稱(chēng)圖形嗎？什么是中心對(duì)稱(chēng)圖形嗎？ 中國(guó)的古建筑講求對(duì)稱(chēng)美，相映成趣中國(guó)的古建筑講求對(duì)稱(chēng)美，相映成趣, , 給人以穩(wěn)給人以穩(wěn)重、博大、端莊的感覺(jué)！重、博大、端莊的感覺(jué)！ 其實(shí)數(shù)學(xué)中的函數(shù)圖象也有對(duì)稱(chēng)性其實(shí)數(shù)學(xué)中的函數(shù)圖象也有對(duì)稱(chēng)性O(shè)xy2)(xxfOxyxxf)(Oxy|)(xxfOxy|1)(xxfOxy3)(xxfli 對(duì)于這些對(duì)稱(chēng)的函數(shù)圖象，它們體現(xiàn)對(duì)于這些對(duì)稱(chēng)的函數(shù)圖象，它們體現(xiàn)了函數(shù)的什么性質(zhì)？我們今天來(lái)學(xué)習(xí)這了函數(shù)的什么性質(zhì)？我們今天來(lái)學(xué)習(xí)這個(gè)性質(zhì)！個(gè)性質(zhì)！以上函數(shù)圖

2、像有什么共同特征呢？以上函數(shù)圖像都關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)把圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)函數(shù)稱(chēng)為偶函數(shù)x2)(xxf)1(1)1(ff)2(4)2(ff)3(9)3(ff)()(xfxf猜想：猜想：.00111124423993.)()()(,)(就叫偶函數(shù)那么函數(shù)，都有的定義域內(nèi)任意一個(gè)一般地，如果對(duì)函數(shù)xfxfxfxxf(1)偶函數(shù)的圖象有什么特征？(2)函數(shù)f(x)x2，x1,2是偶函數(shù)嗎？(3)偶函數(shù)的定義域有什么特征？(1)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)(2)函數(shù)f(x)x2，x1,2不是偶函數(shù)(3)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)o3-2221-113-1-2-33f(x) = x觀察下圖圖像有什么共同的特征呢？觀察

3、下圖圖像有什么共同的特征呢？o3-2221-113-1-2-3f(x)=x 兩個(gè)函數(shù)的圖像都兩個(gè)函數(shù)的圖像都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).f(x)=xx-3-2-101230-1-2-3149f(x)=x3x-3-2-101230-1-8-271827相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)表是如何體現(xiàn)這些特點(diǎn)的呢？相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)表是如何體現(xiàn)這些特點(diǎn)的呢？由此得到由此得到f(-x)=-x=-f(x) ，即，即f(-x)=-f(x).由此得到由此得到f(-x)=- x3 =-f(x),即即f(-x)=-f(x).當(dāng)自變量當(dāng)自變量x取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)也是也是一對(duì)相反數(shù)一

4、對(duì)相反數(shù). 從從函數(shù)值對(duì)應(yīng)表可以看到互為相反數(shù)的點(diǎn)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)表可以看到互為相反數(shù)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)有什么關(guān)系？縱坐標(biāo)有什么關(guān)系？ 對(duì)于對(duì)于R內(nèi)任意的一個(gè)內(nèi)任意的一個(gè)x，都有，都有f(-x)=-x=-f(x)，這，這時(shí)我們稱(chēng)函數(shù)時(shí)我們稱(chēng)函數(shù)f(x)=x為為奇函數(shù)奇函數(shù).函數(shù)的奇偶性的定義函數(shù)的奇偶性的定義 一般地，如果對(duì)于函數(shù)一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域的定義域內(nèi)的任意一個(gè)內(nèi)的任意一個(gè)x，都有，都有f(-x)=-f(x),那么稱(chēng)函那么稱(chēng)函數(shù)數(shù)y=f(x)奇函數(shù)奇函數(shù).奇函數(shù)的圖象有什么特征？ 我會(huì)總結(jié)我會(huì)總結(jié)偶函數(shù)是)(xf軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于的圖像函數(shù)yxf)()()()(xfxfxxf都有，域內(nèi)任

5、意一個(gè)的定義對(duì)函數(shù)奇函數(shù)是)(xf關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖像函數(shù))(xf)()()(xfxfxxf都有，域內(nèi)任意一個(gè)的定義對(duì)函數(shù)（1）判斷函數(shù)）判斷函數(shù) 的奇偶性的奇偶性.（2）如圖是函數(shù)）如圖是函數(shù) 圖像的一部分，能圖像的一部分，能否根據(jù)否根據(jù)f(x)的奇偶性畫(huà)出它在的奇偶性畫(huà)出它在y 軸左邊的圖像嗎？軸左邊的圖像嗎？ 3f(x) = x +x3f(x) = x +xyx0（1）奇函數(shù)）奇函數(shù)（2）根據(jù)奇函數(shù)的圖）根據(jù)奇函數(shù)的圖 像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)例例1.1.判斷下列函數(shù)的奇偶性：判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1 1） ； （2 2） ；（3 3） ； （4 4）4( ) f xx5( )f x

6、x1( ) f xxx分析：只要按照函數(shù)奇偶性的定義，分析：只要按照函數(shù)奇偶性的定義， 檢驗(yàn)各個(gè)函數(shù)是否符合即可檢驗(yàn)各個(gè)函數(shù)是否符合即可. .f(x)x3x2x1. 例題解析解解：（：（1 1）對(duì)于函數(shù)）對(duì)于函數(shù)f(x)=xf(x)=x4 4，其定義域是，其定義域是 . . 因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x x，都有，都有 所以，函數(shù)所以，函數(shù)f(x)=xf(x)=x4 4為偶函數(shù)。為偶函數(shù)。(,) 44()()( ), fxxxf x(2)(2)對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)f(f(x x)=)=x x5 5，其定義域?yàn)椋涠x域?yàn)?. . 因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x x

7、，都有，都有 所以，函數(shù)所以，函數(shù)f(f(x x)=)=x x5 5為奇函數(shù)為奇函數(shù). .(,) 55()()( ), fxxxf x(3)(3)對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù) ，其定義域是，其定義域是 x x| |x x0.0.因?yàn)閷?duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)因?yàn)閷?duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)x x，都有，都有所以，函數(shù)所以，函數(shù) 為奇函數(shù)為奇函數(shù). .1( ) f xxx1( ) f xxx11()()( ), fxxxf xxx(4)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?，1)(1，)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故函數(shù) f(x)不具有奇偶性. 用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)奇偶性的一般步驟是：用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)奇偶性的一般步驟是：（1

8、1）先求函數(shù)的定義域，由于在函數(shù)奇偶性的定義中都是）先求函數(shù)的定義域，由于在函數(shù)奇偶性的定義中都是x x和和-x-x對(duì)應(yīng)出現(xiàn)，故具備奇偶性的函數(shù)的定義域區(qū)間一定關(guān)對(duì)應(yīng)出現(xiàn)，故具備奇偶性的函數(shù)的定義域區(qū)間一定關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如果求出函數(shù)的定義域不是關(guān)于坐標(biāo)原于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如果求出函數(shù)的定義域不是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，則這個(gè)函數(shù)不具備奇偶性點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，則這個(gè)函數(shù)不具備奇偶性. .（2 2）驗(yàn)證）驗(yàn)證f(-x)=f(x) f(-x)=f(x) ，或者，或者f(-x)=-f(x).f(-x)=-f(x).（3 3）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義得出結(jié)論）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義得出結(jié)論. . 歸納升華1.1.函數(shù)函

9、數(shù)f(x)=xf(x)=x2 2，x0 x0，) )的奇偶性是的奇偶性是( )( )A.A.奇函數(shù)奇函數(shù) B.B.偶函數(shù)偶函數(shù)C.C.非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù) D.D.既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)【提示提示】函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)是函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)C C 達(dá)標(biāo)檢測(cè)2.2.已知函數(shù)已知函數(shù)f f（x x）為奇函數(shù)，且當(dāng)）為奇函數(shù)，且當(dāng)x x0 0時(shí)，時(shí)，f f（x x）= x= x2+ + ，則，則f f（-1-1）= =（ ）A A2 2 B B1 1 C C0 0 D D-2-21x解題提示：解題提示：由條件利用函數(shù)的奇

10、偶性可得；由條件利用函數(shù)的奇偶性可得； f f（-1-1）=-f=-f（1 1），運(yùn)算求得結(jié)果），運(yùn)算求得結(jié)果D D3.3.若函數(shù)若函數(shù)f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+3a+b+bx+3a+b是偶函數(shù)，定義域是偶函數(shù)，定義域?yàn)闉閍-1,2aa-1,2a, ,則則a=_a=_，b=_.b=_.【解析解析】因?yàn)槎x域?yàn)橐驗(yàn)槎x域?yàn)閍-1,2aa-1,2a關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以所以a-1+2a=0a-1+2a=0，所以，所以a=a=又因?yàn)橛忠驗(yàn)閒(-x)=f(x)f(-x)=f(x)，所以所以 x x2 2-bx+1+b= x-bx+1+b= x2 2+bx+1+b,+bx+1+b,由對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得，由對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得，-b=b-b=b，所以，所以b=0.b=0.1.3130 013134. 4. 判斷下列函數(shù)的奇偶性判斷下列函數(shù)的奇偶性(2) f(x)= - x2 +1(1) f(x)=x- (1) f(x)=x- 1x(3). f(x)=x2+x (4) f(x)=0答案答案:(1)奇函數(shù)奇函數(shù)(