1、11.6 變量間的相關關系、統計案例高考理數高考理數考點變量的相關性、統計案例考點變量的相關性、統計案例1.兩個變量的線性相關(1)正相關在散點圖中,點散布在從左下角到右上角的區域.對于兩個變量的這種相關關系,我們將它稱為正相關.(2)負相關在散點圖中,點散布在從左上角到右下角的區域.對于兩個變量的這種相關關系,我們將它稱為負相關.(3)線性相關關系、回歸直線如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近,就稱這兩個變量之間具有線性相關關系,這條直線叫做回歸直線.知識清單2.回歸方程(1)最小二乘法求回歸直線使得樣本數據的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.(2)回歸方程對于

2、一組具有線性相關關系的數據(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其回歸方程的截距和斜率分別為12111()(),()11,( , ).niiiniinniiiixxyyaybx bxxxx yyx ynn其中稱為樣本點的中心(3)相關系數rb.當r0時,表明兩個變量正相關;當r3.841時,有95%的把握說X與Y有關;當K26.635時,有99%的把握說X與Y有關;當K210.828時,有99.9%的把握說X與Y有關.2()()()()()n adbcab cd ac bd1.求線性回歸直線方程的步驟(1)用散點圖或進行相關性檢驗判斷兩個變量是否具有線性相關關系;(2)利用公式=,=

3、-求得回歸系數;(3)寫出回歸直線方程.2.非線性回歸方程的求法(1)根據原始數據作出散點圖;(2)根據散點圖,選擇恰當的擬合函數;b1122211()()()nniiiiiinniiiixxyyx ynxyxxxnxaybx回歸直線方程的求解回歸直線方程的求解方法1方法技巧(3)作恰當變換,將其轉化成線性函數,求線性回歸方程;(4)在(3)的基礎上通過相應變換,即可得非線性回歸方程.例1(2016課標全國,18,12分)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖.(1)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關系,請用相關系數加以說明;(2)建立y關于t的回

4、歸方程(系數精確到0.01),預測2016年我國生活垃圾無害化處理量.附注:參考數據:yi=9.32,tiyi=40.17,=0.55,2.646.參考公式:相關系數r=,回歸方程=+t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:=,=-.71i71i721()iiyy712211()()()()niiinniiiittyyttyyyabb121()()()niiiniittyyttaybt解析(1)由折線圖中數據和附注中參考數據得=4,(ti-)2=28,=0.55,(ti-)(yi-)=tiyi-yi=40.17-49.32=2.89,r0.99.(4分)因為y與t的相關系數近似為0.99,說明

5、y與t的線性相關程度相當高,從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系.(6分)(2)由=1.331及(1)得=0.10,=-=1.331-0.1040.93.所以,y關于t的回歸方程為=0.93+0.10t.(10分)t71it721()iiyy71ity71it71i2.890.55 2 2.646 y9.327b71721()()()iiiiittyytt2.8928aybty將2016年對應的t=9代入回歸方程得=0.93+0.109=1.83.所以預測2016年我國生活垃圾無害化處理量約為1.83億噸.(12分)y評析本題主要考查線性回歸直線方程及回歸分析,計算準確是解題的關鍵,注意理解

6、回歸分析的實際意義.獨立性檢驗的基本思想類似于反證法.要確認“兩個分類變量有關系”這一結論成立的可信程度,首先假設該結論不成立,即假設結論“兩個分類變量沒有關系”成立,在該假設下構造的隨機變量K2應該很小.如果由觀測數據計算得到的K2的觀察值k很大,則在一定程度上說明假設不合理.根據隨機變量K2的含義,我們把K2k0解釋為有1-P(K2k0)100%的把握認為“兩個分類變量有關系”;把K210.828,所以有99.9%的把握認為“經常使用微信與年齡有關”.(3)從“經常使用微信”的人中抽取6人,其中,青年人有6=4人,中年人有6=2人,記4名青年人的編號分別為1,2,3,4,2名中年人的編號分別為5,6,則從這6人中任選2人的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15個,其中選出的2人均是青年人的