1、會計學1chFIR數字濾波器的設計實用數字濾波器的設計實用10)()()(Niinxihny10)()(NnnznhzH系統函數描述：差分方程描述：三、FIR濾波器的設計任務 FIR濾波器的設計任務就是按照要求的頻率特性，以一定的準則選取式中的多項式系數h(n)，即濾波器的單位沖激響應及階數N ，使傳輸函數H(ejw)滿足技術指標。這里技術指標除了幅度特性要求以外，更重要的要求是保證H(z)具有線性相位。第1頁/共48頁7.1 線性相位 FIR DF 的設計條件和特點是w的實函數，稱為幅度特性寫成：將)(jweH)()()(wjgjwewHeH為了保證H(z)具有線性相位，單位取樣響應h(n)

2、應滿足的條件？ 滿足線性相位條件下，幅度特性具有的特點？10)()(NnjwnjwenheHFIR DF 的頻率響應：稱為相位特性第2頁/共48頁是正值，稱為幅頻特性)()()(wjjwjweeHeH稱為相頻特性H(ejw)線性相位是指(w)是w的線性函數。(w)=-w （為常數）第一類線性相位:第二類線性相位:(w)= 0 - w（0為起始相位）第3頁/共48頁推導第一類線性相位，單位取樣響應應滿足的條件：1010)sin()()cos()(NnNnwnnhjwnnh設h(n)是實序列：10)()(NnjwnjwenheH1010)cos()()sin()(arctan)(NnNnwnnhw

3、nnhw第一類線性相位w第4頁/共48頁wwnnhwnnhwNnNn1010)cos()()sin()(arctan)(兩邊取tan：)cos()sin()tan()cos()()sin()(1010wwwwnnhwnnhNnNn10100)cos()sin()()sin()cos()(NnNnwwnnhwwnnh100)sin()(Nnwnnh第5頁/共48頁一、條件 處奇對稱對nwnNn10)sin(100)sin()(Nnwnnh為中心奇對稱則正弦函數以設21,21NN即：偶對稱，關于上式成立的條件是21)(Nnh)1()(nNhnh要線性相位，應滿足上式。要滿足上式，h(n)應滿足怎樣

4、的條件？第6頁/共48頁wwNnNhnh)() 1(21)1()(第一類線性相位：用類似方法可證明第二類線性相位要求： h(n)對(N-1)/2奇對稱偶數奇數N2)(21)1()(wNnNhnh偶數奇數N第7頁/共48頁可分為三部分：,)()(10NnjwnjwenheH二 、特點共有4種情況，討論4種情況下幅度特性的特點。第一種情況: h(n)=h(N-1-n)，N是奇數211212/ )3(0)21()()(NjwNNnjwnNnjwneNhenhenh)21()21(cos()(22/ )3(021NhNnwnheNnwNj，則：令nNm21第8頁/共48頁第一種情況: h(n)=h(N

5、-1-n)，N是奇數)21()cos()21(2)(2/ ) 1(121NhwmmNheeHNmwNjjw212 , 1)21(2)(NnnNhna令則)21()0(Nha2/ )1(021)cos()()(NnwNjjwwnnaeeH第9頁/共48頁2/ )1(021)cos()()(NnwNjjwwnnaeeH因為 cos(wn)對w=0, , 2 偶對稱，所以Hg(w)對這些頻率偶對稱。第一種情況: h(n)=h(N-1-n)，N是奇數2/ )1(021)()cos()()(NngwNwwnnawH可用于設計各種濾波器。則幅度特性和相位特性分別為：第10頁/共48頁2/2 , 1)2/(

6、2)()21cos()()(2/121NnnNhnbwnnbeeHNnwNjjw其中Hg(w)對w= 是奇對稱，且 Hg( )=0。第二種情況: h(n)=h(N-1-n)，N是偶數對=奇對稱2/1)21cos()()(NngwnnbwH幅度特性不能用這種情況設計w= 處H(ejw)不為0的濾波器，如高通、帶阻濾波器。第11頁/共48頁213 , 2 , 1)21(2)()sin()()(2/ )1(1)212(NnnNhncwnnceeHNnwNjjw其中第三種情況: h(n)=-h(N-1-n)，N是奇數奇對稱。對時當2 , 0)(, 0)(2 , 0wwHwHwggwNwwnncwHNn

7、g) 1(212)()sin()()(211只能用于帶通濾波器的設計。第12頁/共48頁2/2, 1)2(2)()21sin()()(2/1)212(NnnNhndwNndeeHNnwNjjw其中第四種情況: h(n)=-h(N-1-n)，N是偶數偶對稱。奇對稱，對對時當wwwHwHwgg2 , 0)(, 0)(2 , 0wNwwnndwHNng212)()21sin()()(2/1只能用于高通、帶通濾波器的設計。第13頁/共48頁以上四種頻率特性可參考教材P198：表7.1.1。從四種頻率特性可以看出，對FIR DF，只要 h(n)具有對稱性，則一定具有線性相位特征。而當h(n)奇對稱時，通

8、過濾波器的所有頻率分量都將產生90的相移。第14頁/共48頁7.2 利用窗函數法設計FIR濾波器|Hd(ejw)| -2 -wc wc 2 w1、設計原則 FIR數字濾波器的設計方法主要是建立在 對理想濾波器頻率特性作某種近似的基礎上的。例如，設計一低通FIR DF，設計的基礎是依據理想低通DF的頻率特性：第15頁/共48頁)()sin(121)(21)(nwSwnnwdwedweeHnhcaccwwjwnjwnjwddcc2、設計思路和方法：1) 由理想的頻率響應Hd(ejw)得到理想的hd(n)；2)對hd(n)加窗；3)由hd(n)移位得到因果、有限長的單位取樣響應h(n)。以上述要求為

9、例：設已知|Hd(ejw)|=1，()=0，則其逆變換（或者說理想低通數字濾波器的單位取樣響應）：第16頁/共48頁hd(n)的特點：特 點： 無限長 非因果 偶對稱（優點）解決方法： 加窗截短 移位(N-1)/2 保留h(n)=hd(n-(N-1)/2)此時的h(n)是因果的、線性相位，且為有限長（長度為N）。10)()(NnnznhzH即為所要設計的濾波器的系統函數，其頻率響應就會近似理想低通濾波器的頻響Hd(ejw)，而且是線性相位的。對h(n)求Z變換：第17頁/共48頁 總結：截取無限長序列hd(n)的一段作為FIR濾波器的沖激響應，只要乘以一窗函數 w(n)，只不過在這里，選擇的窗

10、函數 w(n)=RN(n)，是一矩形窗函數。 顯然，不同的截取長度N及不同的窗函數，會給設計的濾波器帶來不同的特性。為此，以理想低通濾波器為例說明序列長度N和窗函數的影響。第18頁/共48頁3.矩形加窗濾波器特性a=(N-1)/2也就是事先給一線性相位，aww)(幅頻特性如圖：w-wc wc|Hd(ejw)|取Hd(ejw)的逆變換得hd(n)：jwajwdeeH1)(為了省去每次的移位，可以令第19頁/共48頁)()()(sin(21)(anwSwananwdweenhcaccjwnjwadhd(n)以n=a為對稱， a=(N-1)/2第20頁/共48頁如果選擇的函數為 矩形窗w(n)=RN

11、(n)= 1 0 n N-1 0 其它 第21頁/共48頁)2/sin()2sin(1)(2110wwNeeeRwNjNnjwnjwN矩形窗的頻率特性為積）為（時域相乘，頻域卷我們設計的濾波器特性)()()(nRnhnhNddeReHeHwjNjjw)()(21)()(第22頁/共48頁w=0一半波形的積分最大的正峰最大的負峰第23頁/共48頁比較(a) 和(f)的特性可以看出：（1）經過矩形窗函數的加權后，理想濾波器陡直的邊緣被加寬，也就是在w=wc出現了過渡帶，其值大約為RN(w) 的主瓣寬度4 /N。（2）通帶內出現起伏，最大峰值在 wc-2/N處，起伏為0.75 dB=20lg(1+0

12、.0895) （第一旁瓣峰值為最大幅度的8.95%，這種效應稱為不連續點上的Gipps效應）阻帶衰減不為0，最大旁瓣為第一旁瓣，其值為-21dB=20lg(0.0895) ;在 過渡帶兩側附近產生起伏的 “肩峰”和波紋，是由窗函數頻響的旁瓣引起的，旁瓣相對值越大，起伏就越劇烈。以上兩點就是對hd(n)用矩形窗截短后，在頻域的反應。第24頁/共48頁 實際上矩形窗的頻率特性如圖(b)，它有比較窄的主瓣寬度（兩零點間的寬度為 w=4 /N, 相當于過渡帶寬度，過渡帶越窄越好） ，但旁瓣電平比較高，第一旁瓣電平為20lg0.21=-13.56dB，阻帶衰減比較慢。（3）增加截取長度N ，將縮小窗函數

13、的主瓣寬度4/N，但卻不能減小旁瓣相對值。旁瓣與主瓣的相對值主要取決于窗函數的形狀。因此，增加N，只能減小過渡帶寬度，不能改善濾波器通帶的平穩性和 阻帶的衰減。因此，減少通帶內起伏和加大阻帶的衰減只能從窗函數的形狀上找解決方法。第25頁/共48頁4.幾種窗函數主要指標，類型（1）矩形窗其他0101)(Nnnw2/sin2sin)(21wNweeWwNjjw其頻率響應為：主瓣寬為4/N,第一旁瓣電平為 -13dB 第26頁/共48頁（2）三角形窗（Bartlett Window）) 1() 1(21122) 1(21012)(NnNnNNnnNnw頻率響應為：)21(2)2/sin()4/sin

14、(2)(wNwjjwewNwNeW主瓣寬為8/N,第一旁瓣電平為 -26dB 第27頁/共48頁（3）漢寧窗(Hanning)10)12cos(1 5 . 0)(NnNnnw（4）哈明窗（Hamming）10)12cos(46. 054. 0)(NnNnnw可合并在一起其頻譜為)(21)(21)()()12()12(NwjRNwjRjwRjweWaeWaeaWeW10)12cos()1 ()(NnNnaanw廣義哈明窗第28頁/共48頁)(21)(21)()()12()12(NwjRNwjRjwRjweWaeWaeaWeW 廣義哈明窗的頻譜由三部分組成，由于三部分的相互疊加，使旁瓣相互抵消，更

15、多的能量集中在主瓣中。為矩形窗的頻譜二者之瓣寬度為(2 /N)4=8 /N 漢寧：最大旁瓣電平-31dB 哈明： -41 dB這兩種窗函數與矩形窗相比：通常內起伏變小，阻帶衰減變大（優點），但代價是過渡帶加寬。第29頁/共48頁（5）布萊克曼窗(Blackman)10)14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)(NnNnNnnw主瓣寬度為6 2 /N=12 /N最大旁瓣電平為-57dB旁瓣進一步抵消阻帶衰減進一步增加，過渡帶是矩形窗過渡帶的三倍。第30頁/共48頁比較各窗函數，可得：矩形窗具有最窄的 主瓣，但也有最大的旁瓣、峰值和最慢的衰減速度。漢寧窗和哈明窗的主瓣稍寬，但有較

16、小的旁瓣和衰減速度，是較為常用的函數。210020)2(!11)()()112(1()(kkxkxIINnInw其中稱為第一類修正零階貝塞爾函數（6）凱塞貝塞爾窗(kaiserBasel)第31頁/共48頁一般 I0(x)取1525次，便可滿足精度要求參數可以控制窗的形狀，典型數據為4 9加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小。窗函數的類型：基本上兩大類1）結構性窗：簡單的窗函數經過相加，相乘或卷積來合成一個性能較好的窗。例：前5種 ，三角形是矩形的卷積 漢寧是三個矩形的疊加：2/ )1(2/ )1(414121)(NnjNnjeenw第32頁/共48頁2）按優化準則構造的窗： Kaiser窗； 高斯窗

17、4、各種窗函數的技術指標總結：用表表示（P211）第33頁/共48頁1)求理想濾波器的單位取樣響應hd(n) A. 已給定Hd(ejw) dweeHnhjwnjwdd)(21)(5、窗函數法的設計步驟四種理想濾波器的頻響函數： e-jwHd(ejw) = 0 c0c低通 e-jwHd(ejw) = 0 c0c高通第34頁/共48頁四種理想濾波器的頻響函數： e-jwHd(ejw) = 0 chcl帶通 e-jwHd(ejw) = 0 chcl,0帶阻chcl,0chclB. 只給通帶、阻帶衰減和邊界頻率可選用理想濾波器做為逼近函數：21,)()(sin()(Naananwnhcd第35頁/共4

18、8頁2）根據阻帶衰減選擇窗函數w(n)，根據允許的過渡帶寬度選擇相應的序列長度N。A. 選擇窗函數w(n)：根據阻帶衰減，查表7.2.2（P211）B. 選擇序列長度N： 設允許的過渡帶用w=wp-ws表示，它近似等于所選窗函數的過渡帶寬度Bt（查表7.2.2）： w=Bt3）由窗函數w(n)和hd(n)求出濾波器的單位取樣響應。 h(n)=hd(n)w(n)4）驗證指標第36頁/共48頁100)()(sin()()()(nananwnwnhnhcd5) 1(21Na6、設計舉例例 1：分別用矩形窗和漢寧窗設計FIR低通濾波器，設N=11，wc=0.2rad/s。 解：1)用理想低通作為逼近濾

19、波器，用矩形窗設計100)5()5(2 . 0sin()(nnnnhd第37頁/共48頁 2) 用漢寧窗設計)102cos1 (5 . 0)5()5(2 . 0sin()()102cos1 (5 . 0)()()()(nnnnhnnwnwnhnhd第38頁/共48頁例 2：要求設計一低通濾波器，給定采樣頻率 sam=2104rad/s。通帶截止頻率p=2103rad/s，阻帶截止頻率s=21.5103rad/s,阻帶衰減不低于-50dB。 解: (1)確定hd(n) 先求wc：由過渡帶可得低通過濾器的3dB截止頻率 c=(p+ s)/2= 2.5103rad/s。 則 )()(sin()(an

20、anwnhcd25. 02samcccTw第39頁/共48頁解:(2)阻帶衰減50dB，可選哈明窗。過渡帶帶寬：w= 2/ sam(s- p )1 . 0105 . 02102234792cos46.054.0)(5.3921.801.0888nnwNawNwN第40頁/共48頁 (3)求濾波器沖激響應790)5 .39()5 .39(25. 0sin)(nnnnhd)5 .39cos(46. 054. 0) 5 .39()5 .39(25. 0sin()(nnnnh第41頁/共48頁7.3 用頻率采樣法設計FIR濾波器1.設計原理窗函數設計法是從時域出發的一種設計法。有時技術指標是在頻域給出的，用頻率采樣法更直接。 設待設計的FIR濾波器的頻率響應用Hd(ejw)表示，對它在間等間隔采樣N點，得到H(k)nkNjNnkNwjwdenheHkH)2(102)()()(H(k)反FFT得h(n)，將h(n)作為濾波器的單位取樣響應，取Z變換即可。實際上對H(k)通過