1、特別解析：線性規劃求最值、目標函數線的平移法：利用直線的截距解決最值問題滬2 0,例1已知點p（x, y）在不等式組y-1 0, 表取值范圍是（）.（A） : 2, 1（B） : 2, 1 （0 ： 1 , 2（D）： 1 , 2Vi32-宀0zlx2=0解析：由線性約束條件畫出可行域，考慮z - x-y,變形為y =x-Z , 這是斜率為1且隨z變化的一族平行 70lz 0 取得最大值為2；直線經過點（0, 1）時，目標函數z二x-y取得最小值為一1.故選（C）.注：本題用“交點法”求岀三個交點坐標分別為（0, 1）,（2, 1）,（2, 0）,然后再一代入目標函數求出z=x-y的取值范圍為

2、-1, 2更為簡單.x + y 0例2已知實數x、y滿足約束條件x-y + 50,貝U z=2x +4y的最小值為（X 3直線.-z是直線在y軸上的截距.當直線滿足約束條件且經過點（2,0）時，目標函數z二x-y1 z分析：將目標函數變形可得y二-一X+,所求的目標函數的最小值即一組平行直241 一y = X + b在經過可行域時在y軸上的截距的最小值的4倍。2解析：由實數X、y滿足的約朿條件，作可行域如圖所示：當一組平行直線L經過圖中可行域三角形ABC區域的點C時，在y軸上的截距最小，又C(3,3),故 z=2x+4y 的最小值為 Zmin = 2咒 3+4% (-3)二一6。二、數行結合，

3、構造斜率法：利用直線的斜率解決最值問題X y-2 0,則z=-最大值是IXpy3 0,解析：畫岀不等式組所確定的三角形區域ABC(如圖2),二表示兩點X X 00(0,0) P(X, y)確定的直線的斜率，要求z的最大值，即求可行域內的點與原點連線的斜率的最大值.由圖2可以看出直線0P的斜率最大，故P為x + 2y-4二0與2y3二0的交點，即A點.).故答案為I 2 )2注：解決本題的關鍵是理解目標函數z 二士 7的 X X 0幾何意義，當然本題也可設二t,則y二tx,即為求X1-2-0y二tx的斜率的最大值由圖2可知,y =tx過點A時,t最大.代入y二tx,求出t23即得到的最大值是彳匕

4、 A-+2y-4=()例3.已知實數X、v滿足不等式組Z二乂空的值域.x+1解析：所給的不等式組表示圓X2 +y2=4的右半圓(含邊界),Z二XP可理解為過定點卩(-1, -3),斜率為Z x+1的直線族.問題的幾何意義：求過半圓域2+y 2 0) 任一點與點P(1,3)的直線斜率的最大、最小值.由圖知，過點P和點A(0, 2)的直線斜率最大，z卸=2(二算二5 .過0 (1)因此Zmin=刃寧。一646三、平面內兩點間的距離型(或距離的平方型)，構造兩點間的距離公式法解決最值問題fx + yl o,則八T2 2W = x + v 一4x一4v + 8 的最侑為2 2 2 2解析：目標函數W

5、=x + v -4x-4v+8二(X-2) +(v-2),其含義是點(2. 2)與可行域內的點的距離的平方。由實數x、y所滿足的不等式組作可行域如圖所示:-11-、.cx+y-l=0求B ( -2,-1),結合圖形知，點可行域為圖屮Labc內部(包括邊界)，易(2, 2)到點B的距離為其到可行域內點的最大值，=(2 -2)2 +(12)2 =25點2)到直線x+y-1=0的距離為其到可行域內點的最12 + 2-1| 372小值，% 二二x-y+2 0,已知x + y -4 0,，求(2xy 5l,求u二X + y2+4x2y的最小值。解析：目標函數 U =x2 + y2+4x-2y 二(x +

6、 2)2+(y-l)2-5,其含義是點(-2,1)與可行域內的點的最小距離的平方減5o由實數x、y所滿足的不等式組作可行域如圖所示-(-2,1) 12x+y=l點(-2, 1)至問行域內的點的最小距離為其到直線2x+y二1的距離，由點到直線的距離公式可求得 dj 2/,2)+xT二跡，故 d2 -5J -5J555lx - y +20,例8已知x - y 40,求z二x +-10y+25的最小值.I2x -y 5 0,解析：作出可行域，并求出頂點的坐標 A( 1,3 )、B( 3, 1 )、C( 79)而 z=x2+ (y5)2表示可行域內任一點(X, y)到定點M( 0, 5)的距離的平方，

7、過M作直線AC的垂線，易29知垂足 在線段AC上，故z的最小值是MN1五、變換問題研究目標函數例9(08年山東)已知x + y 2,且z二2x + y的最大值是最小值的3倍，a等于(X 二 fi：+ yx J 得 A (a, a),由 ix 二 yly 二xtf , 一 Zmax =3，：nin - 由題意，得六、綜合導數、函數知識類例10( 06山東).已知函數f (x)的定義域為/,*c)，部分對應值如下F(X)%f(x)的導函數，函數汁f(X)的圖象如右圖所示.若兩正數a, b滿足f (2a +b) 50)B類產品(件)( 140)租賃費(元)甲設備510200乙設備620300b x+

8、一 y 105x+2y 14X 0, y 0I 5x+6y50則滿足的關系為10x + 20y340即：*x30,八 0y io作出不等式表示的平面區域，當Z二200X +300 y對應的直線過兩直線x屮弓 一的交點x+2y二14(4, 5)時,目標函數z=200x +300y取得最低為2300元.附：線性規劃常見題型及解法、求線性目標函數的取值范圍X 0I例2、不等式組x + y -30表示的平面區域的面積為（1） 0y蘭2解：如圖作岀可行域，$4即為所求，由S梯形OMBC減去三、求可行域屮整點個數例3、滿足|x|+ |y| 2的點(x ,y）屮整點都是整數）有（13個x + y 0,y0)

9、解：|x|+ |y|0, yYO)-x + y 2(xYO, yHO)-X - y 0)取得最小值的最優解有無數個,則將I向右上方平移后四、求線性目標函數中參數的取值范圍例4、已知x、y滿足以下約束條件x- y+ 50,使IX 0）取得最小值的最優解有無數個，A、一 3B、3C、一 1解：如圖，作出可行域，作直線I : x+ay與直線x+y二5重合，故滬1，選D五、求非線性目標函數的最值2x + y一2 0 例5、已知x、y滿足以下約束條件x2y+4 03x -y -3 蘭 0的最大值和最小值分別是()A、 13 ,1B、 13 , 2D、辰，史5解：如圖，作出可行域,x汁護是點值為點A (

10、2,3)到原點的距離的平方，BPlAOl42x + y 2二0的距離的平方，即為一，選5y)到原點的距離的平方，故最大2=13,最小值為原點到直線Co六、求約朿條件屮參數的取值范圍例6、已知|2x y + m 3表示的平面區域包含點(0,0 )和(一 1,1 )，則m的取值范圍是()A、( -3,6 )B、( 0, 6 )C. ( 0, 3 )D. ( -3,3解：|2xy + m 3由右圖可知i，故 03,選 CEm-3 0七、比值問題當目標函數形如Z二一時，可把z看作是動點xbP (x, y)與定點Q (b, a)連線的斜 a這樣目標函數的最值就轉化為 PQ連線斜率的最值。jx一 y+ 2 w 0, 已知變量X