1、 設設 f(x) 在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)，則對于任意的上連續(xù)，則對于任意的x( )，積分，積分 存在，存在，axb( )dxaf xx 2-9 2-9 變上限定積分變上限定積分限為限為x的定積分的定積分.為了避免與積分上限為了避免與積分上限x發(fā)生混淆，我們在積分中把發(fā)生混淆，我們在積分中把f的自變量寫成的自變量寫成t,xattfd)(我們把上我們把上稱作函數(shù)稱作函數(shù)y=f(x)的的變上限積分變上限積分.記做記做xattfxFd)()(0 ( )d( ) () .baf xxf cba定理定理(積分中值定理積分中值定理) ) 若函數(shù)若函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a,b 上上 連續(xù)，則在連

2、續(xù)，則在 a,b 內(nèi)內(nèi)至少存在一個點至少存在一個點c ，使，使得得證證則最小值 .m和上有最大值上連續(xù)，它在在因為M,)(babaxf.,)(baxMxfm,)(bababaMdxdxxfmdx),()()(abMdxxfabmba.)(Mabdxxfmba使得理，存在再由連續(xù)函數(shù)的介值定,bac,)()(abdxxfcfba ( )d( ) () .baf xxf cba即即前頁前頁結束結束后頁后頁幾何意義：幾何意義：在在 上至少存在一點上至少存在一點 ,使得曲邊梯形的面積等于同使得曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為一底邊而高為 的矩形的的矩形的面積面積. , a b ( )f ab 前頁前頁

3、結束結束后頁后頁oxbay)(xfy 說明說明:.都成立或baba 可把)(d)(cfabxxfba.,)(上的平均值在理解為baxf故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣.c 積分中值定理對abxxfbad)(因nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn00 , ( )( )d () , ,( )( ),xafa bF xf ttaxba ba bF xf xxa b設 在上連續(xù)，則其變上限積分的積分 是上的連續(xù)函數(shù),且在內(nèi)可導，且 , . 定理定理20d( )( )d( ) ,.dxaFxf ttf xxa bx即 證證,(,),00baxxxbax及由積分中值定理，有)()(

4、F000 xFx xaax0f(t)dtf(t)dtxx0f(t)dtxaf(t)dt0 xaf(t)dt)(0 xxcf, 0).000 xcxxx時（其中當前頁前頁結束結束后頁后頁由此推出)(lim000 xFxx).(00 xF.)(00處右連續(xù)在以上證明了xxF上的任意一點，是由于),0bax.),)F0中每一點都右連續(xù)在（也即證明了bax),(00baxxxbax及同理可證)(lim000 xFxx),(00 xF.,)F0中每一點都左連續(xù)在（即bax上右連續(xù)的結論，在),ba)F0 x（再結合剛才所得.,)F0上連續(xù)在（于是證明了bax前頁前頁結束結束后頁后頁則及設),(),(x0

5、baxba).(,),()()(00 xfFbadttfxFxa且內(nèi)可導在下面證0)()()()(F000 xaxadttfdttfxFxaxxadttfdttf0)()(xxdttf0)()(0 xxcf)(xfy xbaoy0 xCx積分中值定理)(0 xcx前頁前頁結束結束后頁后頁由此推出由此推出),()()(0000cfxxxFxF時的連續(xù)性可知于是由函數(shù)時當000,xxfxcxx),()(0 xfcf因而因而).()()(lim000000 xfxxxFxFxx).(|)(000 xfdxxdFxx即得到換成上任意一點，故將上式為因xxbax00),().()(0 xfdxxdF即證

6、畢證畢.由上述結論可知：盡管不定積分與定積分概念的引入由上述結論可知：盡管不定積分與定積分概念的引入完全不同，但彼此有著密切的聯(lián)系，因此我們可以完全不同，但彼此有著密切的聯(lián)系，因此我們可以通通過求原函數(shù)來計算定積分過求原函數(shù)來計算定積分.定理定理2也稱作也稱作原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理.),()()()(,)(0上的一個原函數(shù)在是上連續(xù)，則在如果baxfdttfxFbaxfxa前頁前頁結束結束后頁后頁dttexFxt1205sin)(例例 1 設？求)(xF解解, 12 xy令則則dttexFxt1205sin)(dtteygyt05sin)(由由12 xy和和復合而成的復合函數(shù)復合而成的復合函數(shù).yyGxF)()(25sinyey).12(5sin212xex,)(baCxf若)()(xbbxdttfdttf則則).()(xfdttfdxdbx前頁前頁結束結束后頁后頁例例 2 設設dttxFxx21)().(xF求解解dttxFxx21)(dttx01dttx021)(xF)1(0dttx)1(02dttxx 1)(122xxx 1.122xx前頁前頁結束結束后頁后頁說明說明:1) 定理 1 證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2) 變限積分求導:b