1、時間序列分析模型簡介時間序列分析模型簡介 一、時間序列分析模型概述一、時間序列分析模型概述1、自回歸模型、自回歸模型2、移動平均模型、移動平均模型3、自回歸移動平均模型、自回歸移動平均模型二、隨機時間序列的特性分析二、隨機時間序列的特性分析三、模型的識別與建立三、模型的識別與建立四、模型的預測四、模型的預測1 ARMA模型是一類常用的隨機時間序列模型，模型是一類常用的隨機時間序列模型，是一種精度較高的時間序列短期預測方法，其基本是一種精度較高的時間序列短期預測方法，其基本思想是：某些時間序列是依賴于時間思想是：某些時間序列是依賴于時間 的一族隨機的一族隨機變量，構成該時間序列的單個序列值雖然具

2、有不確變量，構成該時間序列的單個序列值雖然具有不確定性，但整個序列的變化卻有一定的規律性，可以定性，但整個序列的變化卻有一定的規律性，可以用相應的數學模型近似描述用相應的數學模型近似描述. 通過對該數學模型的分析研究，能夠更本質地通過對該數學模型的分析研究，能夠更本質地認識時間序列的結構與特征，達到最小方差意義下認識時間序列的結構與特征，達到最小方差意義下的最優預測的最優預測. t2 tX自回歸序列 ： tX1122tttptptXXXXu如果時間序列 是它的前期值和隨機項的線性函數，即可表示為【1】pp【1】式稱為 階自回歸模型，記為AR（ ） 注注1：實參數：實參數 稱為自回歸系數，是待估

3、參數稱為自回歸系數，是待估參數.隨機項隨機項 是相互獨立的白噪聲序列，且服從均值為是相互獨立的白噪聲序列，且服從均值為0、方差為方差為 的正態分布的正態分布.隨機項與滯后變量不相關。隨機項與滯后變量不相關。 12,p tu2注注2：一般假定：一般假定 均值為均值為0，否則令，否則令 tXttXX3 kBkktt kB XX212ptttpttXBXB XB Xu記 為 步滯后算子，即 ，則模型【1】可表示為212( )1ppBBBB 令 ，模型可簡寫為( )ttB XuAR（ ）過程平穩的條件是滯后多項式 p( )B的根均在單位圓外，即 ( )0B的根大于1 【2】4 tXtX1122tttt

4、qt qXuuuu 如果時間序列 是它的當期和前期的隨機誤差項的線性函數，即可表示為 【3】qq式【3】稱為階移動平均模型，記為MA（ ）注：實參數12,q 為移動平均系數，是待估參數 5 引入滯后算子，并令212( )1qqBBBB 則模型【3】可簡寫為 ( )ttXB u注1：移動平均過程無條件平穩 注2：滯后多項式( )B的根都在單位圓外時，AR過程與MA過程能相互表出，即過程可逆，【4】21201itittiw Bw BXwBXu 即為MA過程的逆轉形式，也就是MA過程等價于無窮階的AR過程注3：【2】滿足平穩條件時， AR過程等價于無窮階的MA 過程，即21201jttjtjXv B

5、v Buv Bu6 自回歸移動平均序列自回歸移動平均序列 ：tXtX11221122tttpt ptttq t qXXXXuuuu 如果時間序列是它的當期和前期的隨機誤差項以及前期值的線性函數，即可表示為【5】( , )p q式【5】稱為階的自回歸移動平均模型，記為ARMA( , )p q12,p 12,q 注1：實參數稱為自回歸系數，為移動平均系數，都是模型的待估參數注2：【1】和【3】是【5】的特殊情形注3：引入滯后算子，模型【5】可簡記為( )( )ttB XB u【6】注4：ARMA過程的平穩條件是滯后多項式 ( )B的根均在單位圓外 可逆條件是滯后多項式( )B的根都在單位圓外 7

6、12,tttt kXXXXkk構成時間序列的每個序列值構成時間序列的每個序列值相關關系稱為自相關。自相關程度由自相關系數相關關系稱為自相關。自相關程度由自相關系數表示時間序列中相隔表示時間序列中相隔期的觀測值之間的相關程度。期的觀測值之間的相關程度。 之間的簡單之間的簡單度量，度量，121()()()n ktt ktknttXXXXXX注1：nkX是樣本量，為滯后期，代表樣本數據的算術平均值 注2：自相關系數 k的取值范圍是 1,1 且|k越接近1，自相關程度越高 8 tX121,ttt kXXX tXt kX偏自相關是指對于時間序列，在給定的條件下， 與之間的條件相關關系。 kk11kk 其

7、相關程度用度量，有 偏自相關系數111,111,112,3,1kkkjkjjkkkkjjjkkkk其中是滯后期的自相關系數， 1,1,1,2,1kjkjkkkkjjk 9 如果一個時間序列是純隨機序列，意味著序列沒有任何規律性，序列諸項之間不存在相關，即序列是白噪聲序列，其自相關系數應該與0沒有顯著差異。可以利用置信區間理論進行判定。 在B-J方法中，測定序列的隨機性，多用于模型殘差以及評價模型的優劣。若時間序列 tX滿足 1）對任意時間t，其均值恒為常數； 2）對任意時間t和s，其自相關系數只與時間間隔 ts有關，而與 的起始點無關。 那么，這個時間序列就稱為平穩時間序列 。 和st10 序

8、列的平穩性也可以利用置信區間理論進行判定.需要注意的是，在B-J方法中，只有平穩時間序列才能直接建立ARMA模型，否則必須經過適當處理使序列滿足平穩性要求 在實際中，常見的時間序列多具有某種趨勢，但很多序列通過差分可以平穩 判斷時間序列的趨勢是否消除，只需考察經過差分后序列的自相關系數自相關系數 時間序列的季節性是指在某一固定的時間間隔上，序列重復出現某種特性.比如地區降雨量、旅游收入和空調銷售額等時間序列都具有明顯的季節變化. 一般地，月度資料的時間序列，其季節周期為12個月； 季度資料的時間序列，季節周期為4個季. 11 判斷時間序列季節性的標準為： 月度數據，考察 12,24,36,k

9、時的自相關系數是否與0有顯著差異；季度數據，考察 4,8,12,k 系數是否與0有顯著差異。 時的自相關說明各年中同一月（季）不相關，序列不存在季節性，否則存在季節性. 若自相關系數與0無顯著不同， 實際問題中，常會遇到季節性和趨勢性同時存在的情況，這時必須再用上述方法，否則季節性會被強趨勢性所掩蓋，以至判斷錯誤. 包含季節性的時間序列也不能直接建立ARMA模型，需進行季節差分消除序列的季節性，差分步長應與季節周期一致. 12 , ,d D p q,P Q在需要對一個時間序列運用B-J方法建模時，應運用序列的自相關與偏自相關對序列適合的模型類型進行識別，確定適宜的階數以及 （消除季節趨勢性后的

10、平穩序列） （1 1）MAMA（q）的自相關與偏自相關函數）的自相關與偏自相關函數自協方差函數自協方差函數 22212111,0,10,qkkkq kqkkqkq2tDu是白噪聲序列的方差是白噪聲序列的方差 13 樣本自相關函數樣本自相關函數 1122011,0,110,kkq kqkkqkkqkqqkkqqMA（）序列的自相關函數在這種性質稱為自相關函數的步截尾性； 以后全都是0，隨著滯后期 k這種特性稱為偏自相關函數的拖尾性 的增加，呈現指數或者正弦波衰減，趨向于0，偏自相關函數14 （2 2）ARAR（p）序列的自相關與偏自相關函數）序列的自相關與偏自相關函數偏自相關函數 ,10,kkk

11、kpkp是p步截尾的 ；自協方差函數 k滿足 ( )0kB自相關函數 k滿足 ( )0kB它們呈指數或者正弦波衰減，具有拖尾性 （3 3）ARMAARMA（, p q）序列的自相關與偏自相關函數均是拖尾的）序列的自相關與偏自相關函數均是拖尾的15 自相關函數與偏自相關函數是識別ARMA模型的最主要工具，B-J方法主要利用相關分析法確定模型的階數. 若樣本自協方差函數 k在q步截尾，則判斷 tX是MA（ q）序列 kkp若樣本偏自相關函數在步截尾，則可判斷是AR（tXp）序列 若，都不截尾，而僅是依負指數衰減，這時可初步認為ARMA序列，它的階要由從低階到高階逐步增加，再通過檢驗來確定. k在k

12、kk，tX是但實際數據處理中，得到的樣本自協方差函數和樣本偏自相關函數只是 k和kk的估計，要使它們在某一步之后全部為0幾乎是而只能是在某步之后圍繞零值上下波動，故對于 k和kk不可能的，的截尾性 只能借助于統計手段進行檢驗和判定。 16 （1）k的截尾性判斷q1,qq MMN對于每一個 ，計算（ 一般取左右），考察其中滿足22011|2qkllN22012|2qkllN或 的個數是否為 M的68.3%或95.5%。 如果當01kq時， k明顯地異于0，而 001,qqM近似為0，且滿足上述不等式的個數達到了相應的比例， 則可近似地認為 k在0q步截尾 17 （2）kk的截尾性判斷作如下假設檢

13、驗： 0,:0,1,p k p kHkMMN1:Hk0kkpkMp存在某個，使，且 統計量2221p MkkMkpN 2( )MM2表示自由度為的分布 的上側分位數點 對于給定的顯著性水平 0，若 22( )M，則認為 樣本不是來自AR（p）模型 ；22( )M，可認為 樣本來自AR（p）模型 。注：實際中，此判斷方法比較粗糙，還不能定階，目前流行的方法是H.Akaike信息定階準則（AIC）18 （3）AIC準則確定模型的階數AIC定階準則： S22N是模型的未知參數的總數是用某種方法得到的方差的估計為樣本大小，則定義AIC準則函數 22( )lnSAIC SN用AIC準則定階是指在 , p

14、 q的一定變化范圍內，尋求使得 ( )AIC S最小的點 ( , )p q作為( , )p q的估計。 AR（p）模型 ：22lnpAICNARMA( , )p q模型 ：22()lnpqAICN19 在階數給定的情形下模型參數的估計有三種基本方法：矩估計法、逆函數估計法和最小二乘估計法，這里僅介紹矩估計法 （1）AR（p）模型 11111212212111pppppp 白噪聲序列tu的方差的矩估計為201 pjjj 20 （2）MA（q）模型 222102111 ,1,qkkq kqkkq（3）ARMA( , )p q模型的參數矩估計分三步： i）求12,p 的估計 11111212212q

15、qqpqqqqpqqpqpqqpp 21 11tttptpYXXXtYii）令，則的自協方差函數的矩估計為 ( )000 , 1ppYkijkj iij tYqiii）把近似看作MA（）序列，利用（2） 對MA（q）序列的參數估計方法即可 22 對于給定的樣本數據1,NXXAIC準則確定了模型的類型和階數，用矩估計法確定了模型中的參數，從而建立了一個ARMA模型，來擬合真正的隨機序列。但這種擬合的優劣程度如何，主要應通過實際應用效果來檢驗，也可通過數學方法來檢驗。，我們通過相關分析法和pqkkk 對于ARMA模型，應逐步由ARMA（1，1），ARMA（2，1），ARMA（1，2），ARMA（2

16、，2），依次求出參數估計，對AR（）和MA（）模型，先由和初步定階，再求參數估計。 的截尾性23 一般地，對ARMA( , )p q模型 11pqttit ijtjijuXXu011,qu uu011,pXXX12,Nu uu取初值和它們均值為0），可遞推得到殘量估計現作假設檢驗：（可取它們等于0，因為0:H12,Nu uu是來自白噪聲的樣本 ( )11NjujtjttuuN0,1,jk( )( )( )0ujuju1, ,jk 令24 k10N其中取左右。 0HkQk2則當成立時，服從自由度為的分布。 2( )kkQ0H2( )kkQ對給定的顯著性水平，若，則拒絕，即模型與原隨機序列之間擬合

17、得不好，則認為模型與原隨機序列之間擬合需重新考慮得較好，模型檢驗被通過。建模；若22( )( )11kkuukjjjjQNN25 若模型經檢驗是合適的，也符合實際意義，可用作短期預測若模型經檢驗是合適的，也符合實際意義，可用作短期預測. B-J方法采用L步預測，即根據已知 n個時刻的序列觀測值 12,nXXX，對未來的 nL個時刻的序列值做出估計， 線性最小方差預測是常用的一種方法. 誤差的方差達到最小. 其主要思想是使預測若( )nZL表示用模型做的L步平穩線性最小方差預測，那么，預測誤差( )( )nn Lne LXZL并使 22( )( )nn LnE e LE XZL達到最小. 26 1 1、ARAR（p）序列預測）序列預測模型（1）： 1122tttptptXXXXu的L步預測值為1