1、考點5 萬有引力與航天一、選擇題1.(2014新課標全國卷)太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動。當地球恰好運行到某地外行星和太陽之間,且三者幾乎排成一條直線的現象,天文學稱為“行星沖日”。據報道,2014年各行星沖日時間分別是1月6日木星沖日;4月9日火星沖日;5月11日土星沖日;8月29日海王星沖日;10月8日天王星沖日。已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如下表所示,則下列判斷正確的是()地球火星木星土星天王星海王星軌道半徑(AU)1.01.55.29.51930A.各地外行星每年都會出現沖日現象B.在2015年內一定會出現木星沖日C.天王星相鄰兩次沖日的時間間隔為

2、土星的一半D.地外行星中,海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短【解題指南】假設地外行星不轉動,則一年之后再發生沖日,實際上行星與地球同向轉動,一定是間隔一年多才會再次發生沖日。【解析】選B、D。相鄰兩次行星沖日的時間間隔就是地球比該行星多運動一周的時間,根據萬有引力提供向心力,周期,相鄰兩次行星沖日的時間間隔,即相鄰兩次行星沖日的時間間隔大于1年,所以選項A錯。根據木星軌道半徑是地球的5.2倍,木星周期大于11年,小于12年,所以木星沖日的時間間隔大于年小于1.1年,由于今年的沖日時間是1月6日,所以下次木星沖日在2015年,選項B對。根據行星的軌道半徑越大,周期越大,根據相鄰兩次沖日的時間間隔可

3、判斷天王星相鄰兩次沖日時間間隔比土星的短,且都小于1.1年,天王星相鄰兩次沖日時間間隔不可能為土星的一半,海王星的相鄰兩次沖日時間間隔最短,選項D對,C錯。2.(2014安徽高考)在科學研究中,科學家常將未知現象同已知現象進行比較,找出其共同點,進一步推測未知現象的特性和規律。法國物理學家庫侖在研究異種電荷的吸引力問題時,曾將扭秤的振動周期與電荷間距離的關系類比單擺的振動周期與擺球到地心距離的關系。已知單擺擺長為l,引力常量為G,地球質量為M,擺球到地心的距離為r,則單擺振動周期T與距離r的關系式為()A. B. C. D. 【解題指南】解答本題注意以下兩點:(1)單擺振動周期為。(2)等效重

4、力加速度可根據求解。【解析】選B。單擺擺球到地心的距離為r,則,所以,把其代入單擺振動周期,解得,故選項B正確。3.(2014浙江高考)長期以來“卡戎星(Charon)”被認為是冥王星唯一的衛星,它的公轉軌道半徑r1=19600km,公轉周期T1=6.39天。2006年3月,天文學家新發現兩顆冥王星的小衛星,其中一顆的公轉軌道半徑r2=48000km,則它的公轉周期T2最接近于()A.15天B.25天C.35天D.45天【解題指南】解答本題時應從以下兩點進行分析:(1)能熟練使用開普勒第三定律來分析相關問題;(2)數學運算不要出錯。【解析】選B。由開普勒第三定律可知T2=6.3924.5天,或

5、者本題用萬有引力定律對“卡戎星”和小衛星分別列方程,聯立方程組也可求解,B項正確。4.(2014福建高考)若有一顆“宜居”行星,其質量為地球的p倍,半徑為地球的q倍,則該行星衛星的環繞速度是地球衛星環繞速度的()A. 倍 B.倍 C.倍 D.倍【解題指南】解答本題時應從以下兩點進行分析:(1)明確引力提供向心力;(2)正確使用比值法。【解析】選C。據可得環繞速度,利用比值法可知C正確。5.(2014廣東高考)如圖所示,飛行器P繞某星球做勻速圓周運動,星球相對飛行器的張角為。下列說法正確的是() A.軌道半徑越大,周期越長B.軌道半徑越大,速度越大C.若測得周期和張角,可得到星球的平均密度D.若

6、測得周期和軌道半徑,可得到星球的平均密度【解析】選A、C。萬有引力提供向心力,可得,軌道半徑越大,周期越長,A項正確;萬有引力提供向心力,可得,軌道半徑越大,速度越小,B項錯誤;如果測出周期,則有,如果再知道張角,則能通過幾何關系求得該星球半徑為,從而求出星球的體積,兩者結合可求得星球的平均密度,C項正確;而D項中由軌道半徑無法求得星球半徑,故不能得到星球的平均密度,D項錯誤。【誤區警示】本題B選項容易按照圓周運動公式v=R去理解。當軌道半徑增大時,角速度是減小的,無法確定速度的變化。6.(2014山東高考)2013年我國相繼完成“神十”與“天宮”對接、“嫦娥”攜“玉兔”落月兩大航天工程。某航

7、天愛好者提出“玉兔”回家的設想:如圖,將攜帶“玉兔”的返回系統由月球表面發射到h高度的軌道上,與在該軌道繞月球做圓周運動的飛船對接,然后由飛船送“玉兔”返回地球。設“玉兔”質量為m,月球半徑為R,月面的重力加速度為g月。以月面為零勢能面,“玉兔”在h高度的引力勢能可表示為,其中G為引力常量,M為月球質量。若忽略月球的自轉,從開始發射到對接完成需要對“玉兔”做的功為()A. (h+2R)B.h+R) C. (h+ R)D. (h+R)【解題指南】解答本題應從以下兩點分析:(1)根據功能關系分析對“玉兔”做的功與“玉兔”機械能增量的關系;(2)由萬有引力等于重力、萬有引力等于向心力計算“玉兔”在離

8、月球表面h高處的線速度。【解析】選D。根據功能關系可知對“玉兔”做的功等于“玉兔”機械能增量,即,其中,在離地h高處,“玉兔”做勻速圓周運動,必有,并且在月球表面附近,有: ,由以上幾式聯立得,選項D正確。7.(2014江蘇高考)已知地球的質量約為火星質量的10倍,地球的半徑約為火星半徑的2倍,則航天器在火星表面附近繞火星做勻速圓周運動的速率約為()A.3.5km/s B.5.0km/s C.17.7km/s D.35.2km/s【解題指南】航天器在火星表面附近繞火星做勻速圓周運動時由萬有引力提供向心力。計算速率時可以借助于近地衛星采用比值法搞定。而近地衛星的速度就是第一宇宙速度(7.9km/

9、s)。【解析】選A。構建公轉模型,對衛星由萬有引力提供向心力,有,對近地衛星,同理對航天器有,聯立兩式有,而v近地=7.9km/s,解得v航=3.5km/s,A項正確。8.(2014新課標全國卷)假設地球可視為質量均勻分布的球體。已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0;在赤道的大小為g;地球自轉的周期為T,引力常量為G。地球的密度為()A B C. D【解題指南】解答本題時應注意以下兩個方面:(1)物體在地球的兩極萬有引力等于重力;(2)物體在地球的赤道上,萬有引力等于重力與向心力之和。【解析】選B。由萬有引力定律可知:,在地球的赤上:,地球的質量M=43R3,聯立三式可得: ,選項B正確。

10、【誤區警示】本題容易根據和M=43R3得出,故錯選C項。上述思路錯把地面上的物體當成衛星來處理從而導致錯誤。9.(2014天津高考)研究表明,地球自轉在逐漸變慢,3億年前地球自轉的周期約為22小時。假設這種趨勢會持續下去,地球的其他條件都不變,未來人類發射的地球同步衛星與現在的相比()A.距地面的高度變大 B.向心加速度變大C.線速度變大 D.角速度變大【解題指南】解答本題時應從以下兩點進行分析:(1)知道萬有引力提供向心力。(2)理解衛星運行的特點。【解析】選A。地球對衛星的萬有引力提供向心力,由=得:T=2,由于周期T變大,所以衛星距地面的高度變大,A正確;由衛星運行的規律可知,向心加速度

11、變小,線速度變小,角速度變小,B、C、D錯。10.(2014海南高考)設地球自轉周期為T,質量為M,引力常量為G。假設地球可視為質量均勻分布的球體,半徑為R。同一物體在南極和赤道水平面上靜止時所受到的支持力之比為()A. B. C. D. 【解題指南】解答此題可按以下思路進行:(1)在南極時物體靜止在地球表面,支持力與萬有引力平衡;(2)在赤道上物體由于隨地球一起自轉,萬有引力與支持力的合力提供向心力。【解析】選A。在南極時物體受力平衡,支持力等于萬有引力,即;在赤道上物體由于隨地球一起自轉,萬有引力與支持力的合力提供向心力,即,兩式聯立可知A正確。二、非選擇題1.(2014上海高考)動能相等

12、的兩人造地球衛星A、B的軌道半徑之比RARB=12,它們的角速度之比AB=,質量之比mAmB=。【解題指南】解答本題注意以下兩點:(1)根據牛頓第二定律有: 、;(2)A、B兩衛星動能相等,即。【解析】根據牛頓第二定律有,解得: ,則。根據牛頓第二定律有,解得: ,則。A、B兩衛星動能相等,即,則。答案: 122.(2014四川高考)石墨烯是近些年發現的一種新材料,其超高強度及超強導電、導熱等非凡的物理化學性質有望使21世紀的世界發生革命性的變化,其發現者由此獲得2010年諾貝爾物理學獎。用石墨烯制作超級纜繩,人類搭建“太空電梯”的夢想有望在本世紀實現。科學家們設想,通過地球同步軌道站向地面垂

13、下一條纜繩至赤道基站,電梯倉沿著這條纜繩運行,實現外太空和地球之間便捷的物資交換。(1)若“太空電梯”將貨物從赤道基站運到距地面高度為h1的同步軌道站,求軌道站內質量為m1的貨物相對地心運動的動能。設地球自轉角速度為,地球半徑為R。(2)當電梯倉停在距地面高度h2=4R的站點時,求倉內質量m2=50kg的人對水平地板的壓力大小。取地面附近重力加速度g=10m/s2,地球自轉角速度=7.310-5rad/s,地球半徑R=6.4103km。【解析】(1)設貨物相對地心的距離為r1,線速度為v1,則r1=R+h1v1=r1貨物相對地心的動能為聯立得(2)設地球的質量為M,人相對地心的距離為r2,向心

14、加速度為am,受地球的萬有引力為F,則r2=R+h2am=2r2設水平地板對人的支持力大小為N,人對水平地板的壓力大小為N,則由牛頓第二定律知:F-N=m2am由牛頓第三定律知N=N聯立并代入數據得N=11.5N。答案:(1)(2)11.5N【誤區警示】(1)本題容易把貨物距地面的高度h1,當作貨物相對地心的距離r1,導致計算結果錯誤。(2)求的是人對水平地板的壓力,而不是人受到的支持力,容易忘記由牛頓第三定律加以說明。3.(2014北京高考)萬有引力定律揭示了天體運行規律與地上物體運動規律具有內在的一致性。(1)用彈簧秤稱量一個相對于地球靜止的小物體的重量,隨稱量位置的變化可能會有不同的結果

15、。已知地球質量為M,自轉周期為T,萬有引力常量為G。將地球視為半徑為R、質量均勻分布的球體,不考慮空氣的影響。設在地球北極地面稱量時,彈簧秤的讀數是F0。若在北極上空高出地面h處稱量,彈簧秤讀數為F1,求比值的表達式,并就h=1.0%R的情形算出具體數值(計算結果保留兩位有效數字);若在赤道地面稱量,彈簧秤讀數為F2,求比值 的表達式。(2)設想地球繞太陽公轉的圓周軌道半徑r、太陽的半徑RS和地球的半徑R三者均減小為現在的1.0%,而太陽和地球的密度均勻且不變。僅考慮太陽和地球之間的相互作用,以現實地球的1年為標準,計算“設想地球”的1年將變為多長?【解析】(1)物體處于北極以及北極上方時,萬

16、有引力等于重力,F0=G F1=G 可得= 當h=1.0%R時, =0.98在赤道上彈簧秤的讀數表示重力的大小,即F2=F0-m 可以求得=1- (2)根據太陽的引力提供地球的向心力,太陽的質量M=S所以有T= 從上式可以看出當r、R、RS均變為現在的百分之一時,周期不變,即仍為1地球年。答案:(1)=1- 0.98=1- (2)仍為1地球年【誤區警示】很多同學認為在地球表面,萬有引力和重力是一回事,其實萬有引力在高中的物理范圍內往往能夠起到兩種作用,其一是給星球表面的物體提供重力,而其二是給繞星球旋轉的物體提供向心力。在赤道和北極重力之所以會有區別,是因為北極處于地軸上,而地軸上的物體是沒有

17、旋轉半徑的,自然也提不到向心力的問題,其重力等于萬有引力;但是物體放在了赤道上,萬有引力就起到了兩種不同的作用:提供重力和提供物體隨地球一起自轉所需的向心力。4.(2014重慶高考)如圖為“嫦娥三號”探測器在月球上著陸最后階段的示意圖。首先在發動機作用下,探測器受到推力在距月面高度為h1處懸停(速度為0,h1遠小于月球半徑);接著推力改變,探測器開始豎直下降,到達距月面高度為h2處的速度為v;此后發動機關閉,探測器僅受重力下落至月面。已知探測器總質量為m(不包括燃料),地球和月球的半徑比為k1,質量比為k2,地球表面附近的重力加速度為g,求:(1)月球表面附近的重力加速度大小及探測器剛接觸月面

18、時的速度大小;(2)從開始豎直下降到剛接觸月面時,探測器機械能的變化。【解題指南】解答本題需注意以下兩點:(1)放在中心天體表面的任一物體m,忽略中心天體自轉的影響,有。(2)探測器的機械能的變化等于其動能的變化和重力勢能變化的和。【解析】(1)設地球質量和半徑分別為M和R,月球的質量、半徑和表面附近的重力加速度分別為M、R和g,探測器剛接觸月面時的速度大小為vt由和得由得(2)設機械能變化量為E,動能變化量為Ek,重力勢能變化量為Ep,由E=Ek+Ep有E=得答案:(1) (2) 5.(2014大綱版全國卷)已知地球的自轉周期和半徑分別為T和R,地球同步衛星A的圓軌道半徑為h。衛星B沿半徑為r(rh)的圓軌道在地球赤道的正上方運行,其運行方向與地球自轉方向相同。求:(1)衛星B做圓周運動的周期;(2)衛星A和B連續地不能直接通訊的最長時間間隔(信號傳輸時間可忽略)。【解題指南】解答本題可以從以下四個方面分析:(1)衛星A、B繞地球做圓周運動的向心力與衛星和地球引力的關系。(2)衛星A、B運動的周期的關系,如何用地球的自轉周期表示衛星B繞地球運動的周期。(3)衛星A、B不能直接