1、摘 要極坐標法是一種重要的解題方法，雖然高中數學教材已經刪去極坐標的內容，但這一思想和方法對解決平面幾何問題和高等數學問題都有很重要的作用，有必要加以深入研究。本文首先對極坐標的基礎知識進行闡述，給出了極坐標的相關概念，以及求曲線方程的方法與步驟，并求出了三種圓錐曲線統一的極坐標方程，然后討論了極坐標在平面解析幾何中的應用，最后探討了極坐標在解決高等數學問題的應用。通過對極坐標在數學各方面的應用的探討，我們能夠發現極坐標有很大的優越性。通過探討研究，使我們對極坐標這一思想和方法有更深的了解，并使學生對高中平面解析幾何內容有完整的把握，有更深層次的掌握。同時，這種對知識的深入掌握可以使教育者更好

2、的完成對其的教學任務。關鍵詞：極坐標；應用；優越性abstractthe method of using the polar coordinates is an usually used method. although the content of the method has been deleted in the process of editing the mathematical textbook for middle school students, this method is very important to solve the problem of plane geomet

3、ry and advanced mathematics. it is necessary to study this method further.first this paper illustrates the basic knowledge of polar coordinates. the writer gives the relative concepts of polar coordinates and the method and steps of solving curve equation, and work out the polar coordinates equation

4、 of three taper curves. second it discusses the application of the method in plane analytic geometry. and then it probes into the application of the method in solving the advanced mathematical problem. by exploring the application of polar coordinates in many mathematical aspects, we may notice the

5、advantages of polar coordinates and its certain applicable range. by studying, it makes us understand the concepts and the thinking further. it also makes the students grasp the content of plane analytic geometry wholly and deeper in middle school. also, the deep understanding of the knowledge makes

6、 the teacher finish the educational tasks better.keywords: polar coordinates; application; advantages前 言第一個用極坐標來確定平面上點的位置的是牛頓。他的流數法與無窮級數，大約于1671年寫成，出版于1736年。此書包括解析幾何的許多應用，例如按方程描出曲線，書中創見之一，是引進新的坐標系。瑞士數學家j.貝努力利于1691年在教師學報上發表了一篇基本上是關于極坐標的文章，所以通常認為j.貝努利是極坐標的發現者。j.貝努利的學生j.赫爾曼在1729年不僅正式宣布了極坐標的普遍可用，而且自由地應用

7、極坐標去研究曲線。 在平面內建立直角坐標系，是人們公認的最容易接受并且被經常采用的方法，但它并不是確定點的位置的唯一方法。有些復雜的曲線用直角坐標表示，形式極其復雜，但用極坐標表示，就變得十分簡單且便于處理，在此基礎上解決平面解析幾何問題也變的極其簡單。通過探究極坐標在平面解析幾何中的廣泛應用，使我們能夠清楚的認識到，用極坐標來解決某些平面解析幾何問題和某些高等數學問題比用直角坐標具有很大的優越性，故本文對其進行了初步探討。 國內外研究動態，不僅在數學理論方面，很多學者對極坐標以及極坐標方程做了深入探究，而且在如物理、電子、軍事等領域，很多學者對極坐標也有較深的研究。由此看來，極坐標已應用到各

8、個領域。第一章 預備知識1.1 極坐標系的建立在平面內取一個定點，叫作極點，引一條射線，叫做極軸，再選定一個長度單位和角度的正方向(通常取逆時針方向)。對于平面內任意一點，用表示線段的長度，表示從到的角度，叫點的極徑，叫點的極角，有序數對就叫點的極坐標。這樣建立的坐標系叫極坐標系，記作若點在極點，則其極坐標為=0，可以取任意值。 圖1-1 圖1-2 如圖1-2，此時點的極坐標可以有兩種表示方法：(1) 0， (2) 0， 同理，也是同一個點的坐標。又由于一個角加后都是和原角終邊相同的角，所以一個點的極坐標不唯一。但若限定， ，那么除極點外，平面內的點和極坐標就可以一一對應了。1.2 曲線的極坐

9、標方程在極坐標系中，曲線可以用含有這兩個變數的方程來表示，這種方程叫曲線的極坐標方程。求曲線的極坐標方程的方法與步驟：1建立適當的極坐標系，并設動點的坐標為；2寫出適合條件的點的集合；3；4化簡所得方程；5證明得到的方程就是所求曲線的方程。三種圓錐曲線統一的極坐標方程： 圖1-3過點作準線的垂線，垂足為，以焦點為極點，的反向延長線為極軸，建立極坐標系。設是曲線上任意一點，連結，作，垂足分別為那么曲線就是集合.設焦點到準線的距離，得 即 這就是橢圓、雙曲線、拋物線的統一的極坐標方程。其中當時，方程表示橢圓，定點是它的左焦點，定直線是它的左準線。時，方程表示開口向右的拋物線。時，方程只表示雙曲線右

10、支，定點是它的右焦點，定直線是它的右準線。若允許，方程就表示整個雙曲線。1.3 極坐標和直角坐標的互化把直角坐標系的原點作為極點，軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，設是平面內任意一點，其直角坐標，極坐標是，從點作，由三角函數定義，得.圖1-4進一步有 注：在一般情況下，由確定角時，可根據點所在的象限取最小角。第二章 極坐標在平面解析幾何中的應用2.1極坐標法求到定點的線段長度解析幾何中涉及到某定點的線段長度時，可以考慮利用極坐標法求解。但是絕大多數解析幾何問題中題設條件是以直角坐標方程形式給出的，在求解過程中運算繁瑣復雜，將此類問題轉化為用極坐標方程求解，十分簡潔，收到良好

11、的效果。巧設極點，建立極坐標系是解決問題的關鍵。2.1.1以定點為極點如果題設條件與結論中，涉及到過某定點的線段長度問題，應該取該點為極點，先將直角坐標原點移動到點，施行平移公式、直角坐標與極坐標互化公式，化普通方程為極坐標方程求解。例1 設等腰的頂角為，高為，在內有一動點，到三邊 的距離分別為，并且滿足關系，求點的軌跡。圖2-1解: 如圖2-1所示,以為極點,的平分線為極軸,建立極坐標系，設點極坐標為,則由得 化簡得 化成直角坐標方程為 這是以為圓心，以為半徑的圓，所求的軌跡是該圓在等腰內部的部分。 2.1.2以原點為極點如果題設條件或結論中涉及到直角坐標系原點的線段長度時，應選取原點為極點

12、，應用互化公式，將直角坐標方程轉化極坐標方程求解。例2 已知橢圓，直線:，是上一點，射線交橢圓于，又點在上，且滿足，當點在上移動時，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。解: 如圖2-2所示，以為極點，為極軸，建立極坐標系。則由互化公式知橢圓的極坐標方程為 (1)直線的極坐標方程為 (2) ，則由(1)式知 由(2)式知又,有所以 即 點的軌跡是以為中心，長軸、短軸分別為且長軸平行與軸的橢圓，去掉坐標原點。圖2-22.1.3以焦點為極點 凡涉及圓錐曲線的焦半徑或焦點弦長度的問題，應選取焦點為極點(橢圓左焦點，雙曲線右焦點)，應用圓錐曲線統一的極坐標方程求解。例3 設為拋物線的頂點，為焦點，且為

13、過的弦。已知。圖2-3解: 如圖2-3所示，以為極點，的反向延長線為極軸，建立極坐標系。則拋物線的極坐標方程為 于是 2.2 極坐標簡解與角有關的解析幾何題含有已知角或公共頂點的一類解析幾何題，運用極坐標系（或化直角坐標系為極坐標系）進行解題，常可避繁就簡，化難為易，達到事半功倍的效果。下面分類舉例說明。2.2.1含有已知角，角頂點為極點例4 已知在的兩邊上，=，的面積為8，求的中點的軌跡方程。圖2-4解：以為極點，為極軸，建立極坐標系，如圖2-4所示，設，則 即 (1) 因為 所以 (2) (3)得 (4)(1)代入(4)并化簡，得即為所求。2.2.2含有已知角，坐標軸平移，化角頂點為極點例

14、5 已知曲線：，頂點（2，0），點是上的動點，是以為斜邊的等腰直角三角形，頂點按順時針排列，為坐標原點，求的最大值及點的坐標。圖2-5解: 曲線化為：，以點為新坐標系原點，則曲線為 以點為極點，軸的正方向為極軸，建立極坐標系。如圖2-5所示，則曲線為 (1)設，則 (2)(2)代入(1)得 即 所以點的軌跡方程為 即 (3)故當過（3）的圓心時，的最大值為，此時點的坐標為.2.3 極坐標法證明幾何定理在平面幾何證明中，極坐標法是一種重要的方法，應用十分廣泛，下面以部分平面幾何中著名定理為例，談談極坐標法在證明中的應用。2.3.1應用圓心是，半徑是的圓的方程來證明例6 求證：圓內接四邊形兩組對邊

15、乘積的和等于兩條對角線的乘積（托列迷定理）。證明：如圖2-6，以為極點，的延長線為極軸建立極坐標系。設圓的半徑為， 則：. 、三點都在上， 另由正弦定理得 圖2-62.3.2應用極點在圓上，圓心為的方程證明例7 自圓上一點引三弦，并以它們各自為直徑畫圓。求證：所畫三圓的其它三交點共線（沙爾孟定理）。圖2-7證明：如圖2-7 ,分別是的直徑，分別是的交點，以為極點，的延長線為極軸建立極坐標系，為簡便計，設，極軸與的交角分別為，則所以 （1） （2） （3）設，則由（1）、（2）得 取，得，代入（1）中，得.點坐標為.同理應用輪換得點坐標為，點坐標為.顯然三點坐標滿足法線式方程故三點共線，命題獲證

16、。2.3.3應用圓的極坐標方程、兩點或直線方程和法線式方程證明例8 求證：三角形外接圓上任一點在三邊上的射影共線（西摩松定理）。圖2-8證明：如圖2-8，以為極點，的延長線為極軸建立坐標系。設的外接圓直徑為，則的方程為，設頂點為的兩點式方程為. 這是的法線式方程，故知垂足的坐標為.輪換三個頂點的坐標，得，顯然三點的坐標滿足法線式方程三點共線 ，定理得證。第三章 極坐標在高等數學中的應用3.1 用極坐標變換確定二重極限若二元函數在以原點為中心，以為半徑的去心圓域內有定義，當時，所謂函數極限的未定式是指，且時的二重極限.判定未定式二重極限不存在，常用的方法有以函數所屬的類型，選取路徑，使不存在；或

17、者選取兩種不同路徑，使都存在，但二者不相等。但對于判定未定式二重極限存在，并求其極限值，往往很困難，沒有有效的方法。本文用極坐標變換就代換的幾種類型進行了研究。在極坐標變換，討論，即相應于時，二元函數的極限。特地將函數化成形式，以確定函數的二重極限。3.1.1函數=極限存在的情形 1. 當，即時，可直接用洛必達法則計算.例1 求解：令 =例2 求解：令 2. 若存在，對充分小的和任何，有，則 例3 求.解：令 此時，所以 3.1.2函數=極限不存在的情形1. 若不是常值函數，與方向角有關時，則不存在。例4 計算.解：令，對任意所以不存在。2. 若不存在時，則不存在。例5 計算 解：令 雖然 但

18、是 因此不存在。3. 若不存在，且時，則不存在。例6 計算 解：令 由于不存在，因此不存在。總之，對函數作極坐標變換后，依次不同類型化成的不同形式，能夠方便、快捷地判斷當時，函數二重極限存在性。 32 在極坐標下定積分的應用3.2.1平面區域面積的極坐標計算公式定理1 設平面曲線的極坐標方程為，連續，則由曲線軸及二直線所圍成區域面積為 (3-1)其中.證明：把曲線的極坐標方程化為關于極角的參數方程1. 若函數嚴格減少，有則由曲線軸和二直線圍成區域面積為圖3-12. 若函數嚴格增加，有 則由曲線軸和二直線圍成區域面積為圖3-2歸納（1）、（2）有若函數在連續，且則由曲線軸和二直線圍成區域面積為同

19、理可證得定理2 設平面曲線的極坐標方程為連續，則由曲線軸及二直線所圍成區域面積為 (3-2)其中 圖3-33.2.2旋轉體體積極坐標公式定理3 設平面曲線的極坐標方程為連續，則1. 由曲線軸及二直線圍成平面區域繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積為 (3-3)圖3-42. 由曲線軸及二直線圍成平面區域繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積為 (3-4)事實上，將參數方程代入 即可得到公式（3-3）和公式（3-4）.圖3-53.2.3旋轉體側面積極坐標公式定理4 設平面曲線的極坐標方程為連續，則：1. 由曲線軸及二直線圍成平面區域繞軸旋轉一周所得旋轉體的側面積為 （3-5）2. 由曲線軸及二直線圍成平面區域繞軸旋轉一周所得旋轉體的側面積為 （3-6）事實上，方程代入 或即可得到公式（3-5）和（3-6），其中. 例7 求心形線圍成區域的面積，繞極軸旋轉所得旋轉體的體積和側面積。解：（1） 根據圖形的對稱性由公式（3-1）有：心形線圍成區域的面積為（2）心行線繞極軸旋轉所得旋轉體體積由公式（3-3）有（3）心行線繞極軸旋轉所得旋轉曲面面積由公式（3-5）有圖3-6