1、九連環中的數學石嘴山市第三中學高二年級七班郭婉婷l 課題：探索九連環中的數學規律l 研究人：郭婉婷l 研究方法：通過網絡和書籍查找相關資料，收集，整理，得出結論l 研究時間：2011年9月1日l 研究過程：1.提出問題2.做出假設3.查找資料4.驗證假設5.概括整理6.得出結論l 研究成果：九連環中蘊含著深刻的數學思想，與數學中的二進制，N次方，數列等知識具有緊密聯系。l 總結體會：研究性學習讓我明白了探討問題的基本方法，即提出問題、做出假設、解決問題、得出結論。從研究學習的過程中既能夠鍛煉能力，增長知識，最重要的是獲得探索的樂趣，使我明白了重點不在于結果而在于過程。九連環中的數學探索九連環中

2、的數學規律石嘴山市第三中學 高二年級七班 郭婉婷【摘 要】九連環是我國的一種傳統智力玩具，歷史悠久，流傳廣泛，征服了古今中外無數愛好者，是中國傳統文化中的一顆璀璨明珠。而本文主要探索九連環中的數學規律?！娟P鍵詞】九連環；數學；規律；九連環是中國傳統的有代表性的智力玩具，凝結著中國傳統文化，具有極強的趣味性。九連環能既練腦又練手，對于開發人的邏輯思維能力及活動手指筋骨大有好處。同時它還可以培養學習工作的專注精神和耐心，實為老少咸宜。l 九連環的發展歷史九連環歷史非常悠久，據說發明于戰國時代。它是人類所發明的最奧妙的玩具之一。宋朝以后，九連環開始廣為流傳。在明清時期，上至士大夫，下至販夫走卒，大家

3、都很喜歡它。很多著名文學作品都提到過九連環，紅樓夢中就有林黛玉巧解九連環的記載。在國外，數學家卡爾達諾在公元1550年已經提到了九連環。后來，數學家華利斯對九連環做了精辟的分析。格羅斯也深入研究了九連環，用二進制數給了它一個十分完美的答案。九連環主要由九個圓環及框架組成。每一個圓環上都連有一個直桿，各直桿在后一個圓環內穿過，九個直桿的另一端用板或圓環相對固定住。圓環在框架上可以解下或套上。玩九連環就是要把這九個圓環全部從框架解下或套上。九連環的玩法比較復雜，無論解下還是套上，都要遵循一定的規則。19世紀的格羅斯經過運算，證明共需要三百四十一步，到目前為止還沒有其它更為便捷的答案。1975年國外

4、出了一本關于離散數學的書，其中收錄了這樣一個數列： 1,2,5,10,21,42,85,170,341 這就是九連環的數列。實際上，解下或套上n連環所需步數可用CM公式算出： f(n)=2(n 1)-0.5*(-1)n-1.5/3。九連環的確環環相扣，趣味無窮。在第一次玩時，需要分析與綜合相結合，不斷進行思考和推理。復雜的玩法需要耐心和在困難面前不急躁的作風，切不可心浮氣躁，使用暴力。玩九連環的次數多了，就會越來越熟練，也會對玩法有更加深刻的理解，能更好地體會其中的內在思想。l 九連環的特點九連環是我國的一種傳統智力玩具，歷史悠久，流傳廣泛，征服了古今中外無數愛好者，是中國傳統文化中的一顆璀璨

5、明珠，與七巧板、華容道并稱為我國古代三大智力玩具。九連環在其上千年的發展中，產生了許許多多的變種，形成了一大類連環類玩具。我國研究和收藏連環類玩具的專家周偉中先生指出，連環類玩具的種類至少在1000種以上，他本人收藏的就達600余種。連環類玩具有三大特點：一是挑戰性。任何一種連環的解法都具有較高的難度，有的難度極高，甚至令人覺得根本不可能解開。因此解連環就具有強大的挑戰性，強烈地吸引著人們的好奇心和征服欲。二是規律性。智力玩具都有其內在的規律，連環類玩具的規律性則特別強，必須按照特定的程序，有條不紊地操作，才能最終解開。三是趣味性。伴隨著挑戰性和規律性而來的是趣味性。蘇霍姆林斯基說：“在人的心

6、靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是一個發現者、研究者、探索者。而在兒童的精神世界中，這種需要則特別強烈?！币虼?，人們對智力玩具具有天生的愛好，都想探索它、研究它、發現其中的奧妙，兒童更是如此。挑戰性越強就越能吸引人，發現規律的過程往往令人心醉神迷。由于這三大特點，連環類玩具具有良好的教育功能，首先是開發智力，這一點很明顯，無庸贅述。其次，也許更重要的是非智力因素的培養。解九連環不但難度大，而且操作相當復雜，即使是熟手，也需6分鐘一8分鐘(目前世界記錄是1分54秒)。一般人就可能需要加倍的時間了。這對于培養信心、耐心、細心、恒心都是很有功效的，對于兒童來說尤其重要。本文綜合已經

7、得到的研究成果，看看九連環中的數學問題，希望能夠提高各位玩家的興趣。l 九連環的解法顧名思義，九連環有9個環，環環相連。這九個環套在一個劍形的環柄上，從最左邊起，依次叫1號環、2號環、9號環。環柄的把叫柄把，形似劍葉的部分叫柄釵。環可以從柄釵這一端套上或取下，但不能從柄把這一端套上或取下。每一個環都連有一根環桿，1號環的環桿穿過2號環，2號環的環桿穿過3號環，8號環的環桿穿過9號環。環桿的另一端都穿過一塊底板。這樣環通過桿連在一起，桿又通過底板連在一起，形成一個疊錯扣連的封閉體系。九連環的奧妙就來自它的這種結構。解九連環首先要掌握以下兩種基本操作。1. 單環和雙環上、下法單環上、下法就是把1號

8、環裝上或取下的方法。上環時首先將環轉90，自下而上從環柄的兩根桿中穿過；然后將環再轉90，向左移過環柄的左端，套到環柄上。下環的過程是上環的逆過程。雙環的上、下法與單環相同，只是需同時拿住兩個環操作(只適用于1、2號兩個環)。2. 3號環的上、下法大于2號的環，其上、下法都相同，這里我們以3號環作代表來說明。上環時，2號環必須在柄上。1號環必須在柄下。操作方法是，先將在柄上的2號環左移，退出環柄，推到柄釵的上方；再按照單環的上法將3號環套人柄釵；最后將2號環下降，套入柄釵復位。下環時，首先也用同樣的操作將2號環“浮”到柄釵的上方；然后下3號環，其路線與上的路線恰好相反；最后要用同樣的操作將2號

9、環復位。根據九連環的結構，我們來分析一下每一環套上柄釵和從柄釵上取下的情況。對于1號環，由于沒有別的環的環桿約束它，所以它可以自由上、下。對于2號環，由于1號環的環桿從其中穿過，把它與l號環連起來，所以它可以隨1號環一起上下；如果要單獨下，那么l號環必須在柄上，否則的話，由于1號環在柄下，它的環桿已在柄外，而這根環桿是穿過2號環的，它就會阻止2號環在左移過柄釵后返回，重新從兩根橫桿中間落下，這樣2號環就無法下環。2號環的上環與下環卻有所不同，這時1號環在柄上、柄下均可。在柄上時，上法相同；在柄下時，由于其環桿穿過2號環，在2號環上時，會連帶著把l號環也帶到柄釵上方“浮”著，解決的方法是只要把它

10、向左推過柄釵的左端即可。對于3號環的下，可以發現，若1、2號環都在柄上，則1號環的環桿將阻止3號環左移過柄釵；若l、2號環都在柄下，則2號環的環桿將阻止3號環在左移過柄釵后從兩根橫桿之間落下，所以都無法實現下環。當且僅當1號環在柄下、2號環在柄上時，3號環才能取下。3. 其他各環的情況以下依此類推，4號環、5號環、的上下，都與3號環類似，當且僅當它前面相鄰的環在柄上，再前面的所有環都在柄下時，這個環才能上下。因此，要取下9號環，8號環必須在柄上，17號環必須在柄下；要取下8號環，7號環必須在柄上，16號環必須在柄下；由此可知，解九連環時，第一步應取下1號環，而不可將1、2號環同時取下，否則就無

11、法取下3號環，而在不影響3號環上下的情況下，1、2號環可同時上下，以便加快速度。從上面的分析可知，九連環的9個環中，1號環可自由上、下，1、2號環可以同時自由上、下；2號環可以自由上，但只有1號環在柄上時才能下；其他的環都只能在嚴格的條件限制下單獨上、下。這就是解九連環的規則，按照這一規則就可順利地解九連環。l 九連環與二進制二進制數是九連環中蘊藏的最驚人的數學理念。1號環可以隨意穿進穿出，這就相當于二進制中的0和1。事實上，9個環中，只有1號環能夠隨意進出，其他的環都必須在滿足一定條件的情況下，才能被取下和套上。如果要取下3號環，則1、2號環必須安裝上；如果要取下4號環，則1-3號環必須安裝

12、好。同理，如果要取下N號環，則1-（N-1）號環必須安裝好才可以實現。同樣的，如果想取下第N個環，必須保留N-1環的情況下，將其余的1-（N-2）號環清零，這種思路，就是二進制的思路。前面所有位數全滿的情況下，才能向最高位進位?，F在，我們分析一下解九連環的完全解法。由于每次只動一個環，故兩步只有一個數字不同。為簡單起見，我們先以五個環為例分析。左邊起第一列的五位數是5個環的狀態，依次由第一環到第五環，如11000就表示第一環第二環在上面。第二列是把這個表示次序反轉后得到的五位數，可以看成二進制數。第三列是從初始狀態到這個狀態所用的步數。最右邊一列才是步數的二進制表示。環的狀態順序序數反轉步數十

13、進制步數二進制00000000000000001000000001100001110000001120001001000000103000110110000110400100111000011150010110100001016001100010000100700111001100110080100010110011019010011111001111100101001110011101101011010100101012011001101001011130110110010010011401110000100100015011110001111000161000010011110011710

14、00111011110111810010010111101019100110111111110201010011111111112110101 由上表可以看出，二進制數從00000到11111相當于十進制的32，而九連環的變化只有21步！并非嚴格按照二進制來的，更無法將環的狀態序數碼和步數掛鉤。 我們發現，右邊一列數恰好是0到21的二進制數的Grey碼！格雷碼（英文：Gray Code, Grey Code，又稱作葛萊碼，二進制循環碼）是1880年由法國工程師Jean-Maurice-Emlle Baudot發明的一種編碼，因Frank Gray于1953年申請專利“Pulse Code Co

15、mmunication”得名。當初是為了機械應用，后來在電報上取得了巨大發展，現在則常用于模擬數字轉換和轉角數字轉換中。 典型格雷碼是一種具有反射特性和循環特性的單步自補碼，它的循環、單步特性消除了隨機取數時出現重大誤差的可能，它的反射、自補特性使得求反非常方便。 格雷碼屬于可靠性編碼，是一種錯誤最小化的編碼，因為它大大地減少了由一個狀態到下一個狀態時電路中的混淆。由于這種編碼相鄰的兩個碼組之間總是只有一位不同，因而在用于模數轉換中，當模擬量發生微小變化而可能引起數字量發生變化時，格雷碼僅改變一位，這樣與其它碼同時改變兩位或多位的情況相比更為可靠，即可減少出錯的可能性這就允許代碼電路能以較少的

16、錯誤在較高的速度下工作。而普通二進制編碼則有可能存在同時變化多位的情況，如從1110變成1000就要求四位碼同時變化，因而也變得非常不可靠，在模數電路中很少采用。 如何才能從二進制數轉換為格雷碼呢？將一個二進制數，從右到左檢查，如果某一數字左邊是0，該數字不變；如果是1，該數字改變。二進制數11011的格雷碼是10110。 由格雷碼表示變為二進制數：從右到左檢查，如果某一數字的左邊數字和是偶數，該數字不變；如果是奇數，該數字改變（0變為1，1變為0）。如格雷碼10101表示為二進制數是11001。根據以上規律，我們將5位二進制數依次寫完，并將第二列數字用二進制數的格雷碼來表示，同時將序號反轉，

17、求得第一列，也就是五個環的排列狀態，如下表：10111111012210110001111110023101110010110100241100010101101012511001111011011126110100110110110271101101001100102811100110011001129111011000110001301111000001100003111111 我們很驚奇的發現，對于只有5個環的五連環，從初始到狀態11111用的不是并不是最多，到狀態00001才是最多，用31步！而所謂的狀態00001正是只有第五環的情況，也就是說，此時我們可以上第六環了！ 這是一種奇怪的

18、步進方式，并非嚴格的二進制數，卻是九連環的步進方式。現在，已經有數學家指出，可以通過格雷碼直接算出十進制數，也許冥冥之中，九連環就是最古老的計算工具和模型！ 以此類推，對于九連環，從初始到狀態用的不是并不是最多（即將柄全部套上九環），到狀態才是最多，用511步，而此時，又準備將第十環（虛擬環）裝上，也就是進位了。由于格雷碼表示二進制數，表示十進制數341，故從初始狀態到9個環全部上去用341步。由于第二環和第一環的解法既可以視為兩步，也可以將二者合二為一，看做一步，所以九連環的簡單解法步數其實只有256步！這個數字也許看上去更加神奇，因為它是2的8次方！也就是（9-1）次方！ 設九連環的初始狀

19、態是，要求終止狀態是，簡單解法與完整解法各需要多少步？過程如何？ 初始狀態，格雷碼是，轉換為二進制數是，相應十進制數是141。終止狀態是，格雷碼是，轉換為二進制數是，相應十進制數是327。二者差： 326141186，完整解法需要186步。簡單解法步數，我們由141，327分別求相應的簡單步數， 對于N=141，得到N0=103；對于N=327，N0=242.二者差139，故簡單步數139。l 九連環與N次方根據上面的分析可知，九連環的拆裝都需要256步（傳統的算法是341步，把兩個環同時拆裝看做兩步）。而如果達到只保留第九環的情況，那就是511步，恰好是2的9次方！ 進一步的研究可以發現，以

20、256步而論，一個環的拆裝需1步，三個環需4步，五個環需16步，7個環需64步，而九連環恰好達到需256步；即每增加兩個環步數呈4倍增長。我們看看對應的公式： 一個環 1步 2的0次方 2的（1-1）次方 1的平方 三個環 4步 2的2次方 2的（3-1）次方 2的平方 五個環 16步 2的4次方 2的（5-1）次方 4的平方 七個環 64步 2的6次方 2的（7-1）次方 8的平方 九個換 256步 2的8次方 2的（9-1）次方 16的平方也就是說，奇數個環的情況下，要想解開必須付出2的（N-1）次方步。與此同時，這些數還是完全平方數。如果是偶數個環，情況有些不同，二連環需1步，4連環需7

21、步，6連環需31步，8連環需127步，每增加兩個環步數呈4倍加3增長。除了前兩個環的情況，有其特殊性，一、二號環可以一起拆下之外，其余的集中情況均為2的（N-1）次方再減去1！即： 四個環 7步 2的3次方-1 六個環 31步 2的5次方-1 八個環 127步 2的7次方-1奇數個環時，拆裝步數的尾數為4或6（一個環除外），而且必然是完全平方數，即一個環時步數為1的二次方，三個環為2的二次方，五個環為4的二次方，七個環為8的二次方，九個環為16的二次方；偶數個環時，拆裝步數的尾數是1或7。只要加上1，就是2的N次方的形式。l 九連環與數列奇數個環時，拆裝步數的尾數為4或6（一個環除外），而且必

22、然是完全平方數，即一個環時步數為1的二次方，三個環為2的二次方，五個環為4的二次方，七個環為8的二次方，九個環為16的二次方；偶數個環時，拆裝步數的尾數是1或7。只要加上1，就是2的N次方的形式。根據上面的介紹，我們可以再細化一下。如果我們從九連環的九個環都在下邊的初始狀況開始，到上第一個環所用的操作次數（稱作步數）記作J1，到上前兩個環的步數記作J2，到上前三個環的步數記作J3，等等。既然是討論數學，我們完全可以設想出更多的環，這樣就得到一個數列。九連環有兩種不同的玩法，即完全解法和簡單解法，把數列分別記作Jn（完全解法）與jn（簡單解法）。用字母J或j，是使用九連環漢語拼音的第一個字母，也可以采用Rn與rn，九連環在英語里的名稱是The Chinese Rings ,或The Chinese Rings Puzzle。它們的前九項分別是1，2，5，10，