1、高斯最小移頻鍵控編碼系統最優化摘要：在這一部分，將要研究在加性高斯白噪聲下高斯最小頻移鍵控的分組碼和卷積碼。在使用簡單的次優化解調系統時，分組碼和卷積碼中分別用多種分組長度和約束長度發現可不以帶寬的增加來獲得性能的提高。對一個固定系統傳輸帶寬，根據不同的帶寬值，編碼的帶寬利用率和調制的頻帶利用率之間的權衡會被檢驗和最優化。索引詞條：分組碼，卷積碼，編碼，高斯最小頻移鍵控，最優化方法。概述gmsk是在1981年被首次提出的一種流行的調制方法，因為它的多種特性例如高效的帶寬和連續的包絡，它成為了一種被廣泛用于蜂窩系統諸如gsm和dcs1800的調制方案中。盡管gmsk的性能已由幾項研究分析過，例如

2、3-7,gmsk的編碼也受到了一些重視，但是有些工作，例如gmsk編碼的最優化還沒有得到充分驗證。眾所周知，當考慮到調制的獨立性時，編碼會增加所需傳輸帶寬，但是，在給定傳輸帶寬下調制和編碼的折中并沒有得到很好的理解。在這一部分，我們會檢驗在加性高斯白噪聲信道中已編碼gmsk系統的權衡，并且決定在傳輸帶寬的范圍內編碼量的優化。我們也會推導使用相同傳輸帶寬時較未被編碼的系統情況所能獲得的量化增益。為了使編碼系統與未編碼系統的帶寬相同，我們使用如圖1的編碼方法。編碼系統的編碼器增加了所必須傳輸的比特數，為保持傳信率恒定，這些編碼比特的比特間隔必須被縮短。更短的比特間隔導致的結果是傳輸帶寬的增大，因此

3、，編碼系統所使用的調制器必須采用了相比較無編碼系統中為使整個傳輸帶寬固定的調制器而言的較小的bb即調制器的前置濾波器的帶寬，它將在下一章節定義，所以，相同帶寬的未編碼系統與編碼系統可以產生。無編碼系統 gmsk調制器數據源編碼gmsk系統gmsk調制器（窄帶）編碼數據源 圖一.編碼gmsk系統作為參照與無編碼系統相對照其余部分作如下安排：首先，我們先從一些基本的gmsk討論和評估系統性必要的測量指標開始，然后我們考慮分組碼和編碼與調制組合的優化，最后，檢驗卷積碼中中的優化問題并得出一些結論。二 基本準備a. gmsk調制一個gmsk信號可以表示為 (1),這里，a表示信號的幅度，fc表示載頻，

4、ak表示輸入數據，t是比特間隔，g(t)是決定整個調制信號頻譜特性的頻率脈沖，編碼系統的比特間隔與無編碼系統的比特間隔的關系式為(2)，r是碼率。對于gmsk，g(t)由5給出， (3),此處的erf(.)被定義為 (4),k是恒定值，以使脈沖間隔等于1/2,bb表示gmsk調制器中所使用的高斯濾波器的3db帶寬，c是給定的常值，脈沖頻率是持續作用以便使頻率嚴格縮短到-t/2,t/2區間內。參數l是調制器的內存長度，即信號標志可以影響的數字符號。在這一部分，我們使用l=3，因此,gmsk信號的頻譜，帶寬可以容易的由參數bb控制。較大的bb值可產生較大的信號帶寬。b. 帶寬為了決定在相同帶寬是何

5、種編碼率和bb組合能夠與無編碼系統有相同的結果，在這一部分，我們使用百分比能量容納帶寬，用bx表示，即包含x%信號能量的帶寬，例如，b99.9就是包含了99.9%信號能量的帶寬。對gmsk，b90,b99，b99.9如圖2所示。當bbt從0.45增加到0.5時，b99.9曲線快速上升。正如我們可以從gmsk的功率譜密度圖上看到的那樣，例如1，這是由主瓣和旁瓣展寬引起的。功率譜密度中，b99.9對變化更為靈敏使曲線快速上升。c誤碼率 信號在加性高斯白噪聲信道中傳輸，高信噪比時gmsk誤碼率被定義為（5），這里，erfc(.)是互補誤差函數，（6），是表示0的信號與表示1的信號之間的歸一化最小歐式

6、距離，e每比特位的能量，no/2是加性高斯白噪聲的功率譜密度，即snr等于e/no.gmsk歸一化最小歐式距離得到定義并如圖1所示,當bb增加時，接近最大值2，與最佳反極信號的性能相一致。盡管gmsk是帶有存儲的調制系統，在這一部分，我們使用簡單的調制方案，僅依靠一個比特幾個可能的信號波形中的兩個之間的最小距離。為了在無編碼和編碼系統中做一個相當的比較，無編碼系統中（5）e的值是eb,是傳送每比特信息的能量。對于編碼系統，e的值使用reb，因為無編碼比特的能量擴展到更多編碼比特。分組碼a.性能 分組碼通常表示為（n,k,t）,n是分組長度，k是信息比特位數，t是可以被糾錯的錯誤比特數，誤碼率定

7、義為k/n。在加性高斯白噪聲信道中使用分組碼時，誤碼率近似表示為9，（7），p是信道的錯誤概率，對于gmsk,p由（5）給出。b.最優化問題對于給定的傳輸帶寬和信噪比，在使用編碼gmsk系統時，什么才是最小的錯誤可能。相似的，為了得到一定概率的錯誤什么才是最小snr？這個問題基本上可以歸結為給定帶寬時尋找最好的gmsk調制和編碼率組合。眾所周知，提高分組長度可以提高性能，所以我們考慮對各種長度的最優化問題。數學上，這個最優化問題可以陳述如下，對b使（7）最小，n,eb/no=常值。在最優化過程中可以變化的參數是t,由于這是一個離散的最優化問題，即變量t只能取正整數，我們可以由（7）從1計算直到

8、得到最小值。我們知道，由于等式的單調性只能有一個最小值，當t增加時，編碼率下降，導致調制可用頻帶降低。這反過來導致（5）中的dmin變大。因此，p隨著t的增大而增大。在式（7）中，當t增加時p也增加，這導致pb暫時的降低，直到p的增加抵消數量上的減小，這產生了唯一的最小值pb.cbch編碼方案為了研究編碼gmsk性能的限制因素，我們通常使用bch碼解決最優化問題，參數取自10，附錄e。為了在以下條件下計算（7），我們設置如下：1.設t=1，2.為t選擇bch碼參數，3.調制可用帶寬bx=rb，4.計算對應于bx的bb值，5.計算這個bb值的最小距離，6.利用（5）和e/no=reb/no，7.

9、利用（7）計算pb，8.增加t，9.重復步驟（2）到（8），直到找到最小值。舉個例子，按照要求的信噪比為達到pb=10-5，我們在圖3中列出了gmsk調制參數。正如參數所示，當t增加時，性能有所提高，直到達到最小值直至惡化。使用分組長度為255時無編碼系統的最大提高是近似為2.3db。我們可以看到當分組長度變為兩倍時性能近似常值。正如期望的那樣，存在一個給定總傳輸帶寬下編碼與調制的最優組合。檢驗相關等式，當t增加時，編碼率會降低。這導致較小的gmsk調制帶寬，因此也有較小的dmin*dmin和較高的p,如果t恒定，加大的p值回事pb增加。另一方面，如果p恒定，加大的t值會使pb減少。由于t和p

10、都增加，使得t的增加取決于p的增加是如何反應t的增加的。只要p增加的不是太多，t的增加對于較小的pb是足夠的。在某些點，p增加太多反而使t和pb的增加惡化。這就引起如圖3所示信噪比的最小值。如果我們對不同系統帶寬重復上述計算，一系列曲線如圖3所示結果，無編碼系統獲得的每分組長度的最小增益被表示為系統帶寬的等式。如圖所示，當系統傳輸帶寬增加時所獲得的增益也會增加。這是所期望的，因為隨著帶寬的增加，我們就能使用較低的誤碼率而無需犧牲調制性能。但是，在b99.9t=2附近時增益開始趨于飽和。如果系統帶寬增加很多，使用較低編碼率也可提高系統性能，因為bbt1調制系統的性能幾乎是恒定的。獲得最大增益時的

11、編碼率，即gmsk編碼系統的最佳性能，我們得到如圖5顯示的曲線。我們發現，當系統帶寬增加時最好性能時的編碼率就會降低。當分組長度變化時會有一些變化，但是這也歸因于短分組長度時缺少編碼。對于給定系統帶寬，使用的最優bch編碼與gmsk調制系統編碼組合依賴于幾個因素，例如帶寬測量和分組長度。對于能獲得最大增益的bch編碼使用b99.9，即圖5，調制和編碼參數如表1所示。在之前的討論中，我們通常使用b99.9作為帶寬測量。現在我們來看一下使用帶寬測量更加保守時的效果，在圖6所示是使用b90，b99，b99.9的最大增量。在所有情況中，有些增益可以獲得。但是并不是使用99%帶寬和99%帶寬就能獲得更大

12、增益。圖2中所看到的bb的變化靈敏。因此，為了能夠使用這些情況的編碼，當使用99.9%帶寬測量時，bb就必須降低很多。卷積碼a.編碼定義下面，我們考慮使用卷積碼的gmsk編碼，卷積碼通常由碼率r=k/n,長度k,及m，自有距離dfree。編碼時，對于卷積碼，k和n是輸入輸出數目。這里，我們使用限定長度10,p.268的定義，即這個限定長度是在單個輸出流中可以受任何輸入比特影響的最大比特值。我們使用那些給定的10,p.285和11,p.496的卷積碼。對于給定的k和m，他們能獲得的最大dfree。這些編碼能提供卷積碼gmsk系統的最優性能。我們使用比值為1/2,4/7,3/5,2/3,3/4,和

13、4/5,但是并沒有對所有的k值編碼指標。為了在一些敏感的值能夠使用編碼，我們根據m值來組織卷積碼成一個系列，這意味著每一組中的所有代碼的狀態與解碼器格子數相同，因此相同的譯碼復雜度。b. 性能卷積碼的誤碼性能可近似表示為（8） 是信息的比特數，與碼重的碼序列有關，而z(dfree)是信道的函數與譯碼方法。對于加性高斯白噪聲信道和硬判決譯碼即交叉概率為p的二元對稱信道，z（dfree）被定義為（9）待添加的隱藏文字內容3對于加性高斯白噪聲的軟判決信道，z（dfree）被定義為(10)，這里,e和no如（5）。至于分組碼為了得到軟判決和硬判決誤碼率10-5我們計算snr。當系統帶寬為2.25時的結果如圖7所示。我們可以看到當存儲器件數量的數量m增加時在固定的間隔上性能的提高。我們仍然可以看到軟判決比硬判決高3db。對于分組碼由于調制性能和編碼增益的折中，性能已達到最優化。如果在總系統帶寬作用下關注軟判決編碼和計算計算無編碼系統的性能增益，我們會得到如圖8所示的結果。正如分組碼那樣，我們看到當系統帶寬增加時增益的提高。c.與分組碼的比較觀察獲得最大增益時碼率，我們發現分組碼與卷積碼獲得相似結果。如圖9所示由于碼數和相應的碼率在較小的系統帶寬值使卷積碼曲線較低。但是這種趨勢和碼率和分組碼相匹敵。這表明調制和編碼之間最優折中獨立于編碼類型的使用。卷積碼和gmsk調制的最佳組合的參數如表2所