1、2007年全國初中數學競賽（浙江賽區）復賽試題（2007年4月1日 下午1：003：00）得 分評卷人一、選擇題（共6小題，每小題5分，滿分30分以下每小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的請將正確選項的代號填入題后的括號里不填、多填或錯填均得零分）ADBC（第2題）KEFG1若，則+ + +的值是（ ）（A）1 （B）0 （C）-1 （D）22定義：定點A與O上的任意一點之間的距離的最小值稱為點A與O之間的距離現有一矩形ABCD如圖，AB=14cm，BC=12cm，K與矩形的邊AB、BC、CD分別相切于點E、F、G，則點A與K的距離為（ ）（A）4cm （B

2、）8cm （C）10cm （D）12cm3某班選舉班干部，全班有50名同學都有選舉權和被選舉權，他們的編號分別為1，2，50老師規定：同意某同學當選的記“1”，不同意（含棄權）的記“0”如果令 其中i=1，2，50；j=1，2，50則同時同意第1號和第50號同學當選的人數可表示為（ ）（A）+ + +（B）+ + +（C） + + +（D） + + +4若，則一次函數的圖象必定經過的象限是（ ）（A）第一、二象限 （B）第一、二、三象限（C）第二、三、四象限 （D）第三、四象限5滿足兩條直角邊長均為整數，且周長恰好等于面積的整數倍的直角三角形的個數有( )(A)1個 (B) 2個 (C) 3個

3、 (D)無窮多個ABCEFO（第6題）6如圖，以RtABC的斜邊BC為一邊在ABC的同側作正方形BCEF，設正方形的中心為O，連結AO，如果AB=4，AO=，那么AC的長等于( )(A) 12 (B) 16 (C) (D) 得 分評卷人二、填空題（共6小題，每小題6分，滿分36分）（第9題）ABCD7函數，當x = 時，y有最小值，最小值等于 8以立方體的8個頂點中的任意3個頂點為頂點的三角形中，正三角形的個數為 9如圖，ABC中，A的平分線交BC于D，若AB=6 cm，AC=4 cm，A=60，則AD的長為 cm10設 ，為實數，且滿足=1，則的值是 11正六邊形軌道ABCDEF 的周長為7

4、.2米，甲、乙兩只機器鼠分別從A，C 兩點同時出發，均按ABCDEFA 方向沿軌道奔跑，甲的速度為9.2厘米秒，乙的速度為8厘米秒，那么出發后經過 秒鐘時，甲、乙兩只機器鼠第一次出現在同一條邊上12正整數M的個位上的數字與數的個位上的數字相同，把M的個位上的數字移到它的左邊第一位數字之前就形成一個新的數N若N是M的4倍，T是M的最小值，則T的各位數字之和等于 三、解答題（共4小題，滿分54分）得 分評卷人13（本題滿分12分）已知二次函數的圖象G和x軸有且只有一個交點A，與y軸的交點為B（0，4），且（1）求該二次函數的解析表達式；（2）將一次函數y=x的圖象作適當平移，使它經過點A，記所得的

5、圖象為L，圖象L與G的另一個交點為C，求ABC的面積得 分評卷人14（本題滿分12分）BACMNPEFQDG如圖，ABCD、ADCE，F、G分別是AC和FD的中點，過G的直線依次交AB、AD、CD、CE于點M、N、P、Q，求證：MN+PQ=2PN得 分評卷人15（本題滿分14分）2007個質點均勻分布在半徑為R的圓周上，依次記為，小明用紅色按如下規則去涂這些點：設某次涂第個質點，則下次就涂第個質點后面的第個質點按此規則，小明能否將所有的質點均涂成紅色？若能，請給出一種涂點方案；若不能，請說明理由得 分評卷人16（本題滿分16分）從連續自然數1，2，3，2008中任意取n個不同的數，（1）求證：

6、當n=1007時，無論怎樣選取這n個數，總存在其中的4個數的和等于4017（2）當n1006（n是正整數）時，上述結論成立否？請說明理由參考答案一、選擇題（共6小題，每小題5分，滿分30分）1答案：CADBC（第2題）KEFGH解：由，得，所以+ + +=-12答案：A解：連結AK、EK，設AK與O的交點為H，則AH即為所求，因為AK=10，所以AH = 43答案：C解：由題意得C正確4答案：A解：由已知可得，當時，直線過第一、二、三象限；當時，直線過第一、二、四象限綜合上可得，直線必定經過的象限是第一、二象限5答案：C解：設直角三角形的兩條直角邊長為()，則（a,b,k均為正整數），化簡，得

7、，所以或ABCEFOG（第6題）解得或或 即有3組解6答案：B解：在AC上取一點G，使CG=AB=4，連接OG，則OGCOAB，所以OG=OA=，AOG=90，所以AOG是等腰直角三角形，AG=，所以AC=16二、填空題（共6小題，每小題6分，滿分36分）7答案：-2，2解：當x-3時，y= -3x-6；當-3x-2時，y= -x；當-2x-1時，y=x+4；當x-1時，y=3x+6； 所以當x=-2時，y的值最小，最小值為28答案：8個解：正三角形的各邊必為立方體各面的對角線，共有8個正三角形9答案：解：由SABC=SABD + SADC ，得=解得AD=10答案：1，或解：由已知，=1，=

8、1，解得所以，或11答案：解：設甲跑完x 條邊時，甲、乙兩老鼠第一次出現在同一條邊上，此時甲走了120x 厘米，乙走了厘米，于是解得因x是整數，所以x=8，即經過=秒時，甲、乙兩只機器鼠第一次出現在同一條邊上12答案：36解：的個位數字是7，所以可設，其中k是m位正整數，則由條件N=4M，得=，即當m=5時，k取得最小值17948所以T=179487，它的各位數字之和為36三、解答題（共4題，滿分54分）13(12分)解：（1）由B（0，4）得，c=4 G與x軸的交點A（，0），由條件，得，所以=，即A（，0）所以解得所求二次函數的解析式為（2）設圖象L的函數解析式為y=x+b，因圖象L過點A

9、（，0），所以，即平移后所得一次函數的解析式為ABDCOxy（第13題）y= 令=，解得，將它們分別代入y=，得，所以圖象L與G的另一個交點為C（，9）如圖，過C作CDx軸于D，則SABC=S梯形BCDO-SACD -SABO =15 14(12分)證明：延長BA、EC，設交點為O，則四邊形OADC為平行四邊形 F是AC的中點， DF的延長線必過O點，且 ABCD， BACMNPEFQDGO ADCE， =又 ， OQ=3DN CQ=OQ -OC=3DN -OC=3DN -AD，AN=AD -DN，于是，AN+CQ=2DN， =2，即 MN+PQ=2PN 15(14分)解：不能 理由：設繼點涂

10、成紅色后被涂到的點是第j號，則j= 若=2007，則j=2007，即除點涂成紅色外，其余均沒有涂到 若2007，則22007，且24014，即2-20072007，表明點永遠涂不到紅色 16(16分)解：（1）設，是1，2，3，2008中任意取出的1007個數首先，將1，2，3，2008分成1004對，每對數的和為2009，每對數記作(m，2009-m) ，其中m=1，2，3，1004 因為2008個數取出1007個數后還余1001個數，所以至少有一個數是1001個數之一的數對至多為1001對，因此至少有3對數，不妨記為 (互不相等)均為，中的6個數 其次，將這2008個數中的2006個數(除1004、2008 外)分成1003對，每對數的和為2008，每對數記作(k ，2008-k) ，其中k=1，2，10032006個數中至少有1005個數被取出，因此2006個數中除去取出的數以外最多有1001個數，這1003對數中，至少有2對數是，中的4個數，不妨記其中的一對為 又在三對數，(互不相等)中至少存在1對數中的兩個數與中的兩個數互不相同，不妨設該對數為，