1、電大微積分初步考試精品小抄一、填空題函數的定義域是（，5）50 5 1 ，已知，則= 若，則微分方程的階數是三階 6.函數的定義域是（-2，-1）u（-1，) 7.2 8.若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，則(0) = -6 y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x2-x)(x2-5x+6)=x4-5x3+6x2-x3+5x2-6x=x4-6x3+11x2-6x , （把0帶入x）9.或10.微分方程的特解為 y=ex . 又y(0)=1 (x=0 , y=1) 11.函數的定義域是12.若函數,在處連續，則1 (在處連續) （無窮小量x有界函數）13.曲線在點處的切線方程是 ，

2、 14. sin x+c15.微分方程的階數為 三階 16.函數的定義域是（2,3）u（3，）17.1/218.已知，則=27+27ln3 19.=ex2+c 20.微分方程的階數為 四階 二、單項選擇題設函數，則該函數是（偶函數）函數的間斷點是（）分母無意義的點是間斷點下列結論中（在處不連續，則一定在處不可導）正確可導必連續，伹連續并一定可導；極值點可能在駐點上，也可能在使導數無意義的點上 如果等式，則（ ）下列微分方程中，（）是線性微分方程 6.設函數，則該函數是（奇函數）7.當（2 ）時，函數在處連續.8.下列函數在指定區間上單調減少的是（） 9.以下等式正確的是（）10.下列微分方程中

3、為可分離變量方程的是（）11.設，則（）12.若函數f (x)在點x0處可導，則(，但)是錯誤的 13.函數在區間是（先減后增）14.(）15.下列微分方程中為可分離變量方程的是（）16.下列函數中為奇函數是（）17.當（）時，函數在處連續.18.函數在區間是（先單調下降再單調上升）19.在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點（1, 4）的曲線為（y = x2 + 3）20.微分方程的特解為（）三、計算題計算極限解:設，求.解：，u= -2x(-2x)=eu（-2）= -2e-2xy= -2e-2x+dy=(-2e-2x+)dx計算不定積分解：令u=,u=2du=2(-cos)+c= -2co

4、s計算定積分u=x，v=ex,v= ex vdx=uv原式=25.計算極限6.設，求解：y1=lncosxy1=lnu1,u=cosx y1=dy=()dx7.計算不定積分解：令u=1-2x , u= -2 8.計算定積分解：u=x,=9.計算極限10.設，求y1=sin3x y1=sinu , u=3x , y=2xln2+3cos3x dy=(2xln2+3cos3x)dx11.計算不定積分 u=x , v=cosx , v=sinx12.計算定積分令u=lnx, u=, du=dx , 1xe 0lnx1原式=1+5=13.計算極限解：14.設，求解：() , , , )15.計算不定積

5、分解： u=2x-1 ,=2 du=2dx16.計算定積分解： u=x , , 四、應用題（本題16分） 用鋼板焊接一個容積為4的底為正方形的無蓋水箱，已知鋼板每平方米10元，焊接費40元，問水箱的尺寸如何選擇，可使總費最低？最低總費是多少？解：設水箱的底邊長為x，高為h,表面積為s，且有h= 所以s(x)=x2+4xh=x2+令（x）=0，得x=2因為本問題存在最小值，且函數的駐點唯一，所以x=2，h=1時水箱的表面積最小。此時的費用為s（2）10+40=160元欲用圍墻圍成面積為216平方米的一塊矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬各選取多大尺寸，才能使所用建筑材料

6、最省？ 設長方形一邊長為x，s=216 另一邊長為216/x總材料y=2x+3216/x=2x +y=2+648(x-1)=2+648(-1)=2 - y=0得2 = x2=324 x=18一邊長為18，一邊長為12時，用料最省. 欲做一個底為正方形，容積為32立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省？設底邊長為a 底面積為a2a2h=v=32 h=表面積為a2+4ah= a2+4a= a2+y= a2+ , y=2a+128( -)=2a-y=0 得 2a= a3=64 a=4底面邊長為4， h=2設矩形的周長為120厘米，以矩形的一邊為軸旋轉一周得一圓柱體。試求矩形的邊長為多少時，才能使圓

7、柱體的體積最大。解：設矩形一邊長為x ，另一邊為60-x以ad為軸轉一周得圓柱，底面半徑x，高60-xv=得：矩形一邊長為40 ，另一邊長為20時，vmax三、計算題計算極限解:設，求.解：，u= -2x(-2x)=eu（-2）= -2e-2xy= -2e-2x+dy=(-2e-2x+)dx計算不定積分解：令u=,u=2du=2(-cos)+c= -2cos計算定積分u=x，v=ex,v= ex vdx=uv原式=25.計算極限6.設，求解：y1=lncosxy1=lnu1,u=cosx y1=dy=()dx7.計算不定積分解：令u=1-2x , u= -2 8.計算定積分解：u=x,=9.計

8、算極限10.設，求y1=sin3x y1=sinu , u=3x , y=2xln2+3cos3x dy=(2xln2+3cos3x)dx11.計算不定積分 u=x , v=cosx , v=sinx12.計算定積分令u=lnx, u=, du=dx , 1xe 0lnx1原式=1+5=13.計算極限解：14.設，求解：() , , , )15.計算不定積分解： u=2x-1 ,=2 du=2dx16.計算定積分解： u=x , , 四、應用題（本題16分） 用鋼板焊接一個容積為4的底為正方形的無蓋水箱，已知鋼板每平方米10元，焊接費40元，問水箱的尺寸如何選擇，可使總費最低？最低總費是多少？

9、解：設水箱的底邊長為x，高為h,表面積為s，且有h= 所以s(x)=x2+4xh=x2+令（x）=0，得x=2因為本問題存在最小值，且函數的駐點唯一，所以x=2，h=1時水箱的表面積最小。此時的費用為s（2）10+40=160元欲用圍墻圍成面積為216平方米的一塊矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬各選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 設長方形一邊長為x，s=216 另一邊長為216/x總材料y=2x+3216/x=2x +y=2+648(x-1)=2+648(-1)=2 - y=0得2 = x2=324 x=18一邊長為18，一邊長為12時，用料最省. 欲做一個底

10、為正方形，容積為32立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省？設底邊長為a 底面積為a2a2h=v=32 h=表面積為a2+4ah= a2+4a= a2+y= a2+ , y=2a+128( -)=2a-y=0 得 2a= a3=64 a=4底面邊長為4， h=2設矩形的周長為120厘米，以矩形的一邊為軸旋轉一周得一圓柱體。試求矩形的邊長為多少時，才能使圓柱體的體積最大。解：設矩形一邊長為x ，另一邊為60-x以ad為軸轉一周得圓柱，底面半徑x，高60-xv=得：矩形一邊長為40 ，另一邊長為20時，vmax作業（一）函數，極限和連續一、填空題（每小題2分，共20分）1.函數的定義域是 答案：

11、 2函數的定義域是 答案： 3.函數的定義域是 答案： 4.函數，則 答案： 5函數，則 答案： 6函數，則 答案： 7函數的間斷點是 答案： 8. 答案： 1 9若，則 答案： 2 10若，則 答案： 1.5； 二、單項選擇題（每小題2分，共24分）1設函數，則該函數是（）答案：ba奇函數 b偶函數c非奇非偶函數 d既奇又偶函數2設函數，則該函數是（）答案：aa奇函數 b偶函數c非奇非偶函數 d既奇又偶函數 3函數的圖形是關于（）對稱答案：da b軸c軸 d坐標原點4下列函數中為奇函數是（c ）a b c d 5函數的定義域為（）答案：da b c且 d且 6函數的定義域是（）答案：da b

12、c d 7設，則（ ）答案：ca b c d 8下列各函數對中，（）中的兩個函數相等答案：d a， b，c， d 9當時，下列變量中為無窮小量的是（ ）答案：c.a b c d 10當（ ）時，函數，在處連續. 答案：ba0 b1 c d 11當（ ）時，函數在處連續 答案：da0 b1 c d 12函數的間斷點是（ ）答案：aa b c d無間斷點三、解答題（每小題7分，共56分）計算極限 解 2計算極限 解 3. 解：原式4計算極限 解 5計算極限 解 6.計算極限 解 7計算極限 解 8計算極限解 一、填空題（每小題2分，共20分）1曲線在點的斜率是 答案：2曲線在點的切線方程是 答案：

13、 3曲線在點處的切線方程是 答案： 4 答案：或5若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，則(0) = 答案：6已知，則= 答案：7已知，則= 答案：8若，則 答案：9函數的單調增加區間是 答案：10函數在區間內單調增加，則a應滿足 答案： 二、單項選擇題（每小題2分，共24分）1函數在區間是（ ）答案：da單調增加 b單調減少 c先增后減 d先減后增2滿足方程的點一定是函數的（ ）答案：c.a極值點b最值點 c駐點d 間斷點3若，則=（ ） 答案：c a. 2 b. 1 c. -1 d. 2 4設，則（ ） 答案：b a b c d5設是可微函數，則（ ） 答案：d a b c d 6

14、曲線在處切線的斜率是（ ） 答案：c a b c d7若，則（ ）答案：c a b c d 8若，其中是常數，則（ ）答案c a b c d 9下列結論中（ a ）不正確 答案：c a在處連續，則一定在處可微. b在處不連續，則一定在處不可導. c可導函數的極值點一定發生在其駐點上. d若在a，b內恒有，則在a，b內函數是單調下降的. 10若函數f (x)在點x0處可導，則( )是錯誤的 答案：b a函數f (x)在點x0處有定義 b，但 c函數f (x)在點x0處連續 d函數f (x)在點x0處可微 11下列函數在指定區間上單調增加的是（ ）答案：basinx be x cx 2 d3 x1

15、2.下列結論正確的有（ ） 答案：a ax0是f (x)的極值點，且(x0)存在，則必有(x0) = 0 bx0是f (x)的極值點，則x0必是f (x)的駐點 c若(x0) = 0，則x0必是f (x)的極值點 d使不存在的點x0，一定是f (x)的極值點 三、解答題（每小題7分，共56分）1設，求 解 或 2設，求. 解 3設，求. 解 4設，求. 解 或5設是由方程確定的隱函數，求. 解 對方程兩邊同時對x求微分，得 6設是由方程確定的隱函數，求. 解原方程可化為， 7設是由方程確定的隱函數，求.解：方程兩邊同時對求微分，得 .8設，求解：方程兩邊同時對求微分，得 一、填空題（每小題2分

16、，共20分）1若的一個原函數為，則 。 答案： （c為任意常數）或 2若的一個原函數為，則 。 答案： 或 3若，則 答案：或4若，則 答案： 或 5若，則答案： 6若，則 答案： 7答案：8 答案： 9若，則答案： 10若，則 答案： 二、單項選擇題（每小題2分，共16分）1下列等式成立的是（）答案：aa b c d3若，則（ ）. 答案：aa. b. c. d. 4若，則（ ）. 答案：a a. b. c. d. 5以下計算正確的是（ ） 答案：aa b c d 6（ ）答案：aa. b. c. d. 7=（ ） 答案：c a b c d 8如果等式，則（） 答案ba. b. c. d.

17、三、計算題（每小題7分，共35分）1 解 或2 解 3 解 45解四、極值應用題（每小題12分，共24分）1設矩形的周長為120厘米，以矩形的一邊為軸旋轉一周得一圓柱體。試求矩形的邊長為多少時，才能使圓柱體的體積最大。1解： 設矩形的一邊厘米，則厘米，當它沿直線旋轉一周后，得到圓柱的體積令得當時，；當時，.是函數的極大值點，也是最大值點.此時答：當矩形的邊長分別為20厘米和40厘米時，才能使圓柱體的體積最大. 2欲用圍墻圍成面積為216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 2. 解：設成矩形有土地的寬為米，則長為米，于是

18、圍墻的長度為令得易知，當時，取得唯一的極小值即最小值，此時答：這塊土地的長和寬分別為18米和12米時，才能使所用的建筑材料最省. 五、證明題（本題5分）1函數在（是單調增加的一、填空題（每小題2分，共20分）1 答案：2 答案：或2 3已知曲線在任意點處切線的斜率為，且曲線過，則該曲線的方程是 。答案：或4若 答案：2 或45由定積分的幾何意義知，= 。答案： 6 . 答案：07=答案： 8微分方程的特解為 . 答案：1或9微分方程的通解為 . 答案：或10微分方程的階數為 答案：2或4二、單項選擇題（每小題2分，共20分）1在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點（1, 4）的曲線為（ ）答案

19、：aay = x2 + 3 by = x2 + 4 c d 2若= 2，則k =（ ） 答案：a a1 b-1 c0 d 3下列定積分中積分值為0的是（ ） 答案：a a b c d 4設是連續的奇函數，則定積分（ ）答案：d5（ ）答案：da0 b c d6下列無窮積分收斂的是（）答案：ba b c d 7下列無窮積分收斂的是（）答案：ba b c d8下列微分方程中，（ ）是線性微分方程答案：d a b c d9微分方程的通解為（ ）答案：c a b c d10下列微分方程中為可分離變量方程的是（） 答案：ba. ； b. ； c. ； d. 三、計算題（每小題7分，共56分）1 解 或2

20、 解 3 解 利用分部積分法 4 5 6求微分方程滿足初始條件的特解 即通解 7求微分方程的通解。 即通解為.四、證明題（本題4分）證明等式。作業（一）函數，極限和連續一、填空題（每小題2分，共20分）1.函數的定義域是 答案： 2函數的定義域是 答案： 3.函數的定義域是 答案： 4.函數，則 答案： 5函數，則 答案： 6函數，則 答案： 7函數的間斷點是 答案： 8. 答案： 1 9若，則 答案： 2 10若，則 答案： 1.5； 二、單項選擇題（每小題2分，共24分）1設函數，則該函數是（）答案：ba奇函數 b偶函數c非奇非偶函數 d既奇又偶函數2設函數，則該函數是（）答案：aa奇函數

21、 b偶函數c非奇非偶函數 d既奇又偶函數 3函數的圖形是關于（）對稱答案：da b軸c軸 d坐標原點4下列函數中為奇函數是（c ）a b c d 5函數的定義域為（）答案：da b c且 d且 6函數的定義域是（）答案：da bc d 7設，則（ ）答案：ca b c d 8下列各函數對中，（）中的兩個函數相等答案：d a， b，c， d 9當時，下列變量中為無窮小量的是（ ）答案：c.a b c d 10當（ ）時，函數，在處連續. 答案：ba0 b1 c d 11當（ ）時，函數在處連續 答案：da0 b1 c d 12函數的間斷點是（ ）答案：aa b c d無間斷點三、解答題（每小題7

22、分，共56分）計算極限 解 2計算極限 解 3. 解：原式4計算極限 解 5計算極限 解 6.計算極限 解 7計算極限 解 8計算極限解 一、填空題（每小題2分，共20分）1曲線在點的斜率是 答案：2曲線在點的切線方程是 答案： 3曲線在點處的切線方程是 答案： 4 答案：或5若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，則(0) = 答案：6已知，則= 答案：7已知，則= 答案：8若，則 答案：9函數的單調增加區間是 答案：10函數在區間內單調增加，則a應滿足 答案： 二、單項選擇題（每小題2分，共24分）1函數在區間是（ ）答案：da單調增加 b單調減少 c先增后減 d先減后增2滿足方程的

23、點一定是函數的（ ）答案：c.a極值點b最值點 c駐點d 間斷點3若，則=（ ） 答案：c a. 2 b. 1 c. -1 d. 2 4設，則（ ） 答案：b a b c d5設是可微函數，則（ ） 答案：d a b c d 6曲線在處切線的斜率是（ ） 答案：c a b c d7若，則（ ）答案：c a b c d 8若，其中是常數，則（ ）答案c a b c d 9下列結論中（ a ）不正確 答案：c a在處連續，則一定在處可微. b在處不連續，則一定在處不可導. c可導函數的極值點一定發生在其駐點上. d若在a，b內恒有，則在a，b內函數是單調下降的. 10若函數f (x)在點x0處可導

24、，則( )是錯誤的 答案：b a函數f (x)在點x0處有定義 b，但 c函數f (x)在點x0處連續 d函數f (x)在點x0處可微 11下列函數在指定區間上單調增加的是（ ）答案：basinx be x cx 2 d3 x12.下列結論正確的有（ ） 答案：a ax0是f (x)的極值點，且(x0)存在，則必有(x0) = 0 bx0是f (x)的極值點，則x0必是f (x)的駐點 c若(x0) = 0，則x0必是f (x)的極值點 d使不存在的點x0，一定是f (x)的極值點 三、解答題（每小題7分，共56分）1設，求 解 或 2設，求. 解 3設，求. 解 4設，求. 解 或5設是由方

25、程確定的隱函數，求. 解 對方程兩邊同時對x求微分，得 6設是由方程確定的隱函數，求. 解原方程可化為， 7設是由方程確定的隱函數，求.解：方程兩邊同時對求微分，得 .8設，求解：方程兩邊同時對求微分，得 一、填空題（每小題2分，共20分）1若的一個原函數為，則 。 答案： （c為任意常數）或 2若的一個原函數為，則 。 答案： 或 3若，則 答案：或4若，則 答案： 或 5若，則答案： 6若，則 答案： 7答案：8 答案： 9若，則答案： 10若，則 答案： 二、單項選擇題（每小題2分，共16分）1下列等式成立的是（）答案：aa b c d3若，則（ ）. 答案：aa. b. c. d. 4

26、若，則（ ）. 答案：a a. b. c. d. 5以下計算正確的是（ ） 答案：aa b c d 6（ ）答案：aa. b. c. d. 7=（ ） 答案：c a b c d 8如果等式，則（） 答案ba. b. c. d. 三、計算題（每小題7分，共35分）1 解 或2 解 3 解 45解四、極值應用題（每小題12分，共24分）1設矩形的周長為120厘米，以矩形的一邊為軸旋轉一周得一圓柱體。試求矩形的邊長為多少時，才能使圓柱體的體積最大。1解： 設矩形的一邊厘米，則厘米，當它沿直線旋轉一周后，得到圓柱的體積令得當時，；當時，.是函數的極大值點，也是最大值點.此時答：當矩形的邊長分別為20厘

27、米和40厘米時，才能使圓柱體的體積最大. 2欲用圍墻圍成面積為216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 2. 解：設成矩形有土地的寬為米，則長為米，于是圍墻的長度為令得易知，當時，取得唯一的極小值即最小值，此時答：這塊土地的長和寬分別為18米和12米時，才能使所用的建筑材料最省. 五、證明題（本題5分）1函數在（是單調增加的一、填空題（每小題2分，共20分）1 答案：2 答案：或2 3已知曲線在任意點處切線的斜率為，且曲線過，則該曲線的方程是 。答案：或4若 答案：2 或45由定積分的幾何意義知，= 。答案： 6 .

28、答案：07=答案： 8微分方程的特解為 . 答案：1或9微分方程的通解為 . 答案：或10微分方程的階數為 答案：2或4二、單項選擇題（每小題2分，共20分）1在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點（1, 4）的曲線為（ ）答案：aay = x2 + 3 by = x2 + 4 c d 2若= 2，則k =（ ） 答案：a a1 b-1 c0 d 3下列定積分中積分值為0的是（ ） 答案：a a b c d 4設是連續的奇函數，則定積分（ ）答案：d5（ ）答案：da0 b c d6下列無窮積分收斂的是（）答案：ba b c d 7下列無窮積分收斂的是（）答案：ba b c d8下列微分方程中

29、，（ ）是線性微分方程答案：d a b c d9微分方程的通解為（ ）答案：c a b c d10下列微分方程中為可分離變量方程的是（） 答案：ba. ； b. ； c. ； d. 三、計算題（每小題7分，共56分）1 解 或2 解 3 解 利用分部積分法 4 5 6求微分方程滿足初始條件的特解 即通解 7求微分方程的通解。 即通解為.四、證明題（本題4分）證明等式。微積分初步物理學研究的是物質的運動規律，因此我們經常遇到的物理量大多數是變量，而我們要研究的正是一些變量彼此間的聯系。這樣，微積分這個數學工具就成為必要的了。我們考慮到，讀者在學習基礎物理課時若能較早地掌握一些微積分的初步知識，對

30、于物理學的一些基本概念和規律的深入理解是很有好處的。所以我們在這里先簡單地介紹一下微積分中最基本的概念和簡單的計算方法，在講述方法上不求嚴格和完整，而是較多地借助于直觀并密切地結合物理課的需要。至于更系統和更深入地掌握微積分的知識和方法，讀者將通過高等數學課程的學習去完成。1函數及其圖形本節中的不少內容讀者在初等數學及中學物理課中已學過了，現在我們只是把它們聯系起來復習一下。11函數 自變量和因變量 絕對常量和任意常量在數學中函數的功能是這樣定義的：有兩個互相聯系的變量x和y，如果每當變量x取定了某個數值后，按照一定的規律就可以確定y的對應值，我們就稱y是x的函數，并記作y=f（x）， （a1

31、）其中x叫做自變量，y叫做因變量，f是一個函數記號，它表示y和x數值的對應關系。有時把y=f（x）也記作y=y（x）。如果在同一個問題中遇到幾個不同形式的函數，我們也可以用其它字母作為函數記號，如j（x）、（x）等等。常見的函數可以用公式來表達，例如ex等等。在函數的表達式中，除變量外，還往往包含一些不變的量，如上面切問題中出現時數值都是確定不變的，這類常量叫做絕對常量；另一類如a、b、c等，它們的數值需要在具體問題中具體給定，這類常量叫做任意常量。在數學中經常用拉丁字母中最前面幾個（如a、b、c）代表任意常量，最后面幾個（x、y、z）代表變量。當y=f（x）的具體形式給定后，我們就可以確定與

32、自變量的任一特定值x0相對應的函數值f（x0）。例如：（1）若y=f（x）=3+2x，則當x=-2時y=f（-2）=3+2（-2）=-1一般地說，當x=x0時，y=f（x0）=3+2x012函數的圖形在解析幾何學和物理學中經常用平面上的曲線來表示兩個變量之間的函數關系，這種方法對于我們直觀地了解一個函數的特征是很有幫助的。作圖的辦法是先在平面上取一直角坐標系，橫軸代表自變量x，縱軸代表因變量（函數值）y=f（x）這樣一來，把坐標為（x，y）且滿足函數關系y=f（x）的那些點連接起來的軌跡就構成一條曲線，它描繪出函數的面貌。圖a-1便是上面舉的第一個例子y=f（x）=3+2x的圖形，其中p1，p

33、2，p3，p4，p5各點的坐標分別為（-2，-1）、（-1，1）、（0，3）、（1，5）、（2，7），各點連接成一根直線。圖a-2是第二個例子各點連接成雙曲線的一支。13物理學中函數的實例反映任何一個物理規律的公式都是表達變量與變量之間的函數關系的。下面我們舉幾個例子。（1）勻速直線運動公式s=s0vt， （a2）此式表達了物體作勻速直線運動時的位置s隨時間t變化的規律，在這里t相當于自變量x，s相當于因變量y，s是t的函數。因此我們記作s=s（t）s0vt， （a3）式中初始位置s0和速度v是任意常量，s0與坐標原點的選擇有關，v對于每個勻速直線運動有一定的值，但對于不同的勻速直線運動可以取

34、不同的值。圖a-3是這個函數的圖形，它是一根傾斜的直線。下面我們將看到，它的斜率等于v（2）勻變速直線運動公式v=v0at， （a5）兩式中s和v是因變量，它們都是自變量t的函數，因此我們記作vv（t）v0tat （a7）圖a-4a、4b分別是兩個函數的圖形，其中一個是拋物線，一個是直線。（a6）和（a7）式是勻變速直線運動的普遍公式，式中初始位置s0、初速v0和加速度a都是任意常量，它們的數值要根據討論的問題來具體化。例如在討論自由落體問題時，如果把坐標原點選擇在開始運動的地方，則s00，v00，ag9.8ms2，這時（a6）和（a7）式具有如下形式：vv（t）gt （a9）這里的g可看作是

35、絕對常量，式中不再有任意常量了。（3）玻意耳定律pvc （a10）上式表達了一定質量的氣體，在溫度不變的條件下，壓強p和體積v之間的函數關系，式中的c是任意常量。我們可以選擇v為自變量，p為因變量，這樣，（a10）式就可寫作它的圖形和圖a-2是一樣的，只不過圖中的x、y應換成v、p在（a10）式中我們也可以選擇p為自變量，v為因變量，這樣它就應寫成由此可見，在一個公式中自變量和因變量往往是相對的。（4）歐姆定律uir （a13）當我們討論一段導線中的電流i這樣隨著外加電壓u而改變的問題時，u是自變量，i是因變量，r是常量。這時，（a13）式應寫作即i與u成正比。應當指出，任意常量與變量之間的界

36、限也不是絕對的。例如，當我們討論串聯電路中電壓在各電阻元件上分配問題時，由于通過各元件的電流是一樣的，（a13）式中的電流i成了常量，而r是自變量，u是因變量，于是uu（r）ir， （a15）即u與r成正比。但是，當我們討論并聯電路中電流在各分支里的分配問題時，由于各分支兩端具有共同的電壓，（a13）式中的u就成了常量，而r為自變量，i是因變量，于是即i與r成反比。總之，每個物理公式都反映了一些物理量之間的函數關系，但是其中哪個是自變量，哪個是因變量，哪些是常量，有時公式本身反映不出來，需要根據我們所要討論的問題來具體分析。2導數21極限如果當自變量x無限趨近某一數值x0（記作xx0）時，函數

37、f（x）的數值無限趨近某一確定的數值a，則a叫做xx0時函數f（x）的極限值，并記作（a17）式中的“lim”是英語“limit（極限）”一詞的縮寫，（a17）式讀作“當x趨近x0時，f（x）的極限值等于a”。極限是微積分中的一個最基本的概念，它涉及的問題面很廣。這里我們不企圖給“極限”這個概念下一個普遍而嚴格的定義，只通過一個特例來說明它的意義。考慮下面這個函數：這里除x1外，計算任何其它地方的函數值都是沒有困難的。例如當但是若問x1時函數值f（1）？我們就會發現，這時（a18）式的說是沒有意義的。所以表達式（a18）沒有直接給出f（1），但給出了x無論如何接近1時的函數值來。下表列出了當x

38、的值從小于1和大于1兩方面趨于1時f（x）值的變化情況：表a-1 x與f（x）的變化值x3x2-x-2x-10.9-0.47-0.14.70.99-0.0497-0.014.970.999-0.004997-0.0014.9970.9999-0.0004997-0.00014.99971.10.530.15.31.010.5030.015.031.0010.0050030.0015.0031.00010.000500030.00015.0003從上表可以看出，x值無論從哪邊趨近1時，分子分母的比值都趨于一個確定的數值5，這便是x1時f（x）的極限值。其實計算f（x）值的極限無需這樣麻煩，我們只

39、要將（a18）式的分子作因式分解：3x2-x-2（3x2）（x-1），并在x1的情況下從分子和分母中將因式（x1）消去：即可看出，x趨于1時函數f（x）的數值趨于3125。所以根據函數極限的定義， 22幾個物理學中的實例 （1）瞬時速度當一個物體作任意直線運動時，它的位置可用它到某個坐標原點o的距離s來描述。在運動過程中s是隨時間t變化的，也就是說，s是t的函數：ss（t）函數s（t）告訴我們的是這個物體什么時刻到達什么地方。形象一些說，假如物體是一列火車，則函數s（t）就是它的一張“旅行時刻表”。但是，在實際中往往不滿足于一張“時刻表”，我們還需要知道物體運動快慢的程度，即速度或速率的概念。

40、例如，當車輛駛過繁華的街道或橋梁時，為了安全，對它的速率就要有一定的限制；一個上拋體（如高射炮彈）能夠達到怎樣的高度，也與它的初始速率有關，等等。為了建立速率的概念，我們就要研究在一段時間間隔里物體位置的改變情況。假設我們考慮的是從tt0到tt1的一段時間間隔，則這間隔的大小為tt1-t0根據s和t的函數關系s（t）可知，在t0和t1t0+t兩個時刻，s的數值分別為s（t0）和s（t1）s（t0+t），即在t0到t1這段時間間隔里s改變了ss（t1）s（t0）s（t0+t）s（t0）在同樣大小的時間間隔t里，若s的改變量s小，就表明物體運動得慢， 舉例來說，對于勻變速直線運動，根據（a4）式有所以體在tt0時刻的瞬時速率v，即對于勻變速直線運動來說，這就是我們熟悉的勻變速直線運動的