1、四川大學數學學院 徐小湛May 2005http:/Revised March 200612.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念Differential Equations四川大學數學學院 徐小湛May 2005http:/Revised March 2006例例 1曲線上任意一點處的切線斜率等于該曲線上任意一點處的切線斜率等于該點的橫坐標的平方，且曲線過原點，點的橫坐標的平方，且曲線過原點，求曲線的方程。求曲線的方程。解解設曲線方程為設曲線方程為( )yf x（未知函數）（未知函數）知：知：dydx2x微分方程微分方程一階方程一階方程(0)0y初始條件初始條件四川大學數學學院 徐小湛M

2、ay 2005http:/Revised March 2006dydx2x(0)0y求求( )yf x積分：積分：ydydxdx2x dx313xC通解通解將將 x=0, y=0 代入通解，得：代入通解，得：C = 0所求曲線所求曲線方程為：方程為：313yx特解特解四川大學數學學院 徐小湛May 2005http:/Revised March 20062dyxdx微分方程微分方程的幾何意義：方向場的幾何意義：方向場2dyxdx的方向場斜率場）的方向場斜率場）每一點對應于一個斜率：每一點對應于一個斜率：( , )x y斜率斜率2x(1,2)斜率斜率1如如四川大學數學學院 徐小湛May 2005

3、http:/Revised March 2006313yxC通解通解的幾何意義：積分曲線的幾何意義：積分曲線在橫坐標相同的點處，在橫坐標相同的點處，各積分曲線有平行的切線各積分曲線有平行的切線積分曲線彼此積分曲線彼此“平行平行”，兩兩不相交兩兩不相交微分方程的通解代表一族曲線，微分方程的通解代表一族曲線，稱為方程的積分曲線稱為方程的積分曲線313yxC四川大學數學學院 徐小湛May 2005http:/Revised March 2006積分曲線積分曲線四川大學數學學院 徐小湛May 2005http:/Revised March 2006O313yx特解：特解：積分曲線兩兩不相交積分曲線兩兩

4、不相交經過原點只有唯一的經過原點只有唯一的積分曲線積分曲線313yx積分曲線積分曲線四川大學數學學院 徐小湛May 2005http:/Revised March 2006例例 2 （落體運動）（落體運動） 在在 t=0 時，物體位于時，物體位于 s=10m 處，物體的初速處，物體的初速度度 v0=2m/sec （向下）（向下） 設物體只受重力作用，求物體的運動規律。設物體只受重力作用，求物體的運動規律。100( )s ts解解設物體的運動規律為：設物體的運動規律為：( )ss t未知函數未知函數由牛頓第二定律：由牛頓第二定律：mamg a 是加速度。是加速度。四川大學數學學院 徐小湛May

5、2005http:/Revised March 2006100( )s ts由導數的物理意義：由導數的物理意義：( )s tag重力加速度重力加速度( )s tg微分方程微分方程 二階方程二階方程(0)10s(0)2s初始位置初始位置初速度初速度初始條件初始條件四川大學數學學院 徐小湛May 2005http:/Revised March 2006( )s tg(0)10s(0)2s求求( )ss t知知積分：積分：( )s t( )s t dtgdt1gtC再積分：再積分：( )s t( )s t dt1()gtC dt21212gtC tC通解通解四川大學數學學院 徐小湛May 2005h

6、ttp:/Revised March 2006( )s t1gtC( )s t212102gtt將將0,t 10,s 2s代入上式代入上式120C21000C特解：特解：這就是物體的運動方程這就是物體的運動方程( )s t21212gtC tC(0)10s(0)2s四川大學數學學院 徐小湛May 2005http:/Revised March 2006含有未知函數的導數或微分的方程含有未知函數的導數或微分的方程3dyxydx(2)3xy dyxydx24sinssst22220zzxy23zzxx yx differential equation四川大學數學學院 徐小湛May 2005http

7、:/Revised March 2006方程的階：方程的階：方程中未知函數的最高階導數的階數方程中未知函數的最高階導數的階數3dyxydx(2)3xy dyxydx24sinssst the order of a differential equation一階一階二階二階(5)43yyx五階五階四川大學數學學院 徐小湛May 2005http:/Revised March 2006方程的解：方程的解： 滿足微分方程的函數滿足微分方程的函數 the solution of a differential equation例如例如2dyxdx313yxC是方程是方程的解的解( )s t21212gt

8、C tC是方程是方程( )s tg的解的解四川大學數學學院 徐小湛May 2005http:/Revised March 2006方程的通解：方程的通解： n 階微分方程的含有階微分方程的含有 n 個獨立任意常數的解個獨立任意常數的解 the general solution例如例如2dyxdx313yCx是方程是方程的通解的通解( )s t21212CCgtt是方程是方程( )s tg的通解的通解四川大學數學學院 徐小湛May 2005http:/Revised March 2006方程的特解：方程的特解： 沒有任意常數的解沒有任意常數的解例如例如2dyxdx3123yx是方程是方程的特解的特解21( )2102s tgtt是方程是方程( )s tg的特解的特解通解中的任意常數可由初始條件確定：通解中的任意常數可由初始條件確定：00(),f xy01(),fxy.四川大學數學學院 徐小湛May 2005http:/Revised March 2006驗證：驗證：22xxyyC是方程是方程解解22()0 xxyy 隱函數求導：隱函數求導：220 xyxyyy(