1、高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院第8章數據插值、函數逼近問題的數據插值、函數逼近問題的計算機求解計算機求解高等應用數學問題的MATLAB求解清華大學出版社2008CAI課件開發：薛定宇、劉瑩瑩、董雯彬高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院第第8章章 數據插值、函數數據插值、函數逼近問題的計算機求解逼近問題的計算機求解插值與數據擬合樣條插值與數值微積分問題求解由已知數據擬合數學模型特殊函數及曲線繪制信號分析與數字信號處理基礎高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.1 插值與數據擬合插值與數據擬合一維數據的插值問題已知樣本點的定積分計算二維網格數據的插值

2、問題二維一般分布數據的插值問題高維插值問題基于樣本數據點的離散最優化求解高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.1.1 一維數據的插值問題一維數據的插值問題一維插值問題的求解Lagrange插值算法及應用高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.1.1.1 一維插值問題的求解一維插值問題的求解一維插值interp1()函數的調用格式為：插值方法： linear：默認方法cubic：當前版本的MATLAB中改為pchipnearestspline高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院運用外推法，在區間 外的點的插值的函數調用格式為高等應用數學問題的MATLA

3、B求解東北大學信息學院例例 8.1已知的數據點來自函數根據生成的數據進行插值處理，得出較平滑的曲線直接生成數據MATLAB求解語句：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院調用interp1()函數：驗證結果：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.2編寫一段程序，允許利用插值方法手工繪制一條光滑的曲線利用插值方法手工繪制一條光滑的曲線高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院接上頁需要用戶自己選定幾個點，然后就能繪制出一條光滑的曲線在繪制圖形時，若給出vis變量，則繪制的圖形保留樣本點處的圓圈，否則在繪制圖形后刪去圓圈高等應用數學問題的MATLAB求解東

4、北大學信息學院8.1.1.2 Lagrange插值算法及應用插值算法及應用已知 點，可求出 向量上各點處的插值為：插值算法為MATLAB函數調用格式高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院Lagrange插值算法的MATLAB實現高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院對 ，進行Lagrange插值調用interp1()函數：例例 8.3高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.1.2 已知樣本點的定積分計算已知樣本點的定積分計算編寫MATLAB函數：函數調用格式：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.4利用樣條插值算法求解用30個采樣點求

5、解：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院比較梯形積分法法和基于插值的方法：給定5個不均勻分布的采樣點：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院樣條插值的結果與理論之間的比較：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.5已知其中的150個數據點，用quadspln()函數計算出該定積分的值求數值解：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院繪制曲線：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.1.3 二維網格數據的插值問題二維網格數據的插值問題二維插值的函數： 其中， 為已知二維數據， 為插值點構成的新的網格參數， 矩陣為在所選插值網格

6、點處的函數近似值高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.6根據下述函數生成一些較稀疏的網格數據 進行各種插值擬合，并比較擬合結果繪制已知數據的網格圖：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院默認插值算法進行插值：立方插值和樣條插值：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院誤差比較：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院 griddata() 函數的調用格式：其中， 是已知的二維樣本點 是期望的插值位置 表示插值的結果，維數和 一致 v4 是MATLAB 4.0版本中提供的插值算法.8.1.4 二維一般分二維一般分布數據的插值問題布數據的插值問

7、題高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.7給定 在矩形區域 內隨機生成一組樣本點生成一組 的值，以這些值為已知數據，用griddata()進行插值處理，并誤差分析。生成并顯示已知的樣本點：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院使用 cubic 和 v4 算法：比較：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.8給定的樣本點在x-y平面分布較均勻，現在人為剔除某些點，表明已知數據分布不均勻，這時再進行插值分析，觀察插值效果。高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院剔除在以 點為圓心，以0

8、.5為半徑的圓內的點高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院用新的樣本點擬合出曲面：誤差分析：誤差的等高線圖：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.1.5 高維插值問題高維插值問題三維的網格數據生成：高維網格數據的生成：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.9假設已知某三元函數可以通過該函數生成一些網格型樣本點，試根據樣本點進行擬合，并給出擬合誤差高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院插值并檢驗結果：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.1.6 基于樣本數據基于樣本數據點的離散最優化求解點的離散最優化求解當需要優化的目

9、標函數的原型未知，且有一些相應的、離散分布樣本數據點，則可以采用樣條插值或其他插值方法去擬合目標函數，從而優化這樣的目標函數。高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.10給定下列函數假設已經測出了其中一些離散數據點，試根據這些離散點搜索對應函數的最小值，并檢驗所得出的結果高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院MATLAB求解語句：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.2 樣條插值與數樣條插值與數值微積分問題求解值微積分問題求解樣條插值的MATLAB表示基于樣條插值的數值微積分運算高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.2.1 樣條插

10、值的樣條插值的MATLAB表示表示三次樣條函數及其MATLAB表示B樣條函數及其MATLAB表示高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.2.1.1 三次樣條函數三次樣條函數及其及其MATLAB表示表示樣本點：其中， 為三次樣條函數的三個條件： 每個子區間 上， 為三次多項式 高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院 在整個區間 上有連續的一階及二階導數定義一個三次樣條函數類：其中， 為樣本點高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院樣條函數對象的插值結果：圖形繪制計算結果其中得出的 為 上各點的插值結果高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.

11、11給定下式和150個已知的樣本點，給出稀疏數據的三次樣條插值結果MATLAB求解語句：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.12給定 ，生成一些數據，用三次樣條插值的方法對這些數據進行擬合MATLAB求解語句：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院分段三次多項式樣條插值系數表高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院處理多個自變量的網格數據三次樣條插值類： 為自變量的網格標志 網格數據的樣本點得出的S是三次樣條函數對象高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.13給定用三次樣條插值方法得出網格數據的樣條插值擬合，并繪制出曲面MATL

12、AB求解語句：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.2.1.2 B 樣條函數樣條函數及其及其MATLAB表示表示建立B樣條插值對象其中k為用戶選定的 B 樣條階次，一般選擇k=4,5高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.14給定兩個函數生成數據，再進行5次B樣條函數擬合，并與三次分段多項式樣條函數擬合的結果相比較高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院步驟1：步驟2：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.2.2 基于樣條插值基于樣條插值的數值微積分運算的數值微積分運算基于樣條插值的數值微分運算基于樣條插值的數值積分運算高等應用數學

13、問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.2.2.1 基于樣條插基于樣條插值的數值微分運算值的數值微分運算求單變量k階導數的函數調用格式：多變量函數的偏導數的函數調用格式：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.15給定 生成一些數據點用三次分段多項式樣條函數與B樣條插值函數，求出該函數的導數與理論推導結果相比較高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院MATLAB求解語句：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.16給定 生成一些數據點利用數值插值的方法擬合曲面并與解析解法繪制出的曲面相比較高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院擬和

14、曲面：理論方法：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.2.2.2 基于樣條插基于樣條插值的數值積分運算值的數值積分運算積分函數：在區間 求取定積分高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.17給定生成一些較稀疏的樣本點，再用樣條積分的方式求出定積分及積分函數高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院繪制結果曲線：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.3 由已知數據擬合數學模型由已知數據擬合數學模型多項式擬合給定函數的連分式展開及基于連分式的有理近似有理式擬合Pad近似函數線性組合的曲線擬合方法最小二乘曲線擬合高等應用數學問題的MATLA

15、B求解東北大學信息學院8.3.1 多項式擬合多項式擬合多項式擬合函數調用格式：其中： 和 為原始的樣本點構成的向量 n 為選定的多項式階次 為多項式系數按降冪排列得出的行向量高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.18給定使用該函數生成一些數據點，并用多項式擬合的方法在不同的階次下進行擬合擬合該數據的3次多項式：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院接上頁：就不同的次數進行擬合：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院Taylor冪級數展開：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.19對下式進行多項式擬合，并觀察擬合效果就不同的多項

16、式階次進行曲線擬合：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院接上頁：Taylor冪級數展開，繪制多項式擬合效果：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.3.2 給定函數的連分式展給定函數的連分式展開及基于連分式的有理近似開及基于連分式的有理近似連分式的一般形式：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院Cauer II型連分式：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院調用Maple的給定函數的連分式展開(CFE)調入數論包調用連分式函數，生成cfe變量高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院提取前 n 級的分子、分母由cfe變量提取前n級的分

17、子由cfe變量提取前n級的分母高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.20試對p進行20級近似，并找出一個較好的連分式近似階次高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院由有理近似的函數則可以得出分子和分母的值p的4級連分式有理近似為：p的精確值高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.21對下列函數進行10級連分式展開前10級連分式表達式：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院連分式展開式為：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院前8級和10級連分式的有理多項式近似：結果：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院在

18、區間0,2和更大的區間0,5上的曲線繪制：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.3.3 有理式擬合有理式擬合Pad近似近似函數 的冪級數展開：r/m階的Pad近似表示為：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院 式中，設 ，則可寫出：令相應的s項系數的值相等 和 系數可以從下面的方程求解出來高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院其中且有高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院和 計算給定函數Pad有理函數近似調用格式：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院構造MATLAB函數padefcn()計算Pad有理函數近似：高等應用數學問題的

19、MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.22試對函數 用有理函數近似選擇分子階次為0和不同的分母階次：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院符號運算版的padefcn()函數高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.23試對函數 用符號運算方式求取 Pad近似模型MATLAB求解語句：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.3.4 函數線性組函數線性組合的曲線擬合方法合的曲線擬合方法假設已知某函數的線性組合為其中， 為已知函數， 為待定系數高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院假設已經測出數據則可以建立起如下的線性方程其中高等應用數學問

20、題的MATLAB求解東北大學信息學院并且方程的最小二乘解為：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.24假設測出一組 ，已知函數原型為用已知數據求出待定系數 的值高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院直接擬合 參數：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院將原 向量代入該原型函數高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.25假設測出一組實際數據 試對其進行函數擬合高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院繪制表格中的曲線：進行對數變換：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院用線性函數擬合的方法可以得出兩個線性參數，

21、使得 ，即求解系數a, b：擬合函數則是：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.26對函數 進行多項式擬合，其中，選擇各個函數為觀察多項式擬合的效果MATLAB求解語句：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.3.5 最小二乘曲線擬合最小二乘曲線擬合給定一組數據 ，和某一函數原型 ，其中 為待定系數向量最小二乘曲線擬合的目標為求出這一組待定系數的值，使得目標函數為最小高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院MATLAB函數調用格式： 其中：Fun為原型函數的MATLAB表示，它可以是M-函數或inline()函數 為最優化的初值 為原始輸入輸出數據

22、向量 為返回的待定系數向量 為在此待定系數下的目標函數的值高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.27由下面的語句生成一組數據該數據滿足采用最小二乘曲線擬合獲得這些待定系數 ，使目標函數的值為最小。高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院編寫函數，得出待定系數向量：修改最優化的選項：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.28已知數據可能滿足求滿足數據的最小二乘解a, b, c, d的值高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院輸入已知的參數：令這樣，原型函數可以寫成：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院MATLAB求解語

23、句：繪制曲線，比較擬合效果：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.4 特殊函數及曲線繪制特殊函數及曲線繪制G-函數不完整G-函數b-函數Bessel函數Legendre函數高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院G G-函數函數G-函數的數學描述G-函數調用格式其中， 可以為向量高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院G-函數性質高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.29試繪制 區間內G-函數的曲線MATLAB求解語句：注意： G(a+1)=a G (a)， G(1)=1 ，若a為非負整數，則G(a+1)=a!；若a為負整數，則G(a+

24、1)趨于高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.30試寫出下面無窮積分的“解析解”高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院MATLAB求解語句：結果：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院G-函數的值可以通過數值積分求解，也可以由下面無窮級數計算出來其中, 為Euler g常數高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院不完整G-函數的數學描述求取不完整G-函數的調用格式不完整不完整G G-函數函數高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院b-函數的數學描述求取b-函數的調用格式b b-函數函數高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信

25、息學院例例 8.31試繪制出各種m值下的b-函數曲線表示MATLAB求解語句：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院Bessel函數函數對于Bessel微分方程該方程的通解為其中， 和 為任意常數高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院 為第一類l階Bessel函數：該定義也適用于l為非負整數的情形。若l為正整數，第一類Bessel函數有如下性質高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院若l為整數，則 與 線性相關引入第二類n階Bessel函數（Neumann函數）：取l=n，則Bessel微分方程的解為高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院求取第一類

26、Bessel函數的調用格式求取第二類Bessel函數的調用格式求取第三類Bessel函數的調用格式其中，l為階次高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.32試用圖形方式表示第一類Bessel函數曲線MATLAB 求解語句：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院Legendre函數函數對于Legendre微分方程該方程的通解為其中， 和 為任意常數高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院 為第一類Legendre函數 為第二類Legendre函數高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院構造出一系列關聯Legendre微分方程關聯Legendre

27、函數可以記作滿足高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院計算關聯Legendre函數 的調用格式其中， 為一個矩陣，其各行分別為 該函數要求高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.33繪制出Legendre函數曲線MATLAB求解語句：其他階次的Legendre函也可以仿照繪制出高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.5 信號分析與數信號分析與數字信號處理基礎字信號處理基礎信號的相關分析快速Fourier變換濾波技術與濾波器設計高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.5.1 信號的相關分析信號的相關分析信號 的自相關函數的定義為：且相關

28、函數為偶函數，即兩個信號 和 的互相關函數為：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.34給定信號 求它的自相關函數結果：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院在實驗中測出兩組數據：計算兩組數據的相關系數：求取已知向量的相關系數矩陣或高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.35用下列兩個原型函數分別生成一組數據，并求取其相關系數矩陣 和MATLAB求解語句：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院在實驗中測出兩組數據：定義 序列的自相關函數： 其中， ，自相關函數是偶函數定義出互相關函數：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信

29、息學院xcorr()函數：求自相關的調用格式求互相關的調用格式其中，N為k的最大取值，可以忽略高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.36用函數 和 生成一組數據，用數值方法求取自相關、互相關函數，并和已知理論曲線進行比較MATLAB求解語句：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.5.2 快速快速Fourier變換變換序列 的離散Fourier變換的數學表示為：序列 的離散Fourier逆變換定義為：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院快速Fourier 變換(FFT) 是求解離散Fourier 變換的最實用、最通用的方法快速Fourier變換

30、的函數調用格式快速Fourier反變換的函數調用格式其可以對任意長度的向量進行變換高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.37給定連續時間信號選擇步長為h，對其進行FFT變換，繪制變換結果的幅值曲線，并進行FFT反變換，觀察是否能通過反變換還原出所需的信號高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院MATLAB求解語句：快速Fourier 逆變換：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院二維FFT函數二維逆FFT函數高維FFT函數高維逆FFT函數高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.5.3 濾波技術與濾波器設計濾波技術與濾波器設計線性濾波器的一般模型濾波器設計及MATLAB實現高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院例例 8.38給定信號 疊加標準差為s=0.05的零均值的白噪聲信號，繪制噪聲污染后的信號曲線MATLAB求解語句：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院8.5.3.1 線性濾波器的一般模型線性濾波器的一般模型離散線性時不變濾波器模型的一般表達式為：假設輸入信號為 ，則經過濾波器后的輸出信號為：高等應用數學問題的MATLAB求解東北大學信息學院根據n和m的不同取值，定義三種常用的濾波器FIR濾波器：又稱為有限長脈沖響應濾波器，m=0， 為標量在控制領