1、第二章平穩(wěn)隨機過程第二章：平穩(wěn)隨機過程v嚴平穩(wěn)過程的定義嚴平穩(wěn)過程的定義v寬平穩(wěn)過程的定義寬平穩(wěn)過程的定義v平穩(wěn)過程的數(shù)字特征平穩(wěn)過程的數(shù)字特征v平穩(wěn)過程自相關函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)過程自相關函數(shù)的性質(zhì)v時間平均和集合平均的概念時間平均和集合平均的概念v平穩(wěn)過程遍歷性定義平穩(wěn)過程遍歷性定義v遍歷性判定定理遍歷性判定定理v遍歷性應用舉例遍歷性應用舉例第二章平穩(wěn)隨機過程 平穩(wěn)隨機過程是一類應用廣泛的隨機平穩(wěn)隨機過程是一類應用廣泛的隨機過程，在穩(wěn)定系統(tǒng)中出現(xiàn)的隨機過程都屬過程，在穩(wěn)定系統(tǒng)中出現(xiàn)的隨機過程都屬于平穩(wěn)隨機過程。于平穩(wěn)隨機過程。 例如：紡織過程中棉紗橫截面積的變例如：紡織過程中棉紗橫截面積的變化；

2、軍艦在海浪中的顛簸；電阻的熱噪聲；化；軍艦在海浪中的顛簸；電阻的熱噪聲； 這些隨機現(xiàn)象的特點是：統(tǒng)計特性不這些隨機現(xiàn)象的特點是：統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化。隨時間的推移而變化。第二章平穩(wěn)隨機過程嚴平穩(wěn)過程的定義 設設X(t),tT是隨機過程，如果對任是隨機過程，如果對任意常數(shù)意常數(shù)和正整數(shù)和正整數(shù)n n， t1,t2, ,tnT，t1+,t2+, ,tn+ T，(X(t1),X(t2), , X(tn)與與(X(t1+),X(t2+), ,X(tn+)有相有相同的聯(lián)合分布，則稱同的聯(lián)合分布，則稱X(t),tT為嚴平穩(wěn)為嚴平穩(wěn)過程或狹義平穩(wěn)過程。過程或狹義平穩(wěn)過程。 嚴平穩(wěn)過程的統(tǒng)計特征是由有

3、限維分嚴平穩(wěn)過程的統(tǒng)計特征是由有限維分布函數(shù)決定的，在實際應用中難以確定。布函數(shù)決定的，在實際應用中難以確定。第二章平穩(wěn)隨機過程 當產(chǎn)生隨機現(xiàn)象的一切主要條件可以當產(chǎn)生隨機現(xiàn)象的一切主要條件可以視為不隨時間的推移而改變時視為不隨時間的推移而改變時,這類過程這類過程可以看作為平穩(wěn)的可以看作為平穩(wěn)的. 例如例如: 電子管中散彈效應引起的電路電子管中散彈效應引起的電路中的噪聲電壓中的噪聲電壓;通信通信,自動控制等領域的許自動控制等領域的許多過程都可以認為是平穩(wěn)隨機過程。多過程都可以認為是平穩(wěn)隨機過程。第二章平穩(wěn)隨機過程均值均值 mX(t)=EX(t);均方值均方值 X(t)=EX2(t)；方差方差

4、DX(t)=EX2(t)-E(X(t)2 =X(t)-mX2(t);自相關函數(shù)自相關函數(shù) RX(t1,t2)=EX(t1)X(t2)；協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù) Cov(t1,t2)=RX(t1,t2)-mX(t1)mX(t2)平穩(wěn)過程的數(shù)字特征平穩(wěn)過程的數(shù)字特征第二章平穩(wěn)隨機過程對于平穩(wěn)隨機過程對于平穩(wěn)隨機過程X(t)的一維分布的一維分布F1(X1,t1)=F1(X1,t1+ )，若令，若令 =-t1，則，則F1(X1,t1)=F1(X1,0)=F1(X1)(1 )因此平穩(wěn)隨機過程的一維分布函數(shù)與時間無因此平穩(wěn)隨機過程的一維分布函數(shù)與時間無關，其在任何時刻的統(tǒng)計規(guī)律相等。關，其在任何時刻的統(tǒng)計規(guī)律

5、相等。1( )( )XXmtxfx dxm2221( )( )( )xtE Xtx f x dx常數(shù)( )D X t常數(shù) (2)若隨機過程若隨機過程X(t)平穩(wěn)過程，則其均值、均方值平穩(wěn)過程，則其均值、均方值和方差均為常數(shù)。和方差均為常數(shù)。第二章平穩(wěn)隨機過程(3) 對于平穩(wěn)隨機過程對于平穩(wěn)隨機過程X(t)的二維分布的二維分布F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;t1+ ,t2+ )，若令，若令=-t1，則則F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;0,t2-t1)，令，令t2-t1= ，則：則： F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;)第二章平穩(wěn)隨機過程1221

6、2121221212( ,)( )()(,; ,)(,; )( )XXRt tE X t X tx x fxxt tdx dxx x fxxdx dxR(4)平穩(wěn)過程的自相關函數(shù)是時間平穩(wěn)過程的自相關函數(shù)是時間的單變量的單變量函數(shù)函數(shù)。同理，協(xié)方差函數(shù)是時間同理，協(xié)方差函數(shù)是時間的單變量函數(shù)的單變量函數(shù)第二章平穩(wěn)隨機過程寬平穩(wěn)過程的定義設設X(t),tT是隨機過程，如果是隨機過程，如果 X(t),tT是二階矩過程；是二階矩過程； 對任意對任意tT，mX(t)=EX(t)=常數(shù)；常數(shù)；1.對任意對任意s,t T，RX(s,t)=EX(s)X(t)=RX(s-t)則稱則稱X(t),tT為廣義平穩(wěn)過

7、程或?qū)捚椒€(wěn)過為廣義平穩(wěn)過程或?qū)捚椒€(wěn)過程。程。第二章平穩(wěn)隨機過程嚴平穩(wěn)過程和寬平穩(wěn)過程的關系嚴平穩(wěn)過程和寬平穩(wěn)過程的關系 （1）寬平穩(wěn)過程不一定是嚴平穩(wěn)過程）寬平穩(wěn)過程不一定是嚴平穩(wěn)過程 （2）嚴平穩(wěn)過程只有當二階矩存在時）嚴平穩(wěn)過程只有當二階矩存在時為寬平穩(wěn)過程為寬平穩(wěn)過程 （3）但是對于正態(tài)過程，其分布由均）但是對于正態(tài)過程，其分布由均值和自相關函數(shù)完全確定，二者是等價的。值和自相關函數(shù)完全確定，二者是等價的。第二章平穩(wěn)隨機過程例題1：設設Y是隨機變量，試分別考慮是隨機變量，試分別考慮X(t)=Y和和X(t)=tY的平穩(wěn)性。的平穩(wěn)性。例題2：設設Xt，t=0, 1, 2, 是實的互不相是實的

8、互不相關隨機變量序列，且關隨機變量序列，且EXt=0,DXt=2。試討論隨機序列試討論隨機序列X(t)=Xt的平穩(wěn)性。的平穩(wěn)性。第二章平穩(wěn)隨機過程例題3：設設S(t)是一周期為是一周期為T的函數(shù)，的函數(shù)， 在在(0,T)(0,T)上上均勻分布，稱均勻分布，稱X(t)=S(t+X(t)=S(t+) )為隨機相位周為隨機相位周期過程，討論其平穩(wěn)性。期過程，討論其平穩(wěn)性。第二章平穩(wěn)隨機過程例題例題4：隨機過程隨機過程X(t)只取只取+I I和和 -I I，且，且PX(t)=+I I = PX(t)= -I I=1/2，而正負號在，而正負號在( t, t+ ) )的變化次數(shù)的變化次數(shù)N(t,t+N(t

9、,t+) )是隨機的，且事件是隨機的，且事件A AK K=N(t,t+)=k 的概率為的概率為, 2 , 1 , 0,!|)|()(|kekAPkk試討論試討論X(t)的平穩(wěn)性。的平穩(wěn)性。第二章平穩(wěn)隨機過程聯(lián)合平穩(wěn)過程)()(tYtXE設設X(t),tT和和Y(t),tT是兩個平穩(wěn)過是兩個平穩(wěn)過程，若它們的互相關函數(shù)程，若它們的互相關函數(shù)和和 僅與僅與有關，而與有關，而與t t無無關，則稱關，則稱X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)是是聯(lián)合平穩(wěn)隨機過聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程。程。 )()(tXtYE 當兩個平穩(wěn)過程當兩個平穩(wěn)過程X(t)，Y(t)是聯(lián)合平是聯(lián)合平穩(wěn)時，則它們的和也是平穩(wěn)過程。穩(wěn)時，則它

10、們的和也是平穩(wěn)過程。第二章平穩(wěn)隨機過程設設x(t),tT為平穩(wěn)過程，則其相關函數(shù)具為平穩(wěn)過程，則其相關函數(shù)具有下列性質(zhì)：有下列性質(zhì)： （1） （2） （3）平穩(wěn)過程自相關函數(shù)的性質(zhì)0)0(XR( )(),( )(),XXXXRRBB(0) |( )|XXRR第二章平穩(wěn)隨機過程 (4) 若若X(t)是周期為是周期為T的周期函數(shù)，即的周期函數(shù)，即 X(t)=X(t+T)，則，則RX()=RX(+T+T)； (5) 若若X(t)是不含周期分量的非周期過程，是不含周期分量的非周期過程，當當|時，時，X(t)與與X(t+)相互獨立，則相互獨立，則平穩(wěn)過程自相關函數(shù)的性質(zhì)2|lim()XXRm 第二章平穩(wěn)

11、隨機過程 已知平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)為已知平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)為:求其均值和方差求其均值和方差.習題:24()3 615XR第二章平穩(wěn)隨機過程隨機分析隨機分析 在普通函數(shù)的微積分中，連續(xù)、導數(shù)在普通函數(shù)的微積分中，連續(xù)、導數(shù)和積分的概念是建立在極限概念的基礎上。和積分的概念是建立在極限概念的基礎上。 對于隨機過程，隨機過程的連續(xù)性、對于隨機過程，隨機過程的連續(xù)性、導數(shù)和積分的等概念都是建立在隨機序列導數(shù)和積分的等概念都是建立在隨機序列極限的基礎上。這部分內(nèi)容稱為隨機分析。極限的基礎上。這部分內(nèi)容稱為隨機分析。第二章平穩(wěn)隨機過程處處收斂處處收斂 對于概率空間(,F,P)上的隨機序列Xn每個

12、試驗結(jié)果e都對應一序列，如果該序列對每個e都收斂，則稱隨機序列Xn處處處處收斂，收斂，即滿足XXnnlim其中，x為隨機變量。第二章平穩(wěn)隨機過程以概率以概率1收斂收斂二階矩隨機序列二階矩隨機序列Xn(e),二階矩隨機變量二階矩隨機變量X(e),若若1)()(lim:eXeXePnn稱稱Xn(e)以概率以概率1收斂于隨機變量收斂于隨機變量X ，或稱，或稱Xn(e)幾乎處處收斂于幾乎處處收斂于X(e)，記作，記作XXean.第二章平穩(wěn)隨機過程依概率收斂依概率收斂若對于任給0，有0|)()(|limeXeXPnn 稱二階矩隨機序列Xn依概率收斂于二階矩隨機變量X，記作: (probability收斂

13、)XXPn第二章平穩(wěn)隨機過程設有二階矩隨機序列Xn和二階矩隨機變量X，若有0|lim2XXEnn成立，則稱Xn均方收斂于X，記作:(Mean-square收斂)XXsmn.均方收斂均方收斂第二章平穩(wěn)隨機過程 二階隨機序列Xn相應的分布函數(shù)為Fn(x)，二階矩隨機變量X對應的分布函數(shù)為F(x).若對F(x)的每一個連續(xù)點處，有)()(limxFxFnn記作XXdn 稱二階矩隨機序列Xn依分布收斂于二階矩隨機變量X，(Distribution 收斂)依分布收斂依分布收斂第二章平穩(wěn)隨機過程收斂性概念收斂性概念（1）以概率）以概率1收斂收斂（2）依概率收斂）依概率收斂（3）均方收斂）均方收斂（4）依分

14、布收斂）依分布收斂a.em.sPd不收斂XXsmn.XXdn.a enXXPnXX第二章平穩(wěn)隨機過程(1)若若 ,則則.m snXXPnXX證：舉例舉例:第二章平穩(wěn)隨機過程(2)若若 ,則則.a enXXPnXX證：舉例舉例:第二章平穩(wěn)隨機過程均方連續(xù)均方連續(xù)定義定義6.6設有二階矩過程設有二階矩過程X(t),tT，若對每一個，若對每一個tT，有，有0|)()(|lim20tXhtXEh則稱則稱X(t)在在t點均方連續(xù)，記作點均方連續(xù)，記作若若T中一切點都均方連續(xù)，則稱中一切點都均方連續(xù)，則稱Xt在在T上均方連續(xù)。上均方連續(xù)。)()(. .0tXhtXmilh第二章平穩(wěn)隨機過程均方導數(shù)均方導數(shù)

15、定義6.7設X(t),tT為二階矩過程，若存在另一個隨機過程X(t)，滿足0|)()()(|lim20tXhtXhtXEh則稱X(t)在t點均方可微，記作htXhtXmi ldttdXtXh)()(. .)()(0并稱X(t)為X(t)在t點的均方導數(shù)。第二章平穩(wěn)隨機過程均方積分均方積分定義6.8設X(t),tT為二階矩過程，f(t)為普通函數(shù)，其中T=a,b，如果當n0時，Sn均方收斂于S，即2011lim|0( )( )()nnnniiiiiESSSf tX ttt則稱f(t)X(t)在區(qū)間a,b上均方可積，記作badttXtfS)()(第二章平穩(wěn)隨機過程定理6.8設f(t)X(t)在區(qū)間

16、a,b上均方可積，則有 1. 2. babadttXEtfdttXtfE)()()()(babadttXEdttXE)()( babaXbabadtdtttRtftfdttXtfdttXtfE212121222111),()()()()()()( babaXbadtdtttRdttXE21212),(|)(| 結(jié)論：數(shù)學期望和積分可以交換秩序。第二章平穩(wěn)隨機過程定理6.9設X(t),tT為二階矩過程在區(qū)間a,b上均方連續(xù)，則 在均方意義下存在，且隨機過程Y(t), tT在區(qū)間a,b上均方可微，且有Y(t)=X(t)。badXtY)()(第二章平穩(wěn)隨機過程時間平均和集合平均概念)(tXEmXTT

17、TdttXTtX)(21lim)(集合平均mX是隨機過程的均值，即任意時刻的過程取值是隨機過程的均值，即任意時刻的過程取值的統(tǒng)計平均。的統(tǒng)計平均。時間平均是隨機過程的樣本函數(shù)按不同時刻取平均，它隨是隨機過程的樣本函數(shù)按不同時刻取平均，它隨樣本不同而不同，是個隨機變量。樣本不同而不同，是個隨機變量。時間平均集合平均第二章平穩(wěn)隨機過程大數(shù)定理大數(shù)定理設獨立同分布的隨機變量序列Xn,n=1,2, ，具有EXn=m,DXn=2,(n=1,2, )，則1|1|lim1NkkNmXNP 隨時間隨時間n的無限增長，隨機過程的樣本函數(shù)的無限增長，隨機過程的樣本函數(shù)按時間平均以越來越大的概率近似于該過程的按時間

18、平均以越來越大的概率近似于該過程的統(tǒng)計平均。也就是說，只要觀測的時間足夠長，統(tǒng)計平均。也就是說，只要觀測的時間足夠長，則隨機過程的每個樣本函數(shù)都能夠則隨機過程的每個樣本函數(shù)都能夠“遍歷遍歷”各各種可能的狀態(tài)。種可能的狀態(tài)。第二章平穩(wěn)隨機過程例題： 隨機過程隨機過程X(t)=acos(wt+),a,w為常為常數(shù)，數(shù)，為為(0,2)(0,2)上均勻分布的隨機變量，上均勻分布的隨機變量，試分析試分析X(t)X(t)集合平均和時間平均值、相集合平均和時間平均值、相關函數(shù)和時間相關函數(shù)。關函數(shù)和時間相關函數(shù)。第二章平穩(wěn)隨機過程定義6.10設設X(t),-t是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，若是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，若

19、以概率以概率1成立，則稱該平穩(wěn)過程的均值具有成立，則稱該平穩(wěn)過程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。若各態(tài)歷經(jīng)性。若以概率以概率1成立，則稱該平穩(wěn)過程的相關函數(shù)成立，則稱該平穩(wěn)過程的相關函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。具有各態(tài)歷經(jīng)性。XTTTmdttXTmil)(21.)()()(21.XTTTRdttXtXTmil第二章平穩(wěn)隨機過程定義6.11 如果均方連續(xù)的平穩(wěn)過程如果均方連續(xù)的平穩(wěn)過程X(t),tT的均值和相關函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性，的均值和相關函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱該平穩(wěn)過程為具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍則稱該平穩(wěn)過程為具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性。歷性。第二章平穩(wěn)隨機過程定理6.10設X(t),-t是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，則它的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件為0|)()2|1(21.222TTXXTdmRTTmil證明見課本第二章平穩(wěn)隨機過程定理6.11設X(t),-t是均方連續(xù)的平穩(wěn)過