1、第六章正態隨機過程第五章：第五章： 正態隨機過程正態隨機過程v多維正態隨機變量的定義與協方差矩陣多維正態隨機變量的定義與協方差矩陣v多維正態隨機變量的性質多維正態隨機變量的性質v正態隨機過程的定義正態隨機過程的定義v正態隨機過程的性質正態隨機過程的性質第六章正態隨機過程定義： 如果對一個隨機過程任意選取如果對一個隨機過程任意選取n個時刻個時刻,則得則得到到n個相應的隨機變量個相應的隨機變量, 若此若此n個隨機變量的聯合個隨機變量的聯合分布都是分布都是n維正態分布，則稱隨機過程維正態分布，則稱隨機過程X(t)是正態是正態隨機過程（高斯過程）。隨機過程（高斯過程）。第六章正態隨機過程隨機變量的特征

2、函數隨機變量的特征函數 隨機變量的概率密度函數和特征函數之間存隨機變量的概率密度函數和特征函數之間存在一一對應關系，因此在得知隨機變量的特征函在一一對應關系，因此在得知隨機變量的特征函數后，就可以知道它的概率密度函數。數后，就可以知道它的概率密度函數。第六章正態隨機過程一、特征函數的定義一、特征函數的定義 設 為隨機變量，稱 的數學期望為隨機變量 的特征函數。記為 XjuXeX)(XiuXeEuCdxeuC21xfjux-X)()(已知特征函數，求概率密度函數。dxxfeuCjuxX)()(0iijuxXxxPeuC)(第六章正態隨機過程例題：例題：解：解： )(),10(uC,NXX求222

3、221)(uxjuXXedxeeuC?)(),(uCaNXX2求例題：例題：P8例題1.2第六章正態隨機過程二、性質二、性質1）2）X的特征函數為的特征函數為 ，則，則Y=aX+b的特征函數為：的特征函數為： 1)()(0CuCXX)(uCX)()(auCeuCXbjuY證明：證明：()( )= ()jubuaju aXbjXYj bXuCuE eeE eeCua第六章正態隨機過程例題：例題： 構造構造 其中其中?)(),(uCaNXX2求aXY),(10NX2u)-juaXjuaY2euCeuC()()(解：第六章正態隨機過程3）矩定理）矩定理階原點矩。的則稱它為存在，），（是隨機變量，若和

4、設KX21KXEYXK.階中心矩。的存在，則稱它為，）（若KX21KEX-XEK.階混合矩。的和，則稱它為，存在，若lKYX21lKYXElK.階混合中心矩。的和則稱它為，存在，）（）（若lKYX21lKEY-YEX-XElK.第六章正態隨機過程0( )EX ( )|nnnXund Cujdu證明：110010( )|( )|( )|( )juxXuujuxudCudjjef x dxdudujef x dxf x dxjxxE X當n=1時 第六章正態隨機過程證明：第六章正態隨機過程三、多維隨機變量的特征函數三、多維隨機變量的特征函數1）定義）定義11X u. nnxuxu).(.nn221

5、1n1xjuxjuxjun1xxeEuuC)(Xu jTXTTeEuC即：即：若第六章正態隨機過程2）性質）性質1、若、若X1，X2 統計獨立，則：統計獨立，則： 推廣到推廣到n個個解：解：1212,1212(,)()()x xxxCu uCu Cu11,.11(,.)().()nnxxnXXnCuuCuCu1 12 21 12 212,121212( ,)( ,)ju xju xju xju xx xCu uE eef x x dx dx 若獨立，則121122( ,)()()f x xf xfx1 12 2121 1122 2,1211221211122212( ,)( )() ( )()

6、ju xju xx xju xjuXXxCu uef xfx dx dxefCu Cux dxefx dx 第六章正態隨機過程2、邊際特征函數、邊際特征函數 推廣到推廣到n個個解：解：121,110(, )()XXXCuCu111,.11.11( ,.,0)( .)nnXXnXXnCuuCuu1 12 21221 11,101( ,0)| ()ju xju xXXuju xXCuE eE eCu第六章正態隨機過程3、已知、已知(),TTTju XXYCuE eAXb且則()()TTTTjv bTYXCveCv A證明：AX+bbu x()X(A)b()E,:()EEE ()TTTTTTTTTT

7、jXTjv YjvjvjYvjvXTCueCveeeeeCv A 已知則juYY=aX+b C (u)e()bXCua比較：比較：第六章正態隨機過程一維正態隨機變量的概念：一維正態隨機變量的概念：一維正態隨機變量X的概率密度函數可以表示為22()21( )2x aXfxe記為記為特征函數為特征函數為:2 ( ,)XNa2 2 22 2( )exp(2)ujauXujueauC第六章正態隨機過程二維正態隨機變量的概念：二維正態隨機變量的概念：若隨機變量X1,X2的聯合概率密度函數可以表示為21112212221122221122()()11( ,)exp ()22(1)21 () xaaxaxa

8、f x xx則稱X1,X2為二維正態隨機變量。其中為X1和X2的相相關系數關系數。對于上述二維隨機變量，其邊際概率密度函數可表示為211211()211( )2xaXfxe222222()221( )2xaXfxe因此其邊際分布為一維正態分布 ，),(2111aNX),(2222aNX第六章正態隨機過程二維正態分布的協方差矩陣可表示為二維正態分布的協方差矩陣可表示為2111211222122122CCCCC 二維正態分布的協方差矩陣具有如下性質： 實對稱矩陣； 正定矩陣1. 其逆矩陣可表示為)1 (1)1 ()1 ()1 (12222122122211C第六章正態隨機過程二維正態隨機變量的聯合

9、密度也可表示為二維正態隨機變量的聯合密度也可表示為212211211( ,)exp2()()(2 )|TxaCxaf x xC其中1122,xaxaxa21111222211212212222()()1()2(1)1 (1( ,)exp )22xaxaxaxxafx 21122122C 第六章正態隨機過程n維正態隨機變量的定義：維正態隨機變量的定義：若若n維隨機變量的聯合密度函數為維隨機變量的聯合密度函數為112211( )exp()()2(2 ) |TnXfxxaCxaC則稱 為n維正態隨機變量，其中C為n維實對稱正定陣。記為X),(CaNX第六章正態隨機過程n維隨機變量的性質維隨機變量的性

10、質 若若 ，則存在，則存在n階正交矩陣階正交矩陣A，使得向量，使得向量 中的分量中的分量Y1,Y2, ,Yn是獨立的隨機變是獨立的隨機變量，且量，且Yi為一維正態分布為一維正態分布N(0,di)。),(CaNX)(aXAY說明1122()112211( )exp()()2(2 ) |11( )exp2(2 ) |TnXYA XaTnYfxxaCxaCfyy D yD120.00.000nddDd其中，第六章正態隨機過程2、 的特征函數為的特征函數為),(CaNX12()TTTjuauCuTXCue證明總存在正交矩陣A，通過變換 此時隨機向量的協方差矩陣，且 120.00.000nddDd()Y

11、A XaTACAD第六章正態隨機過程由性質1可以知道： 為n維獨立隨機變量， Y112211( )exp2(2 ) |TnYfyy D yD且 (0,)iiyNd1212()( )().()TnTyyynYCVCv CvCv22( )i iid vyiCve其中, 12()TTV DVTYCVe120.00.000nddDd則 2221 12 2222().n nTd vd vd vTYCVeee第六章正態隨機過程由特征函數線性變換的性質，對于 可以得到:1XA Ya11111()21212()() TTTTTTTTTTTju aTyxu AD u Aju auujADAju auuu aCC

12、ueC u Aeeeee 第六章正態隨機過程3、n元正態分布中任意元正態分布中任意m維子向量亦為正態分維子向量亦為正態分布布(mn)證明12()TTTjuauCuTXCue已知:1111:X u :mmmmnnxuxuxuxu若令12.0mmnxxx12.0mmnuuu第六章正態隨機過程11X: u: mmmmxuxu12()TTmmmmmTmjuauBuTXCue則:第六章正態隨機過程4、n元正態隨機變量的線性變換也為正態隨機變量。元正態隨機變量的線性變換也為正態隨機變量。 即若即若 為正態隨機向量，則為正態隨機向量，則 亦為正態隨亦為正態隨機向量機向量。XbXAY只需證明其特征函數亦為正態

13、特征函數只需證明其特征函數亦為正態特征函數12()TTTjuauCuTXCue),(CaNX即已知bXAY1()21()()2()() TTTTTTTTTTTvAvAjaCTjVbTjVbYXvACAvAVbAavjCveCveeeAe若即(,)TYN bAa ACA證明證明：第六章正態隨機過程5、若、若 為為n維正態隨機變量，那么維正態隨機變量，那么X1,X2, ,Xn相相互獨立的充要條件是兩兩互不相關。互獨立的充要條件是兩兩互不相關。 X證明(1) 若已知兩兩相互獨立,則不相關.(2)若已經知道兩兩不相關,即Cij=0(當i不等于j時)，則21122220.00:00.0nnC( ,) =

14、 0ijijijijijijCCov x xE x xE x E xE x E xE x E x第六章正態隨機過程實際上，若：21122220.00:00.0nnC11222121212212111( )exp()()2(2 ) |()11 exp2(2 ).()1 exp22TnXniniinniiiifxxaCxaCxaxa 方法二：方法二：第六章正態隨機過程正態隨機過程定義：正態隨機過程定義：若隨機過程若隨機過程X(t)的任意的任意n維分布都是維分布都是n維正態維正態分布，則稱分布，則稱X(t)是正態隨機過程（高斯過程）。是正態隨機過程（高斯過程）。正態隨機過程的性質正態隨機過程的性質：

15、 若正態隨機過程為寬平穩，則必為嚴平穩。若正態隨機過程為寬平穩，則必為嚴平穩。1. 二階矩過程二階矩過程寬平穩特點X(t)的期望為常數，與時間原點無關X(t)的相關函數只是時間差t的函數第六章正態隨機過程 若正態過程為寬平穩過程，則若正態過程為寬平穩過程，則mX(t)=a為常為常數，數，RX(tk,ti)= RX(tk-ti). 任取任取n個抽樣時刻個抽樣時刻t1,t2,tn，這，這n個時刻所個時刻所對應的隨機變量的協方差矩陣為對應的隨機變量的協方差矩陣為B，其任意一，其任意一元素元素bki=RX(tk-ti)-a2=b(tk-ti),則該則該n個正態變量對應的個正態變量對應的特征函數為：特征

16、函數為： 2B1()TTTjuauuTXCue1111112,.,;,.,()12(,.)knnnkkikkinnijb ttu au uxxttnCuuue 證明：證明：第六章正態隨機過程 若把n個時間抽樣點作一個時間平移h,即取抽樣時刻為t1+h,t2+h,tn+h,則平移后的對應的n個正態分布的隨機變量的特征函數為： 1111111111(,.,;,.,)121()21()2(,.,;,.,)12 ()(,.)(,.)()TnnnnnkkikikkinnnkkikikkinnThhhhTXxxttnju au u b ttju au u b ttxxttnTXCuCuuueeCuuuCu

17、 第六章正態隨機過程 高斯過程通過線性系統，其輸出亦為正態隨機高斯過程通過線性系統，其輸出亦為正態隨機過程。過程。 若系統輸入端的隨機過程為非高斯過程，只要若系統輸入端的隨機過程為非高斯過程，只要輸入隨機過程的等效帶寬遠大于系統的通頻帶，輸入隨機過程的等效帶寬遠大于系統的通頻帶，系統輸出端得到正態隨機過程。系統輸出端得到正態隨機過程。2.平穩正態隨機過程與確定信號之和的概率分布平穩正態隨機過程與確定信號之和的概率分布認為正態隨機過程。認為正態隨機過程。證明第六章正態隨機過程例題例題1：設平穩正態過程設平穩正態過程X(t)均值為均值為0，相關函數，相關函數RX()=(e-2|)/4，求對給定時刻

18、，求對給定時刻t，X(t1)的值的值在在0.5和和1之間的概率。之間的概率。解：解：2220( )( ) ( )1 ( )|4XXD X tE X tmtR1( ) (0, )4X tN1?0.5( )1PX t第六章正態隨機過程例題例題2：X(t)=Acosw0t+Bsinw0t，其中，其中A與與B為兩個獨為兩個獨立的正態隨機變量，且立的正態隨機變量，且EA=EB=0，EA2=EB2=2，w0為常數，求為常數，求X(t)的一維，二的一維，二維密度函數。維密度函數。解：解：X（t）為正態隨機過程， 0000 cossin cos sin0 ( )E Aw tBw tE Aw tE BXtEwt2002 cossin0 ( ) E Aw tBwD X tt222111( ; )2xf x te所以：所以：第六章正態隨機過程21111221222