1、橢圓及其標準方程（第一課時）教學設計一教材及學情分析：本節課是普通高中課程標準實驗教科書數學（人民教育出版社課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心編著）選修11第二章第一節橢圓及其標準方程第一課時在這一章中，我們將繼續用坐標法探究圓錐曲線的幾何特征，建立它們的方程，通過方程研究它們的簡單性質，并用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題和實際問題，進一步感受數形結合的基本思想在必修2中學生已初步掌握了解析幾何研究問題的主要方法,并在平面直角坐標系中研究了直線和圓這兩個基本的幾何圖形在選修1中，教材利用三種圓錐曲線進一步深化如何利用代數方法研究幾何問題由于教材以橢圓為重點交代求方程、利用

2、方程討論幾何性質的一般方法,在雙曲線、拋物線的教學中應用和鞏固，因此“橢圓及其標準方程”起到了承上啟下的重要作用本節內容蘊含了許多重要的數學思想方法，如：數形結合思想、化歸思想等因此，教學時應重視體現數學的思想方法及價值根據本節內容的特點，教學過程中可充分發揮信息技術的作用，用幾何畫板的動態作圖優勢為學生的數學探究與數學思維提供支持二教學目標：1知識與技能目標：理解橢圓的定義掌握橢圓的標準方程，在化簡橢圓方程的過程中提高學生的運算能力2過程與方法目標：經歷橢圓概念的產生過程，學習從具體實例中提煉數學概念的方法，由形象到抽象，從具體到一般，掌握數學概念的數學本質，提高學生的歸納概括能力學會用坐標

3、化的方法求動點軌跡方程解析法對學生進行數學思想方法的滲透，培養學生具有利用數學思想方法分析和解決問題的意識3情感態度價值觀目標：充分發揮學生在學習中的主體地位，引導學生活動、觀察、思考、合作、探究、歸納、交流、反思，促進形成研究氛圍和合作意識重視知識的形成過程教學，讓學生知其然并知其所以然，通過學習新知識體會到前人探索的艱辛過程與創新的樂趣通過對橢圓定義的嚴密化，培養學生形成扎實嚴謹的科學作風通過經歷橢圓方程的化簡,增強學生戰勝困難的意志品質并體會數學的簡潔美、對稱美利用橢圓知識解決實際問題，使學生感受到數學的廣泛應用性和知識的力量，增強學習數學的興趣和信心三重、難點重點：橢圓的定義、橢圓的標

4、準方程、坐標化的基本思想難點：（1）標準方程的推導。（2）橢圓定義中常數加以限制的原因。關鍵：含有兩個根式的等式化簡四教法新課程倡導學生自主學習，要求教師成為學生學習的引導者、組織者、合作者和促進者，使教學過程成為師生交流、積極互動、共同發展的過程本節課采用讓學生動手實踐、自主探究、合作交流及教師啟發引導的教學方法，按照“創設情境學生活動意義建構數學理論數學應用回顧反思鞏固提高”的程序設計教學過程，并以多媒體手段輔助教學，使學生經歷實踐、觀察、猜想、論證、交流、反思等理性思維的基本過程，切實改進學生的學習方式，使學生真正成為學習的主人五學法遵循以學生為主體，教師為主導，發展為主旨的現代教育原則

5、。采用了以問題的提出、問題的解決為主線，始終在學生知識的“最近發展區”設置問題；以學生主動探索、積極參與、共同交流與協作為主體，于問題的分析和解決中實現知識的建構和發展。六教學準備一個PowerPoint課件，一個幾何畫板課件，畫橢圓工具（兩顆圖釘、一根細繩，一張白紙）。七.課型新授課八教學程序教學環節教學內容師生互動設計意圖（一）創設情境認識橢圓由太陽系各大行星運行系統動畫影片切入，逐漸構納出地球的運行軌跡，初步給出橢圓的表面映象認識。此時充分借助多媒體強大播放功能形象生動地演示各行星的運行軌跡，再重點突出地球的運行軌跡。這樣有助于吸引學生的注意力。然后再借助圖片展示木衛星的橢圓形光環，茶杯

6、杯口的橢圓形立體視覺效果圖，進一步加深對橢圓的表面映象認識。讓學生對橢圓有一個感性的認識，藉此產生學習的興趣及學習橢圓的必要性。（二）意義建構橢圓的定義實際生活中這樣的圖形很多，如何用現有的工具畫出圖形？誰能畫出最漂亮、最完美的的一個橢圓呢？教師與學生一起找出上述問題的解決方案，并一同用給的工具畫出圖形，與上述圖形相似橢圓。學生分組試驗:(1)取一條細繩；(2)把細繩的兩端用圖釘固定在板上的兩點、；(3)用鉛筆尖（）把細繩拉緊，在板上慢慢移動觀察畫出的圖形是什么？（教師巡視指導，展示學生成果）問：哪些量是固定的、不變的？哪些量是變化的？學生討論、作答問：橢圓如何定義？學生討論、作答形成概念：到

7、兩個定點F1、F2的距離之和等于常數的點的軌跡叫做橢圓。問：要想用上面那句話作為橢圓的定義，要保證它足夠嚴密、經得起推敲那么，這個常數可以是任意正實數嗎？有什么限制條件嗎？引導學生回答：點的距離小于繩子的長即，從而意識到在“定義”中需要加上“常數”的限制深化問題：若常數=或常數,情況會發生什么變化？（學生繼續分組討論，請出代表說討論的結果）引導學生應用平面幾何中的“三角形任意兩邊之和大于第三邊”、“兩點之間線段最短”為理論依據。設計一個實驗，一來是為了給學生一個動手實驗的機會，讓學生體會橢圓上點的運動規律；二是通過實踐思考，為進一步上升到理論做準備注重概念形成過程，通過讓學生親自動手，培養學生

8、的觀察、歸納、概括能力。通過學生觀察、思考、討論，概括出橢圓的定義，讓學生全程參與概念的探究過程，加深理解，提高概括能力和數學語言的表達能力.進一步強化橢圓定義，真正使學生理解定義的內涵和外延。(三)數學理論橢圓定義的完善完善定義：到平面內兩個定點的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡叫做橢圓。定點稱為橢圓的焦點。間的距離稱為焦距。當常數=時，與兩個定點的距離之和等于常數的點的軌跡是線段；當常數時，與兩個定點的距離之和等于常數的點的軌跡不存在加深對橢圓本質的認識，并逐漸養成嚴謹的科學作風橢圓的標準方程(1)回顧用坐標法求動點軌跡方程的一般步驟：建系、設點、寫出動點滿足的幾何限制條件、代坐標化、化

9、簡、證明等價性。簡記：建設限代化（2)推導橢圓的標準方程建系設點：觀察橢圓的幾何特征，如何建系能使方程更簡潔？利用橢圓的對稱性特征方案1以兩定點的連線為X軸其垂直平分線為Y軸方案2以兩定點的連線為Y軸，其垂直平分線為X軸以方案1為例推導：以直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系設焦距為，則設為橢圓上任意一點，點與點的距離之和為動點滿足的幾何約束條件:坐標化：化簡：化簡橢圓方程是本節課的難點，突破難點的方法是引導學生思考如何去根號移項后兩次平方法化簡得設，(為什么要取平方？)學生思考，問題由老師來回答方程簡化為：(3)建立焦點在軸上的橢圓的標準方程問：要建立焦點在軸上的橢圓的標準方

10、程，又不想重復上述繁瑣的化簡過程，如何去做？此時引導學生要借助于化歸思想，抓住圖(1)與圖(2)的聯系即可化未知為已知，將已知的焦點在軸上的橢圓的標準方程轉化為焦點在軸上的橢圓的標準方程只需將圖(1)沿直線翻折或將圖(1)繞著原點按逆時針方向旋轉即可轉化成圖(2)，需將軸、軸的名稱換為軸、軸或軸、軸焦點在軸上的橢圓的標準方程為(4)辨析焦點分別在軸、軸上的橢圓的標準方程的異同點（學生分組討論，個別發言）區別：要判斷焦點在哪個軸上，只需比較與項分母的大小即可若項分母大，則焦點在軸上；若項分母大，則焦點在軸上反之亦然聯系：它們都是二元二次方程，共同形式為兩種情況中都有進一步熟悉用坐標法求動點軌跡方

11、程的方法掌握化簡含根號等式的方法，提高運算能力，養成不怕困難的鉆研精神感受數學的簡潔美、對稱美體會數學中的化歸思想，化未知為已知，避免重復勞動通過對比總結，強化不同類型的方程的異同，從而深化學生對橢圓標準方程的理解。抓住數學形式的一致性，體會數學的嚴謹。（四）數學應用橢圓定義與標準方程的簡單應用例1：判斷分別滿足下列條件的動點M的軌跡是否為橢圓（1）到點和點的距離之和為6的點的軌跡；（是）（2）到點和點的距離之和為4的點的軌跡；（不是）（3）到點和點的距離之和為6的點的軌跡；（是）例2：判斷焦點的位置并求其坐標：（1）（2）（3）例3：求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）已知橢圓的焦點坐標是

12、F1（3，0）、F2（3，0），橢圓上任一點到F1、F2的距離之和為8，求橢圓的標準方程。（2）兩個焦點的坐標分別是（0，2）、（0，2），并且橢圓經過點。變式一：已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是，橢圓上一點M到的距離之和為4，求該橢圓的標準方程變式二：已知橢圓的兩個焦點分別是，橢圓經過點，求該橢圓的標準方程鞏固橢圓定義掌握兩種類型的橢圓方程的異同和根據標準方程判斷焦點位置的方法。提醒學生在解題時先要根據焦點位置判斷使用哪種形式的橢圓標準方程掌握待定系數法在求橢圓標準方程中的應用，深化a、b、c的關系。充分讓學生動手、動腦。及時反饋，強化知識點的學習。進一步強化橢圓的概念(五)回顧反思深化橢圓的

13、概念與標準方程1知識點：橢圓的定義及其標準方程2數學方法：用坐標化的方法求動點軌跡方程3數學思想：數形結合思想、化歸思想通過小結，使學生理清這節課的重難點。（六）課后作業鞏固提高1必做題：課本49頁習題22A組2，5(1)(2)，6，92思考題：動圓與定圓相內切且過定圓內的一個定點A（0，-2）求動圓圓心P的軌跡方程3.實驗操作題：折紙游戲（準備圓形紙片）請按如下步驟進行操作：1將圓心記作點，然后在圓內任取一定點2在圓周上任取10個點，分別記作，將它們與圓心相連，得半徑3折疊圓形紙片，使點與點重合，將折痕與半徑的交點記作；然后再次折疊圓形紙片，使點與點重合，將折痕與半徑的交點記作；依此類推，最

14、后折疊圓形紙片，使點與點重合，將折痕與半徑的交點記作4用平滑曲線順次連接點，你有何發現？5.請對你的猜想進行證明。進一步完善教學目標的實現。再次探究橢圓的形成，加深對概念的理解，比較幾何法與代數法的優劣點。九板書設計2.1橢圓及其標準方程一、定義：（大于）焦點焦距=2c二、標準方程：焦點在X軸：焦點在Y軸：【關系】【例1】【例2】【例3】變式一變式二十.教學反思本節課既有概念的教學，又有橢圓標準方程的推導和應用在概念學習上，學生可能會受傳統教學方式的影響，忽略對概念本質的深入學習，忽視對概念的理解，導致學生在處理相關問題時出現偏差，也使得學生的數學思維的發展受到限制在橢圓標準方程的推導中，按坐

15、標法求曲線方程的過程，學生存在一定的障礙，具體表現為：如何建立合適的坐標系，學生在認知上還不是很到位；對于含兩個根號的式子的化簡，平時接觸不多，方程中字母超過三個，且次數高，項數多，計算量較大，學生沒有信心和能力自我解決這一難題；方程中字母的引入，學生更是較難想到基于以上情況，我在教學上作了以下設計：（1）在橢圓定義的教學上我花了大量時間，課前精心準備了實驗教具，課上讓學生親自動手實驗，感受橢圓的形成過程，并鼓勵學生總結橢圓上點的運動規律當學生定義不準確、不嚴謹時，不是否定學生，而是保護學生的自尊心，“在最近發展區”繼續設計問題，引導學生不斷探索通過這樣的實踐，學生對條件的理解水到渠成這樣，不僅完善了橢圓的定義，也有助于學生能力的培養（2）如何建立坐標系？對這一問題，教師并不是急于給出坐標系，而是給學生時間和機會，放手給學生做又通過折橢圓，展示橢圓的對稱性再借助圓來說明（在求圓的方程式，若把圓心作為坐標原點建系時，得出的方程比另外的不把圓心作為原點得出的方程簡潔美觀）啟發引導學生找出最好的建系方案，讓學生明白哪種坐標系更合適，這樣，不用老師叮囑，在以后的建系中，學生自然會注意到平衡對稱對簡化問題的作用（3）無理方程的化簡這是一難點，但也是學生利用坐標法求曲線方程必經的過程，所以我放手并鼓勵學生自我完成