1、會(huì)計(jì)學(xué)1理學(xué)解析幾何理學(xué)解析幾何所有的零向量都相所有的零向量都相等等. .ab模為模為1 1的向量的向量. .零向量：零向量： 模為模為0 0的矢量的矢量. .0單位向量：?jiǎn)挝幌蛄浚?a 定義定義1.1.21.1.2 如果兩個(gè)矢量的模相等且方向如果兩個(gè)矢量的模相等且方向相同，那么叫做相同，那么叫做相等向量相等向量. .記為記為ba 定義定義1.1.31.1.3 兩個(gè)模相等，方向相反的矢兩個(gè)模相等，方向相反的矢量叫做互為量叫做互為負(fù)（反）矢量負(fù)（反）矢量. .BA互為反矢量互為反矢量與與ABaa 的反矢量記為的反矢量記為a a第1頁(yè)/共42頁(yè)第2頁(yè)/共42頁(yè)abOAB這種求兩個(gè)向量和的方法叫這種

2、求兩個(gè)向量和的方法叫三角形法則三角形法則. .OBOA 、OBOAOC 定理定理1.2.11.2.1 如果把兩個(gè)向量如果把兩個(gè)向量 為鄰邊為鄰邊組成一個(gè)平行四邊形組成一個(gè)平行四邊形OACB，那么對(duì)角線向量，那么對(duì)角線向量 bacbacOBBOOABbABaOAOba的和，記做與叫做兩向量的向量到另一端點(diǎn)，從折線的端點(diǎn)得一折線，接連作向量為始點(diǎn)，以空間任意一點(diǎn)、設(shè)已知向量定義,1 . 2 . 1第3頁(yè)/共42頁(yè)OABC這種求兩個(gè)向量和的方法叫做平行四邊形法則定理1.2.2 向量的加法滿足下面的運(yùn)算規(guī)律：（1 1）交換律：）交換律：.abba （2 2）結(jié)合律：）結(jié)合律：cbacba )().(c

3、ba （3）aa0（3）. 0)( aa第4頁(yè)/共42頁(yè)法則推廣求和相加可由向量的三角形有限個(gè)向量naaa,21.,12112121122111nnnnnnnnAAAAOAOAaaanaOAAAOAaAAaAAaOAO的和，即個(gè)向量就是于是向量由此得一折線開(kāi)始，依次引自任意點(diǎn)OA1A2A3A4An-1An 這種求和的方法叫做多邊形法則第5頁(yè)/共42頁(yè)向量減法向量減法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab.2 . 2 . 1bacbacacbacb的差，并記做與叫做向量時(shí)，我們把向量，即的和等于向量與向量當(dāng)向量定義第6頁(yè)/共42頁(yè).,1它們的和是零向量條件是而成一個(gè)三角形

4、的充要它們的終點(diǎn)與始點(diǎn)相連，試證明順次將與設(shè)互不共線的三向量例cba0, 0,cbaAACABCABcCAbBCaABABCcba即，那么，即有構(gòu)成三角形可以，設(shè)三向量必要性證., 0,0ABCcbaCAcACccACbaACbBCaABcba可構(gòu)成一個(gè)三角形，所以的反向量，因此是從而所以那么，作設(shè)充分性ABC第7頁(yè)/共42頁(yè).00,3 . 2 . 1簡(jiǎn)稱(chēng)為數(shù)乘量與向量的乘法，我們把這種運(yùn)算叫做數(shù)相反時(shí)與當(dāng)相同，時(shí)與的方向，當(dāng)；它的模是記做的乘積是一個(gè)向量，與向量實(shí)數(shù)定義aaaaaaa第8頁(yè)/共42頁(yè), 0)1( |aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反向，反向，|aa aa2

5、a21 第9頁(yè)/共42頁(yè)定理定理1.2.2 數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（2 2）結(jié)合律：）結(jié)合律：)()(aa a)( （3 3）第一分配律：）第一分配律：aaa )(baba )(（4 4）第二分配律：）第二分配律：（1 1）aaaa) 1(,1第10頁(yè)/共42頁(yè)同方向的單位向量，同方向的單位向量，表示與非零向量表示與非零向量設(shè)設(shè)aea按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，aeaa| .|aeaa 上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量.第11頁(yè)

6、/共42頁(yè)，則，且如果）（，則，且如果）（推論aaababa02011 . 2 . 1第12頁(yè)/共42頁(yè)第13頁(yè)/共42頁(yè)ABCDEFP1e1e2e3.,.,3211321321321關(guān)系式關(guān)系式線性表示的線性表示的，用用先求先求取不共面的三矢量取不共面的三矢量就可以了就可以了三點(diǎn)重合三點(diǎn)重合下只需證下只需證兩組對(duì)邊中點(diǎn)分別為兩組對(duì)邊中點(diǎn)分別為其余其余它的中點(diǎn)為它的中點(diǎn)為線為線為的連的連的中點(diǎn)的中點(diǎn)對(duì)邊對(duì)邊一組一組設(shè)四面體設(shè)四面體證證eeeAPeADeACeABPPPPPPEFFECDABABCD 第14頁(yè)/共42頁(yè)),(211AFAEAP 連接連接AF，因?yàn)椋驗(yàn)锳P1是是AEF AEF 的

7、中線，所以有的中線，所以有 又因?yàn)橛忠驗(yàn)锳F1是是ACD ACD 的中線，所以又有的中線，所以又有),(21)(2132eeADACAF ,21211eABAE 而而),(41)(2121213213211eeeeeeAP 從而得從而得)3 , 2(),(41321 ieeeAPi同理可得同理可得321APAPAP所以所以.,321三點(diǎn)重合，命題得證三點(diǎn)重合，命題得證從而知從而知PPP第15頁(yè)/共42頁(yè)1.2.3 1.2.3 向量的線性關(guān)系與向量的分解向量的線性關(guān)系與向量的分解.,4 . 2 . 12122112121的線性組合叫做矢量所組成的矢量與數(shù)量由矢量定義nnnnnaaaaaaaaaa

8、（共面）的則稱(chēng)這個(gè)向量組是共線（一個(gè)平面上），表示，他們?cè)谝粭l直線有向線段向量組若用同一起點(diǎn)的定義5 . 2 . 1第16頁(yè)/共42頁(yè).03 . 2 . 1ababa，使得存在唯一的實(shí)數(shù)共線的充要條件與則，若定理. 04 . 2 . 1 baab，使得，存在不全為零的實(shí)數(shù)共線的充要條件與定理第17頁(yè)/共42頁(yè).,5 . 2 . 1唯一確定被并且系數(shù)的線性組合，即可以分解成或者說(shuō)矢量線性表示，可以用向量共面的充要條件是與不共線，那么向量如果向量定理cbabacbacbacbacba0,0,6 . 2 . 1321321ckbkakkkkcba使得的實(shí)數(shù)存在不全為共面的充要條件定理第18頁(yè)/共42

9、頁(yè).,7 . 2 . 1321321321321321唯一確定被并且其中系數(shù)的線性組合，即可以分解成向量任意向量線性表示，或說(shuō)空間可以由向量任意向量不共面，那么空間如果向量定理meeezyxzeyexemeeemeeemeee第19頁(yè)/共42頁(yè).,)44 . 1, 0,) 1(6 . 2 . 12122112121關(guān)的矢量叫做線性無(wú)關(guān)性相叫做線性相關(guān)，不是線個(gè)矢量那么（使得個(gè)數(shù)在不全為零的，如果存?zhèn)€向量對(duì)于定義nnnnnaaanaaanaaann第20頁(yè)/共42頁(yè).8 . 2 . 1是它們線性相關(guān)兩向量共線的充要條件定理.7 . 4 . 1件是它們線性相關(guān)三個(gè)向量共面的充要條定理.8 . 4

10、. 1線性相關(guān)空間任何四個(gè)向量總是定理第21頁(yè)/共42頁(yè)第22頁(yè)/共42頁(yè) 一一物物體體在在常常力力F作作用用下下沿沿直直線線從從點(diǎn)點(diǎn)1M移移動(dòng)動(dòng)到到點(diǎn)點(diǎn)2M，以以s表表示示位位移移，則則力力F所所作作的的功功為為 cos|sFW (其中其中 為為F與與s的夾角的夾角)啟示啟示實(shí)例實(shí)例兩向量作這樣的運(yùn)算兩向量作這樣的運(yùn)算, 結(jié)果是一個(gè)數(shù)量結(jié)果是一個(gè)數(shù)量.FM1M2s第23頁(yè)/共42頁(yè)),(,1 . 3 . 1bababa記為之間的夾角與的角定義為他們之間不大于向量相等的向量，過(guò)一點(diǎn)分別作與這兩個(gè)與已知空間兩個(gè)非零向量定義第24頁(yè)/共42頁(yè)ab 內(nèi)積也稱(chēng)為內(nèi)積也稱(chēng)為“點(diǎn)積點(diǎn)積”.cos|baba

11、(其中其中 為為a與與b的夾角的夾角) 定義定義1.3.2定理定理1.3.1 0baba的充要條件是第25頁(yè)/共42頁(yè)關(guān)于數(shù)量積的說(shuō)明：關(guān)于數(shù)量積的說(shuō)明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 證證證證 ,2 ,2 )0, 0( ba第26頁(yè)/共42頁(yè)空間一點(diǎn)在軸上的射影空間一點(diǎn)在軸上的射影u AA 第27頁(yè)/共42頁(yè)空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影uABA B ABprjlABxxeBAellABBABAlBAABl上的射影，記作在稱(chēng)

12、為向量，則同方向的單位向量取與上的射影向量在軸稱(chēng)為向量，那么向量和上的射影分別為在軸和終點(diǎn)的起點(diǎn)設(shè)向量定義,3 . 3 . 1第28頁(yè)/共42頁(yè)annaaannaaaaabbbbbbbbbbcbcbbaaaaba)(.)()().(5 . 3 . 1)()(4 . 3 . 1)(3 . 3 . 11 . 3 . 1),(cos|2 . 3 . 122112211定理定理定理射影相等。相等向量在同一軸上的推論為上的射影在向量向量定理第29頁(yè)/共42頁(yè)數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）交換律）交換律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）

13、若 為數(shù)為數(shù)： ),()()(bababa 若若 、 為數(shù)為數(shù)： ).()()(baba 第30頁(yè)/共42頁(yè)關(guān)于向量的關(guān)于向量的投影定理（投影定理（2 2）兩兩個(gè)個(gè)向向量量的的和和在在軸軸上上的的投投影影等等于于兩兩個(gè)個(gè)向向量量在在該該軸軸上上的的投投影影之之和和. .AA BB CC （可推廣到有限多個(gè)（可推廣到有限多個(gè)）u1a2a第31頁(yè)/共42頁(yè) 設(shè)設(shè)O為為一一根根杠杠桿桿L的的支支點(diǎn)點(diǎn)，有有一一力力F作作用用于于這這杠杠桿桿上上P點(diǎn)點(diǎn)處處力力F與與OP的的夾夾角角為為 ，力力F對(duì)對(duì)支支點(diǎn)點(diǎn)O的的力力矩矩是是一一向向量量M，它它的的模模|FOQM sin|FOP M的的方方向向垂垂直直于

14、于OP與與F所所決決定定的的平平面面, 指指向向符符合合右右手手系系.實(shí)例實(shí)例LFPQO 第32頁(yè)/共42頁(yè) sin|baba (其中其中 為為a與與b的夾角的夾角)定義定義c的方向既垂直于的方向既垂直于 a，又垂直于，又垂直于 b，指向，指向符合右手規(guī)則符合右手規(guī)則. . 關(guān)于向量積的說(shuō)明：關(guān)于向量積的說(shuō)明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量積也稱(chēng)為向量積也稱(chēng)為“叉積叉積”.abbac 第33頁(yè)/共42頁(yè))(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin ,0 或或)(0sin . 0sin| baba證證ba/ba/或或0 0 babba 第34頁(yè)/共42頁(yè)向量積模的幾何意義向量積模的幾何意義|ba 表示以表示以a和和b為鄰邊為鄰邊的平行四邊形的面積的平行四邊形的面積. sin|baba 第35頁(yè)/共42頁(yè)cabacbacbcacbababaabba)()4()()3()()2() 1 (8 . 3 . 1定理第36頁(yè)/共42頁(yè)),()(),(,)(5 . 3 . 1cbacbacbacbacba記為的混合積稱(chēng)為有序的向量組定義acbba 第37頁(yè)/共42頁(yè)0)(,9 . 3 . 1cbacba共面的充要條件是三向量定理)()(11. 3