1、負負得正”教學的有效模型教師的教學和相關研究表明 12: 通過學生易于理解 的模型來說明為什么“負負得正” 、教授“負負得正”是可 行的 ,也是合理的 ;學生能夠接受通過這種方式所總結的有理 數乘法法則 . 也就是說 ,模型說明是有理數乘法法則教學的 有效選擇 ,也是最主要的策略 . 既如此 ,隨之而來的問題是 :什 么樣的說明“負負得正”的模型是最好的模型?具體而言 :不同的模型對學生的理解有影響嗎?教師傾向于什么樣的模型 ?學生傾向于什么樣的模型 ?綜合考慮教與學的因素 ,什么樣的 模型最有效 ?一、不同的模型對學生的理解沒有顯著性影響一一一項 教學實驗為了解教師教學中所使用的說明“負負得

2、正”的模型與 學生理解之間的關系 ,我們選取山東省某市一所重點中學的 四個班級 ,開展實驗研究 . 這些班級是按照學生入學考試成 績分班的 ,因而 ,我們假設這些班級之間沒有顯著性差異. 三位教師在沒有任何干預的情況下使用四種模型授課,教師在四個班級中所使用的模型見表1（所有模型的說明見附件 ）.我們實地聽取了教師的課堂教學 . 教師授課結束后 ,我們對 四個班級的學生進行了問卷調查與訪談 . 調查的目的是了解 學生在使用說明“負負得正”的模型與教師授課時所使用的 模型之后的教學效果 . 調查過程如下 .題目“以(-4)X (-3)為例，用盡可能多的方法(如文字解釋、 畫直觀圖、算式表示等)來

3、說明為什么負負得正.教學中使用的說明“負負得正”的模型如表1.分析表 1,我們可以得到以下結論 :(1) 學生的理解不受教師所用模型的影響. 除 2班外 ,能夠使用教師的模型來說明“負負得正”的學生占班級人數的 6%9%之間 . 這說明教師所用的模型沒有對學生產生顯著性 影響. 2 班是一個例外 ,沒有一個學生使用歸納模型 . 這表明 , 這一模型很難為學生接受 . 聯想到學生的教科書中使用了歸 納模型 ,我們有理由相信 ,這個模型是一個較難理解的模型 .(2) 相反數模型比較容易理解 . 除 7 人自覺地使用了教師所介紹的相反數模型外 ,還有 7 人自發地使用了相反數模型 , 使用該模型的學

4、生人數占提供模型人數的51.9%(表2). 相反數模型成了使用率最高的模型 . 我們有理由相信 ,使用該模 型說明“負負得正” ,有利于學生理解 .(3) 能夠使用說明“負負得正”的模型學生較少.在所測試的 295 名學生中 ,僅有 27 人即 9%的學生能夠通過模型說明 “負負得正” . 所以 ,對于算理的理解 ,不能有過高 的要求 ,教師也不可有過高的期待 .二、師生對模型的傾向性1. 教師對模型的傾向性(1)教師實際教學中使用的模型 :數軸模型 ,歸納模型 ,相反 數模型 . 教師在實際教學中使用了哪些模型來說明“負負得 正” ,我們進行了問卷調查 ,調查內容如下 :教學有理數的乘法 ,

5、關鍵是說明“負負得正” .回顧一下 你課堂上教“負負得正”的情形 ,請結合你的教學實際 ,描述 你教“負負得正”的過程 (自己怎樣教的 ,就怎樣描述 ).統計結果如表 3.教師最喜歡使用數軸模型 ,占總數的 39.5%. 這個模型是 原大綱教科書中使用的模型 3. 關于這個模型 ,調查中發現 , 不僅學生 ,即便從事數學教育多年的教師 ,也容易困惑 4. 如 此多的教師使用了數軸模型 ,反映出原教科書對教師的影響 還是很大的 .29%的教師使用了歸納模型 ,成為了教師的第二選擇 . 這 個模型是北師大版教科書中的模型 ,教師使用的就是該教科 書5. 18.4% 的教師使用了相反數模型 6. 這

6、個模型不是教 師所用教科書中的模型 ,如此多的教師使用了這個模型 ,反映 出教師對該模型的偏愛 . 以上 3 種模型占教師使用模型的 86.9%. 相應地 ,少數教師使用了其他模型 .(2)教師喜歡的模型 :歸納模型 ,數軸模型 ,相反數模型 . 為了解教師對模型的傾向性 ,我們提供了 7 個說明“負負 得正”的模型供教師選擇 ,38 名教師的選擇情況如表 4.x教師喜歡的模型依次是 :歸納模型 ,數軸模型 ,相反數模型 這 3 個模型的排列順序與教師在實際教學中使用的模型的順 序大致相同 . 教師受教科書的影響還是很大的 .綜合教師教學中使用的模型和教師選擇的模型,我們可以得到結論 :教師最

7、傾向于使用的模型依次是歸納模型、 數軸 模型、相反數模型 .2. 學生對模型的傾向性(1)學生回答問卷時所使用的模型是相反數模型. 對學生的問卷調查顯示 ,僅有 9.0%的學生給出了比較合理的說明 “負 負得正”的模型 . 除此以外 ,為說明“負負得正”的合理性 , 說服自己接受 “負負得正” ,學生又創造了各種各樣的準合理 或者不合理的模型 . 統計分析這些模型 ,可以從中窺視出學 生對模型的傾向性 (表 5). 從表中可以看出 :學生最傾向于相反數模型 . 在學生自己創造的模型中最常用的就是“相反數的相反數模型”和“抵消模型”,盡管這兩種模型都存在著一些問題 . 如果加上“相反數模型” ,

8、就 有 21.01% 的學生使用了這類模型 . 我們有理由相信 ,用相反 數模型進行教學 ,是學生比較容易接受的 .相反 ,雖然歸納模型相對于相反數模型更具有數學味,但是,只有 0.34%的學生使用了這個模型 . 這引起了我們的思考 : 既然我們很難或者說不能夠把為什么“負負得正”的道理講 清楚 ,在教學中 ,關鍵就是要讓學生比較順利地接受事實 ,不讓 學生覺得“負負得正”是“天上掉下來個林妹妹”. 從這個角度而言 ,我們就不能對模型的所謂合理性“深究”,故而 ,相反數模型就要比歸納模型好 .對規定性的認可 . 認為是“復述法則” 、“書上說的 ,老 師講的”和“是個規定 ,沒有理由”的學生占

9、 48.47%,幾近一 半. 這說明學生對“負負得正”規定性的認識是:這是一個規定,不好解釋 .(2)學生喜歡的模型 :歸納模型 ,好孩子模型 ,數軸模型 ,相 反數模型 .為了解學生對模型的傾向性 ,我們提供了 7 個說明“負負 得正”的模型供學生選擇 (僅選取 3 班和 6 班),學生的選擇情 況如表 6.學生喜歡的模型依次是 :歸納模型 ,好孩子模型 ,數軸模型和相反數模型學生喜歡好孩子模型 ,大大超出了我們的預料 . 以下是 對學生的訪談（學生-S;教師-T）.S:我喜歡這個模型.這個最好了，最形象了 .我今天回家 都給我媽講了 .T:媽媽聽明白了沒有？S:聽明白了 .我媽媽說，這個很

10、好，很有意思.T:如果老師上課時用這個模型來說明“負負得正”，你認為可以嗎 ？S:完全可以.我們班同學今天都在說這個方式說得清楚 ， 比書上的好 . 看了這個以后 ,我就對有理數的乘法徹底懂了 , 我一輩子也忘不了 .15.8%的教師選擇了好孩子模型 . 有的教師認為 “孩子不 能以好壞區分” ,這樣對教育學生不利 . 同樣 ,也有個別的學生 提出了類似的擔心 .喜歡和會用之間的矛盾 . 教師、學生都比較喜歡歸 納模型 ,原因也許是這個模型是教科書中的模型 . 然而 ,調查 表明 ,能夠使用這個模型說明“負負得正”的學生少之又少.對這個模型 ,要謹慎使用 .綜合學生回答問卷時使用的模型和學生選

11、擇的模型,我們可以得到結論 :學生最傾向于使用的模型依次是相反數模 型、歸納模型、好孩子模型、數軸模型 .3. 師生對模型的傾向性 :歸納模型、數軸模型與相反數模型 把學生喜歡的模型、教師喜歡的模型與教師教學中使用 的模型進行對比 ,分析如下 (圖 1).(1) 師生傾向于使用的模型依次為 :歸納模型、 數軸模型與 相反數模型 .教師最傾向于使用歸納模型 ,學生最傾向于使用相反數 模型 . 教師最喜愛的模型與教師最傾向于使用的模型是一致 的 ,學生最喜愛的模型與學生最傾向于使用的模型不一致.教師、學生對好孩子模型的傾向性差異較大 :學生非常喜 歡,教師卻不大喜歡 .(2) 師生均不喜歡形式化的

12、模型 ,比如分配律模型 .三、對模型的分析1. 模型就是一副“腳手架”我們設計了這樣一個問題 :“為了說明負負得正 ,我 們給學生提供了一個說明的模型 . 這個模型其實就是一副腳 手架 ,一旦掌握了有理數乘法法則 ,這個腳手架就可以拆除 了. ” 表 7 是教師的回答情況 .55.3%的教師持贊同態度 ,31.6%的教師不贊同 . 不贊同的教師也許認為 ,這些模型恰恰說明了為什么“負負得正”恰恰能夠幫助學生理解有理數乘法的算理 . 既如此 ,當然不 能隨隨便便地拆除了 .2. 模型并沒有說明算理推導小數乘法法則、 分數除法法則時 ,要么憑直觀進行推 理,要么使用了規律進行推理,在很大程度上說明

13、了運算的算理. “介紹一個實例 ,觀察一個圖形 ,導出一個解釋 ,難道不比 去介紹形式化證明更好嗎 . ”比如 ,要說明乘法交換律 ,就可以 用圖形非常直觀地說明3 X 4=4X 3.但是，有理數乘法就完全不同了.分配律模型事實上是在“保持運算的持續性”的前提下 推導出了“負負得正” 78, 本質上有了形式推理的味道 ,但 有多少師生喜歡它 ?歸納模型是一種合情推理模型,但是 ,調查表明 ,學生很難掌握它 . 除這兩個模型外 ,其他模型幾乎沒 有多少數學味道 ,本質上說 ,這些模型是為了幫助學生理解和 掌握“負負得正”法則的“腳手架”,是裹在原理外面的“糖衣” . 因為原理艱澀難懂 ,因為保持

14、運算的持續性不好理解,所以通過模型這層 “糖衣” 把它包裝起來 ,這樣接受起來就容 易多了.既然沒有說明算理 ,談何要求學生理解其中的道理呢 ?既 如此 ,模型不是腳手架又是什么 ?不是不想說明其中的道理 , 而是很難說清其中的道理 ,因為“負負得正” 超越了學生的經 驗,很難證明 . “由于日常生活中很少有學生容易理解的兩個 負數相乘的實例 ,因此學生會對法則合理性的認識有一定的 困難 . ”93. 教學從學生對模型的傾向性和認知水平出發 我們設計了這樣一個問題 :“對于說明負負得正的模 型,只要學生喜歡 ,便于學生掌握負負得正法則 ,哪一個都 可以 . ”教師的回答情況如表 8.不贊同的只

15、有 10.5%,絕大部分教師認為 ,選擇模型 ,要從 學生對模型的傾向性和認知水平出發 . 實際教學中的不匹配 現象值得我們思考 .四、結論與建議1. 教師使用的模型對學生的理解沒有顯著性影響調查表明 ,教師使用的說明 “負負得正” 的模型對學生的 理解沒有顯著性影響 ,能夠說明 “負負得正” 的學生人數非常 少,既然如此 ,就應該選擇學生易于理解的模型 .2. 師生最傾向使用的模型依次是 :歸納模型、數軸模型 與相反數模型雖然師生傾向于歸納模型 ,雖然歸納模型體現了真正的 數學10,但是 ,由于學生在實際中很難獲得對它的理解,因而要謹慎使用 . 數軸模型也獲得了師生的認可,但是正如有的研究所

16、表明的 ,這個模型讓學生轉來轉去 , 容易迷惑 . 相反數 模型得到師生的一致認可,并且由于學生常常無意識地、 自發地使用這個模型 ,也就是說學生最容易理解這個模型,所以 ,基于“要選擇學生易于理解的模型” 這一結論 ,我們應該更多地 使用相反數模型 .師生最不喜歡形式化的模型,如分配律模型 .3. 模型并沒有說明為什么“負負得正”,模型就是一副腳手架既然一種模型不能夠真正說明 “負負得正” ,就應該選擇 另一種學生易于理解的模型,這是教學“高效性”的要求.4. 教學中和教科書中可以使用相反數模型 附件 :說明為什么“負負得正”的模型歸納模型：(-5) X 2=-10,(-5)x 1=-5,(

17、-5)X 0=0，從而(-5)X (-1)=5,(-5) X (-2)=10,(-5) X (-3)=15.(2) 分配律模型 ：(-5)X(-3)=(-5) X (0-3)=(-5) X 0-(-5) X 3=0-(-15)=15.(3) 相反數模型 ：5X 3=5+5+5=15;(-5)X 3=(-5)+(-5)+(-5)=-15. 所以,把一個因數換成它的相反數,所得的積就是原來的積的相反數.(-5)X (-3)=15.(4) 氣溫變化模型 :今天的氣溫記為 0攝氏度 ,每天下降 5 攝氏度.昨天記為-1,前天記為-2,大前天記為-3,(-5) X (-3)就是 大前天的度數 ,就是 1

18、5.(5) 數軸模型 :規定 ,數軸的正方向為東 ,數軸的負方向為西 一個人在數軸的原點處 ,-5 看做向西運動 5米(計劃向西 );(-5) X (-3)看做沿反方向(即向東)運動3次.結果：向東運動了 15 米. 所以(-5) X (-3)=1 5.(6) 好孩子模型 ：好孩子用正數表示 (+),壞孩子用負數表示 (-);進城市用正數表示 (+),出城市用負數表示 (-);好事用正數表 示(+),壞事用負數表示 (-). 好孩子 (+)進城 (+),對城市來說是件 好事(+),所以 (+)X (+)=+;壞孩子 (-)出城 (-),對城市來說是件好事 (+)，所以(-)X (-)=+.所以(-5)X (-3)=15